8. 1. DEFINICJE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
Definicje funkcji trygonometrycznych kata ostrego
a – przyprostokątna naprzeciw α
b- przyprostokątna przy α
c - przeciwprostokątna
sin
α
- czytaj: sinus αcos
α
- czytaj: kosinus αtg
α
- czytaj: tangens αctg
α
- czytaj: kotangens αc
a
stokatna
przeciwpro
naprzeciw
katna
przyprosto
=
=
α
α
_
_
sin
c
b
stokatna
przeciwpro
y_α
katna_ prz
przyprosto
cosα
=
=
b
a
przy
katna
przyprosto
naprzeciw
katna
przyprosto
tg
=
=
α
α
α
_
_
_
_
a
b
naprzeciw
katna
przyprosto
przy
katna
przyprosto
ctg
=
=
α
α
α
_
_
_
_
Twierdzenie Pitagorasa
Suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
2 2 2c
b
a
+
=
α
·
a
b
c
Przykład 8.1.1. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie
prostokątnym o przyprostokątnych 4 i 2.
Rozwiązanie
Komentarz
Dane: Szukane:
a = 2
sin
α
,
cos
α
,
tg ,
α
ctg
α
b = 4
sin
β
,
cos
β
,
tg ,
β
ctg
β
Analiza zadania 2 2 2c
b
a
+
=
2 2 24
2
+
=
c
216
4
+
=
c
20
2=
c
5
2
5
4
20
=
⋅
=
=
c
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną c.
5
5
5
5
5
1
5
1
5
2
2
sin
=
⋅
⋅
=
=
=
=
c
a
α
5
5
2
5
5
5
2
5
2
5
2
4
cos
=
⋅
⋅
=
=
=
=
c
b
α
2
1
4
2
=
=
=
b
a
tg
α
2
2
4
=
=
=
a
b
ctg
α
Korzystając w definicji funkcji trygonometrycznych kąta α, obliczamy
α
α
α
α
,
cos
,
tg ,
ctg
sin
Pamiętamy o usunięciu niewymierności z mianownika przy wyraŜeniach
5
2
,
5
1
5
5
2
5
5
5
2
5
2
5
2
4
sin
=
⋅
⋅
=
=
=
=
c
b
β
5
5
5
5
5
1
5
1
5
2
2
cos
=
⋅
⋅
=
=
=
=
c
a
β
2
2
4
=
=
=
a
b
tg
β
2
1
4
2
=
=
=
b
a
ctg
β
Korzystając w definicji funkcji trygonometrycznych kąta β, obliczamy
β
β
β
β
,
cos
,
tg ,
ctg
sin
ZauwaŜmy , Ŝe b – przyprostokątna naprzeciw β a - przyprostokątna przy β c - przeciwprostokątnaα
·
a
b
c
β
Związki między funkcjami trygonometrycznymi kątów ostrych w trójkącie
prostokątnym
Dla kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym zachodzą związki:
(
α
)
α
=
cos
90
°
−
sin
(
α
)
α
=
sin
90
°
−
cos
(
α
)
α
=
ctg
90
°
−
tg
(
α
)
α
=
tg
90
°
−
ctg
Przykład 8.1.2. Oblicz wartość wyraŜenia:
sin
17
°
−
cos
73
°
Rozwiązanie
Komentarz
(
°
−
°
)
=
°
=
°
sin
90
73
cos
73
17
sin
Korzystając ze wzoru(
α
)
α
=
cos
90
°
−
sin
zamieniamy
°
17
sin
na kosinus.0
73
cos
73
cos
73
cos
17
sin
°
−
°
=
°
−
°
=
Obliczmy wartość wyraŜenia°
−
°
cos
73
17
sin
Przykład 8.1.3.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 45˚.
Rozwiązanie
Komentarz
Kąt 45˚ tworzy przekątna kwadratu z jego bokiem.
Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne. 2 2 2
d
a
a
+
=
2 22
a
=
d
2
2
a
2a
d
=
=
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyprowadzamy wzór na przekątną kwadratu
2
2
2
2
2
1
2
1
2
45
sin
=
⋅
⋅
=
=
=
=
°
a
a
d
a
2
2
2
2
2
1
2
1
2
45
cos
=
⋅
⋅
=
=
=
=
°
a
a
d
a
1
45
°
=
=
a
a
tg
1
45
°
=
=
a
a
ctg
Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, obliczamy
°
°
°
°
,
cos
45
,
45
,
45
45
sin
tg
ctg
Pamiętamy o usunięciu niewymierności z mianownika przy wyraŜeniach
,
2
1
a
a
d
45˚·
Przykład 8.1.4.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 60˚.
Rozwiązanie
Komentarz
Kąt 60˚ jest kątem wewnętrznym w trójkącie równobocznym.
Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. 2 2 2
2
a
a
h
=
+
2 2 24
a
a
h
+
=
4
2 2 2a
a
h
=
−
2 24
3
a
h
=
2
3
a
h
=
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyprowadzamy wzór na wysokość trójkąta równobocznego.
2
3
2
3
60
sin
°
=
=
=
a
a
a
h
2
1
1
2
2
60
cos
°
=
=
⋅
=
a
a
a
a
3
2
2
3
2
2
3
2
60
°
=
=
=
⋅
=
a
a
a
a
a
h
tg
3
3
3
3
3
1
3
1
3
2
2
2
3
2
60
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
=
°
a
a
a
a
ctg
Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych, obliczamy
°
°
°
°
,
cos
60
,
60
,
60
60
sin
tg
ctg
Pamiętamy o usunięciu niewymierności z mianownika przy wyraŜeniach
,
3
1
h
a
2
a
60°
Przykład 8.1.5.Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta 30˚.
Rozwiązanie
Komentarz
(
)
2
1
60
cos
60
90
sin
30
sin
°
=
°
−
°
=
°
=
(
)
2
3
60
sin
60
90
cos
30
cos
°
=
°
−
°
=
°
=
(
)
3
3
60
60
90
30
°
=
tg
°
−
°
=
ctg
°
=
tg
(
90
60
)
60
3
30
°
=
ctg
°
−
°
=
tg
°
=
ctg
Korzystając ze wzorów(
α
)
α
=
cos
90
°
−
sin
(
α
)
α
=
sin
90
°
−
cos
(
α
)
α
=
ctg
90
°
−
tg
(
α
)
α
=
tg
90
°
−
ctg
zamieniamy funkcje trygonometryczne kąta
30˚na funkcje trygonometryczne kąta 60˚.
.Wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów
x
30
°
45
°
60
°
sin x
2
1
2
2
2
3
cos x
2
3
2
2
2
1
tg x
3
3
1
3
ctg x
3
1
3
3
Przykład 8.1.6. WykaŜ, Ŝe prawdziwa jest równość:
o o o o o
tg
tg
45
3
60
cos
30
60
sin
2
30
sin
3
=
+
+
Rozwiązanie
Komentarz
1
3
2
1
3
3
2
3
2
2
1
3
3 / 2 /=
+
⋅
+
⋅
⋅ ⋅3
6
3
6
3
2
2
3
2
2
3
=
+
+
3
6
3
3
2
2
3
2
3
=
+
+
3
3
2
3
6
2
3
2
3
=
+
⋅
+
3
2
6
=
3
=
3
Do równości podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych:
2
1
30
sin
°
=
2
3
60
sin
°
=
3
3
30
°
=
tg
2
1
60
cos
°
=
tg
45
°
=
1
.Ć
WICZENIA
Ćwiczenie 8.1.1. (3pkt.) Na podstawie rysunku wyznacz wartości funkcji
trygonometrycznych kątów α i β
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości drugiej przyprostokątnej
1
2 Podanie wartościsin
α
,
cos
α
,
tg ,
α
ctg
α
1
3 Podane wartościsin
β
,
cos
β
,
tg ,
β
ctg
β
1
Ćwiczenie 8.1.2. (4pkt.) Na podstawie rysunku wyznacz wartości funkcji
trygonometrycznych kątów α i β
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie długości boków AB i AC
1
2 Podanie długości boku CD
1
3 Podanie wartości
sin
β
,
cos
β
,
tg ,
β
ctg
β
1
4 Podanie wartościsin
α
,
cos
α
,
tg ,
α
ctg
α
1
•
β
α
8
10
α
β
•
4
5
2
A B C DĆwiczenie 8.1.3. (3pkt.)Oblicz wartość liczbową wyraŜenia:
°
°
−
+
°
°
+
45
cos
2
30
sin
1
45
cos
4
60
sin
2
1
.
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wartości liczbowej wyraŜenia
°
°
+
45
cos
4
60
sin
2
1
1
2 Podanie wartości liczbowej wyraŜenia°
°
−
45
cos
2
30
sin
1
1
3 Podanie wartości wyraŜenia
°
°
−
+
°
°
+
45
cos
2
30
sin
1
45
cos
4
60
sin
2
1
z usuniętą niewymiernością z mianownika.
