Uber den masstabeinfluss bei Modellschleppversuchen

(1)

SCF-IIFFBAUTECHNISCHE GESELLSCHAFT

33. ORDENTLICHE HAUPTVERSAMMLUNG

BERLIN, 16. BIS 19. NOVEMBER 1932

_

/'

Lr?,

i

I

Über den

Maßstabeinfluß bei Modellschleppversuchen

Von

Dr.-Ing. H. M. Weitbrecht, Charlottenburg

Nachdruck, auch auszugsweise, ohne Genehmigung des Vorstandes der Schiffbau-technischen Gesellschaft nicht gestattet

HERAUSGEBER: SCHIFFBAUTECHNISCHE GESELLSCFiAFT, BERLIN

Kommissionsverlag: Deutsche Verlagswerke Strauß, Vetter & Co., Berlin SW 68

(2)

XIV. Über den Maßstabeinfìuß bei Mode11sdiIeppversuden

Von Dr.-Ing. H. M. Weitbrecht, Charlottenburg.

Inhaitverzeichnis.

I. Einleihrng. Zusammenstellung der Modelifamilien.

TI. Einfluß des Maßstabes auf den Widerstand.

Beziehungen zwischen den Beiwerten der Plattenreibung und des

Gesamtwiderstandes.

Das Verfahren von Froude.

Das Verfahren von Bruckhoff.

Das Verfahren von Telfer.

Unstimmigkeiten.

Ein Verfahren für Grenzfälle.

Umrechnungsverfahren ohne Kenntnis der benetzten Oberfläche.

Anwendung auf Flugboote und Gleitboote.

III. Einfluß des Maßstabes auf den Mitstrom.

Das Ergebnis von Mitstrommessungen.

Untersuchung über (lie Unstetigkeit der Mitstromziffer bei

Ge-schwindigkeitänderung.

IV. Einfluß des Maßstabes auf Propellerversuche.

V. Einfluß des Maßstabes auf den Sog.

VI. Folgerungen.

VII. Zusammenstellung der Bezeichnungen.

VIII. Literaturverzeichnis.

I. Einleitung.

Der Modellschleppversuch diente in früheren Jahren hauptsächlich dazu,

zu entscheiden, welcher von den vorliegenden Schiffslinienentwürfen den

geringsten Widerstand besitzt; oft sollte er auch nur den mit bewährten

Näherurigsforrneln

_{errechneten Schiffswiderstand bestätigen.}

_{Für diese}

Zwecke erfüllt die Umrechnung nach Froude alle billigen Anforderungen.

Erst die Anwendung der Schleppversuchsmethoden auf die

Schiffs-schraube, die neuen, immer tiefer greifenden Berechnungsarten dieses

An-triebmittels und die Versuche ,,Schiff mit Schraube" gaben Veranlassung,

auch den aus dem Modellschleppversuch nach Fronde ermittelten reinen

Schiffswiderstand nachzuprüfen und durch Schubmessungen Aufklärung

iiber die zahlenmäßige Abweichung der Rechnung von der Wirklichkeit

zu

suchen.

lin Jahrbuch 1931 der D. V. L. weist Seewald (1) auf die Schwierigkeiten

hin, die bei der Umrechnung von Schwimmerversuchen auf Großausführung

entstehen. In früheren Jahren hat Bruckhoff (2) und in letzter Zeit Telfer

(3)

Vorschläge für die Umrechnung auf Großausführung gemacht, ohne

_nach

der Methode von Fronde den Gesamtwiderstand in Reibungswiderstand und

Restwiderstand zu unterteilen. Alle diese Rechnungsarten wollen mit

Sicher-heit den lJbergang von dem am Modell gemessenen Widerstand auf

Groß-ausführung gestatten. Sie müssen dann unbedingt auch für den

Ober-gang zwischen geometrisch ähnlichen Modellen verschiedenen Maßstabes

(3)

330 Lber den Maßstabeinfluß bei Modellschleppversuchen

Im nachstehenden sollen nun an Hand von Schleppversuchen mit

so-genannten Modeilfamilien die Ergebnisse der Widerstandberechnung

nach

Froude, Bruckhoff und Telfer nachgeprüft werden; außerdem sind noch

kurze Hinweise gegeben, wie sich der Maßstabeinfluß bei der Bestimmung

von Mitstrom und Propellerwirkung aus Modeliversuchen auswirkt.

Die meisten Versuche sind in der Preußischen Versuchsanstalt für

Wasserbau und Schiffbau (V. W. S.), Berlin. durchgeführt, jedoch hat auch

das Reichswehnninisterium. Marineleitung,

seine

reichhaltigen

Versuchs-ergebnisse zur Verfügung gestellt, wofür ich auch an dieser Stelle meinen

verbindlichsten Dank aussprechen möchte.

In der folgenden Zusammenstellung der ModeiLfamilien ist jeweils

an-gegeben, in welcher Schieppanstalt die Versuche durchgeführt worden

sind.

Die Modeliwiderstände und Rechnungswerte, die in 29 Tafeln

zusammen-gestellt worden sind, konnten hier nicht abgedruckt werden; die

Ergebnisse

sind aus Bild i bis 16 zu entnehmen.

Zusammenstellung der Modeilfamilien.

In der Spalte ,,Schleppansta t bedeutet

B: Preuß. Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau, Berlin.

L: Marineschleppanstalt Lichtenrade. W: Schleppversuchsanstalt Wien.

Ehe wir uns den einzelnen Rechnungsverfahren zuwenden, soll noch kurz

eine Ubersicht über die heutigen Erkenntnisse betreffs Schiffsreibung

ge-geben werden.

II. Einfluß des Maßstabes auf den Widerstand.

1.Beziehungen zwischen dein Beiwert der

Platten-reibung

r

und des Gesamtwiderstandes

.

a) Umrechnung von 2 (Froude) in

r

Wie ich bereits an anderer Stelle (12) ausgeführt habe, ist nach Froude der

Reibungswiderstand wr

wr = i fvt.825; (1) Nr. Schiffsart ..

L, L:B

8

-ß Maßstab 1: m m

i

2

Fischdampfer

. . B 39,0

5,34 0,504 0,661 12,5 16,67

25

Frachter

B 140,42

7,58 0,735 0,826

20 25

35 45

62,5 100 3

Schnelldampfer I

.

B 275,7

8,9 0,6 0,626 50 75 100 4 ,,

II

. B 9,0 10,0 0,573 0,64 1 1,5 3 6 5

Torpedoboot .

.

97,55 10,45 0,505 0,625

20

25 30,3 50

6

Gr. Kreuzer

. . .

W 212,5

7,31 30 40

48 60

75 90 7

Motorboot

B 15,61 6,5 0,294 0,455 1 31/3 5 10 20 8

Gleitboot I

B 9,71

5,85 0,276 0,578

3'/3 5

7,5 10

9 ,,

II

B 9,71

3,89 0,276 0,578

31/3 5 7,5 10

(4)

nach der neueren Schreibung

e..

'

2

und hieraus folgt

I vo,'75 2 0,00 0,005 0,004

Berechnet man aus den Froudeschen Reibungswerten ) für verschiedene

Längen die entsprechenden

r und trägt sie über der Reynoldsschen Zahl

auf, so erhält man für jede Länge eine besondere

,-Kurve,

wie

in Bild i

dargestellt.

Verbindet man die Punkte gleicher Froudescher Zahl

₌

auf

diesen

r-Kurven für konstante Längen, so erhält man r-Kurven für

kon-stante Froudesche Zahl. Auf dem Bild sind die Kurven für

=

0,05, 0,1,

0,2, 0,3, 0,5 und 0,75 eingetragen.

AO». 7

5

Froade

"\

Preussische I"ersuchis/e/t

fürIVCSserÓall ui-iO' Sc/iifÓciu, 8er/i'7

Ve/?uì7gsOe/.iverre /2r 4O1cyer nu't Fraude

u/7O' fuJrPiaffer,

./,derstandsbe/,yeMe

veo N/«q geMachten 0oppe//rörper

,./55?»Fi',de

L'r nec/i

Froude\Ì

_J:OD5 _''

-f54i7 _[z.z'

_{'1. r-o,o'}

\

a)ûM 1143, !-OO5m,1Z52,4'7ó't _U-58e, '

&)ON 1130, 4OO,.i,b52,d'-0,734 PO,2O

c,)0HÎOS.9, _{-45coe,,1b-ao,4'-a52}

teichFroua

u2 458r,za3 68v2 68av2 468t2 468r2

5t2 48

Über den Mailstabeinfluß bei Modellschleppversuchen ₃₃₁

70 1O 10' 10 7070

Bild1.

Man erhält zwei scharf getrennte Kurvenscharen; die eine

gilt

fur

Modelle mit glatter Oberfläche. die andere für Schiffe.

Es fragt sich nun, wie diese von Froude festgelegten Reibungswerte sich

zu den Reibungswerten für glatte Platten, wie sie die neuere Forschung

bestimmt hat, verhalten.

Es handelt sich hier, wie ich besonders betone, nicht darum, welche

An-schauung Froude zu seinen Werten geführt hat, sondern darum, festzustellen.

in wieweit das Verfahren nach Froude und seine Reibungswerte mit den

heutigen Anschauungen übereinstimmen.

Der Verlauf der theoretischen Kurven ist gegeben:

für laminare Strömung (Blasius) durch

(5)

Der Gesamtwiderstandsbeiwert dieser Körper beträgt bei

l = 5.5 . 10

(las 1.11- bzw. 1,21- bzw. 1.30fache des Plattenreibungsbeiwertes bei

turbu-lenter Reibungsschicht mit laminarem Anlauf.

Dieser Unterschied in den Gesamtwiderstandsbeiwerten zwischen völlig

getauchten Körpern und Platten kann nicht allein auf die vermehrte Reibung

am Körper, d. h. vermehrte Schubspannung, verursacht

durch Verdünnung

der Reibungsschicht am Körper infolge zunehmenden Umfanges bei gleicher

Anlauflänge und durch die Ubergeschwindigkeiten der Potentialströmung,

zurückgeführt werden. Es müssen bei diesen Körpern auch durch Ablösung

bedingte Druckwiderstände auftreten, was aus dem

Gesamtwiderstands-beiwert beim Rückwärtsschleppen verschiedener Doppelmodelle gefolgert

werden kann.

Man wird für praktische Berechnungen keinen zu großen Fehler begehen.

wenn man bei linearer Auftragung die Beiwerte der

Körperreibung parallel

den Beiwerten der Plattenreibung annimmt. Da außerdem vorausgesetzt

wird, daß der Restwiderstandsbeiwert innerhalb einer Moclellfamilie gleich

bleibt. müssen dann auch die Gesanitwiderstandsbeiwerte der Körper und

Modelle parallel den Beiwerten der Plattenreibung verlaufen.

Wenn hier und später von parallelem Verlauf zweier Kurven gesprochen

wird, so ist darunter die Lage von zwei Kurven verstanden, die sich

ur-sprünglich deckten, von denen dann aber die eine um einen bestimmten

Ordinatenbetrag verschoben wurde. Kurven. die bei linearer Auftragung so

parallel sind, nähern sich in logarithmischer Auftragung im Bereich der

größeren Ordinaten. Kurven, die bei logarithrnischer Auftragung so parallel

sind, nähern sich in linearer Auftragung im Bereich der kleineren Ordinalen.

Aufmerksam zu machen wäre auch noch darauf, daß in Bild 1 die

Ordi-naten, also die

-Werte, in logarithmischem Maßstab aufgetragen sind;

er-scheinen hier zwei Kurven parallel, so stehen die Ordinaten der beiden

Kurven für zusammengehörige Abszissen stets im gleichen Verhältnis. Die

logarithmische Auftragung ist gewählt, um bei der Ablesung der

r-\Verte

für sehr hohe Reynolds-Zahlen noch genügende Genauigkeit zu erzielen.

Auf den anderen Bildern ist für

-Werte stets die lineare Auftragung

gewählt. so daß dann die Ordinaten von zwei parallelen Kurven für

zu-sammengehörige Abszissen überall den gleich großen absoluten Unterschied,

z. B. stets denselben

1-Betrag aufweisen.

DM 1099; i = 4,5; i

b = 10,0

;

= 0,52

DM 1030; ¡ = 4.0; i : b = 7,52; à = 0,734

DM 1143; i = 4,0; i

: b = 7,52; à = 0.761.

332 Cber den Mal1stabeinfluß bei Modellschleppversuchen

für turbulente Sfrömung mît larninarern Anlauf (Prandtl, Kárnián) durch

I. =0,074 0.2 - I 5)

für turbulente Strömung (Schlichting) durch

&r O455 (log (6)

Sie sind gleichfalls in Bild i eingetragen.

b) Reibung an Platten und Körpern.

l)ie Rauhigkeit der Oberfläche der Paratfinmodelle kann der

Rauhig-keit glatter Platten gleichgesetzt werden, so daß wegen RauhigRauhig-keit bei

Modellen keine Änderung gegenüber den Beiwerten glatter Platten

einzu-treten braucht. Aber wir wissen heute. daß der Reibungswiderstand von

Körpern bei gleicher benetzter Fläche größer ist, als der ebener Flächen.

Demgemäß wären zu den Beiwerten der Platten noch Zuschläge zu machen,

um die Reibungsbeiwerte von Modellen (Körpern) zu erhalten.

In Bild i

eingetragen sind auch die Widerstandsbeiwerte von nach

Föttinger unter Wasser geschleppten Doppelkörpern. nämlich

(6)

y

,w Jz hr,J i

Preu8,'che Persuchziznzta/t

Irasrbau u Schifboj &r/in

5thema'ti,s'the Dai'ste//irng der

Wi/ersto'rndsbe/werfe f?),'

eine' Moo'eI/f'tzmii/e

DÌ? zc/irafi?rten Zwickel zeigen d'e Aenderung der F/ac/ic i/er IVider-standzl'e,werte into/ge Aenderung i/er Reì/iunqeóeÑverte' Dei l'eredi/e -denen Srrio7ungezuztunden

Bild 2.

Länge sind die Projektion der Reibungsbeiwerte der einzelnen Modelle einer

Familie auf die (t

. 4) -Ebene. Die r-Kurven für gleiche Froudesche Zahlen

geben den Abfall der Reibungsbeiwerte und damit auch den Abfall der

Ge-samtwiderstandsbeiwerte innerhalb einer Familie für die einzelnen Ebenen

= constans.

c) Vergleich im Modelibereich.

Bei den heute üblichen Modellgrößen bewegen sich die Reynolds-Zahlen

für die Versuche etwa zwischen 2. 100 und 2. 10v. Die Froudeschen

Reibungs-beiwerte liegen ab

l = 2

100 einigermaßen und ab l = 6 - 10 völlig

gleich-laufend mit den Reibungsbeiwerten nach Gleichung (5). Da die Froudeschen

Werte für glatte Körper gelten, müssen sie höher liegen als die Werte für

glatte Platten; sie erreichen aber nicht die Widerstandsbeiwerte, wie sie für

die Do:ppelkörper ermittelt wurden. Grundsätzlich richtig ist bei den

Froude-schen \Verten, daß, wenn schon für verschiedene Geschwindigkeitszahlen

bei gleicher Reynolds-Zahl verschiedene Reibungsbeiwerte angegeben werden,

sie für kleinere Froudesche Zahlen höher liegen als für größere, da Schiffe

für relativ kleine Betriebsgeschwindigkeit eine größere Völligkeit und damit

Cber den Maßstabeinflull bei Modellschleppversuchen ₃₃₃

Eisner (8) hat schon früher vorgeschlagen, zur Veranschaulichung des

Ver-laufes der Widerstandsbeiwerte you

Modell bis Großausführung, d. h. der

gleichzeitigen Auswirkung der Gesetze der Schwere und der Zähigkeit» die

dreidimensionale Darstellung zu verwenden und dabei aufzutragen:

in der x-Richtung eine Froudesche Zahl f

(a),

in der y-Richtung eine Reynolds-Zahi

f (et),

in der z-Richtung eine Widerstandzahl

f (e).

Bild 2 zeigt dieses schematisch, wobei lineare Auftragung wenigstens für die

-Werte angenommen ist.

Die Auftragung der Reibungsbeiwerte von Froude in Bild i ist nichts

(7)

334 Uber den Mafistabeinflull bei Modellschleppv ersuchen

größere Unterschiede im Reibungsbeiwert gegenüber glatten Platten haben

als schnellere, d. h. schiankere Schiffe.

Die Froudeschen Reibungsbeiwerte liegen für

t = 2

10° und

= 2. 10°

in der Nähe der theoretisch für Platten geforderten. Zwischen diesen beiden

Reynolds-Zahien sind die Froudeschen Werte bis zu loo % höher als die

theoretischen Plattenwerte. Es ist wahrscheinlich, daß hier die tatsächlichen

Reibungsbeiwerte auch stark von den Froudeschen abweichen. Man erhält

dadurch eine Erklärung für die auffallende Tatsache. daß häufig bei der

Umrechnung nach Froude die Ergebnisse sehr kleiner Modelle (Länge unter

1 m) mit denen großer Modelle (Länge über 5 m) besser übereinstimmen

als die Ergebnisse mittlerer Modelle (Länge ungefähr 2,5 m) mit denen

großer Modelle.

d) Vergleich im Bereich der Großausführung.

Im Bereich der eigentlichen Schiffe weichen die Froudeschen

Reibungs-beiwerte in ihrem Verlauf über

sehr stark von dem Verlauf der Beiwerte

nach Gleichung (6) ab.

Zu Froudes Zeiten erstreckte sich der Anwendungsbereich seines

Ver-fahrens ungefähr auf die in Bild 1 durch Schraffur gekennzeichnete Fläche.

Die Punkte i bis 8 kennzeichnen die Lage folgender neuzeitlicher Schiffe

unter Berücksichtigung ihrer Betriebsgeschwindigkeit:

Wenn man von der theoretischen Kurve der Reibungsbeiwerte für glatte

Platten im Bereich der Großausführung ausgeht, sind zu diesen Beträgen

mit Rücksicht auf die größere Rauhigkeit bei Schiffen sicher noch Zuschläge

zu machen. Dieser Zuschlag ist in Bild i mit 15% eingeführt, d. h. frisch

gestrichene Platten der Außenhaut eines Schiffes hätten einen

Reibungs-heiwert entsprechend dem l,l5fachen Betrag gemäß Gleichung (6).

Der Verlauf der Beiwerte des Gesamtwiderstandes von Schiffen müßte

also unter den genannten, für praktische Zwecke gemachten Voraussetzungen

in linearer Auftragung parallel den 1,l5fachen r-Werten von Gleichung (6)

sein. Diese Kurve ist in Bild i stark ausgezogen.

Nach den letzten Veröffentlichungen von Prandtl (15) wäre jedoch auch

schon bei mäßiger Rauhigkeit ein flacherer Abfall zu erwarten.

2.Das Verfahren von Froude.

W. Froude (4)

trennt bekanntlich den Modellwiderstand in den der

Rechnung zugänglichen Reibungswiderstand und den Restwiderstand. Der

Reibungswiderstand wird nach der Formel W,- = 2 f vx errechnet, worin f

die gesamte benetzte Oberfläche, y die Schleppgeschwindigkeit,

2.

ein aus

Versuchen zu bestimmender Reibungswert und x eine ebenso zu bestimmende

Potenz ist. Dabei macht Froude die Annahme, daß der Reibiingswiderstand

Lfd. Nr. Schifl'sart Länge m Geschwin-digkeit kn Froude-Zahl

i

Küstenschiff

68 8 0,17 2

Bäderdampfer

80 20 0,367 3

Torpedojäger

90 40 0,695 4

Frachtschiff

120 12 0,182 5

Tanker

150 12 0,162 6

Postdampfer

200 18 0,21 7

Schnelidampfer

. . 250 30 0,31 8

Großer Kreuzer

. 250 32 0,33

(8)

09 PreuS í'ersuchsansf c/f fi),' fl"qsecròau u _{Sc/ifòuw 5cr!,»}

Deiwert e von Mode //Pgmiii'í _{fiZ- eecmtw,c'ere/crìa' u. 8e3'tw/der etund} cuPgejrogen nuch Freude

-47 40 45 4*

,---\, .-,.-,---. Ait; 3 aiii' 0,0 4fo -77520V.,' 5) 71830V-77) 11880V-I 123)

7)

-,l/o11187714/'llot;) 10767M152,.5) f . 7195(M-725) 1785(.lf.12D1/,/1

I

/

0,3 Fischdampfer

/7

frachter 42-z at; ₄₁₀ 0.15 020 0,25 0,30 0o5. aíe as 0,20 025 so Bild 3.

Die von rein theoretischer Seite geäußerten Bedenken gegen das

Froude-sche Verfahren haben sich inzwiFroude-schen noch vermehrt. Es wird beanstandet:

der Aufbau der Widerstandsformel mit der gleichbleibenden Potenz

1,825 aus Dimensionsgründen;

die Einführung einer gleichmäßigen Geschwindigkeit, die doch an der

Außenhaut nach Richtung und Größe kaum irgendwo vorhanden ist;

die Einführung einer Reibungskraft, abhängig von der Größe der

ge-samten benetzten Fläche, ohne Rücksicht auf die Neigung der einzelnen

Flächenelemente. da doch nur die Längskomponente der Kraft als

Wider-stand auftreten kann;

die Einführung der Schiffslänge als Maß der Reibungslänge,

_{da die}

Berührungslänge der einzelnen Wasserfäden mit der Außenhaut

_ganz

ver-schieden ist;

die Einführung des Reibungswertes als Funktion dieser Schiffslänge,

unabhängig von der Geschwindigkeit, Breite und Temperatur (Zähigkeit),

also die Nichtberücksichtigurig der Reynolds-Zahi;

die Einrechnung des Ablösungswiderstandes in den

_{Restwiderstarid;}

die Gleichsetzung des Wellenbildes von Modell und Großausführung.

Vielfach werden diese Einwürfe für die Praxis vernachlässigt

_werden

dürfen, da sie im Verhältnis zu den ohnehin bestehenden Unsicherheiten

_bei

Vber den Maßstabeinflul3 bei Modellschlepp'versuchen ₃₃₅

eines Schiffsmodells gleich dem Widerstand einer gleich langen und

flächen-gleichen Ebene sei. Der Sohn, R. E. Froude, setzte die Versuche fort. Von

ihm stammen die heute fur Paraffinmodelle noch meist verwendeten

Rech-nungswerte und die konstante Geschwindigkeitspotenz 1,825. Neu bei der

heutigen Anwendung ist eigentlich nur die Berücksichtigung der

Wasser-temperatur.

Nun liegt zweifellos bei der üblichen Umrechnung eine Ungenauigkeit

in der schematischen Anwendung der von Froude angegebenen

Reibungs-werte und Geschwindigkeitspotenz. Gebers (5) betont schon 1908, daß eine viel

größere Genauigkeit bei der Umrechnung des Schleppversuches nach Froude

erzielt werden könne, wenn wenigstens für scharfe, mittelscharfe und völlige

Schiffstypen besondere Reibungswerte und Geschwindigkeitspotenzen

ein-geführt würden.

(9)

88 as 8 8 85 44 03 02 0,1 OD 83 0: nl 10 7*')! 1w)

.782 Preu/3 Vpuc/isün.s'tg/t für Wacj'eròau u Schf&ûi, ßrÑn

88/werte von /vfoo'e//f'üw,//en fur óe,srntwidersfund s, Regtw,der,s'tutia'

autgggeri ,gc/

Froude

/

j

/

8 4108 7159 (M-1109) ç . 1115(M-175) 998L41151) Scirneildampfer r

/

/'

g

/

459 8 8 Alud 1155(41-75) 9 . 1083(41_73) o 7082 (M 115T 1737(41-11) - _{Alud 718« (,#-, 50)} 4 5108 58 (M-190) ¡ - «15(M-755.7) ¿ - (M-175) 8 /51,5 (,4.; 25)

-

- - (M 110) '/15 (41 - IZO) -_, .-__ .0 . (il 7 ) -

M

.:

- Thrpedo&oot

-/

& fr(reuzer 82 42 0.3 08 80 0.1 Bild 4. 02 03 0,/s 0,5 85 0,8 0 al, 0.7 Os 85 a: 81w' SD a3 /22

noch wichtig, zu untersuchen. ob die Umrechnung auf Grol3ausführung aus

Modellen verschiedenen Maßstabes desselben

Schiffes das gleiche

End-ergebnis zeitigt.

Dieses gleiche Ergebnis aus Modeliversuchen in verschiedenem

Maßstab

wird nur dann sich ergeben, wenn die Restwiderstände für korrespondierende

Geschwindigkeiten sich verhalten, wie die dritten Potenzen der Maßstäbe,

336 Über den Malistabeinflufi bei Modellschleppversuchen

den Reibungswerten für große Schiffe sicher Größen zweiter Ordnung sind.

Man kann deshalb die Berechtigung des Froudeschen Verfahrens für

Um-rechnung von Modell auf Großausführung auch heute noch

grundsätzlich

anerkennen. Es ist aber bei der Fragestellung der vorliegenden Arbeit dann

ZÑ, 3Zr,,« 458 5

I0 Preuß Versucl,suns'tc/t für Wiiseerò Su u $iII/ÓCL' 8er//ì

8e/werre von Moo'e//f'cmilien fUr (Je,çqrr,tw,dera'fønfl' ¿J. Á'ests'ider,ctgnd

cufgetrqcn ic/ Froade

7/ Sc/lne//dcmpfer I 5.8 07 05 85 4/s

(10)

'D 41o9 1007(f-1zD) 0- 1009(W-1io) D' _7080($f-75) 1110/I (U-193J3) 4?o/0,/'Oc/(M 11) 89- 87-«r

/ -

f7

//

4/I-

-.--.

7/

z / Motorboot A4'

.7,

40 -0/5 0,20 0,25 038 t3 44'0 0,/IS Preti/I I'5r3'tic/7.cunstc/f f Vauserbuu o Sciilbou, ßer/,»

Beiwerte von iWoo'e//îum,7,'n

ûr llesamtwth'5r3'tantI o Pe$tw,rlerutcnd

uufge'trogen ugo/i Frouo'e

Bild 6.

sammenfallen. In wieweit diese Voraussetzung zutrifft, zeigt Bild 3 bis 6.

Die wahrscheinliche Kurve der Beiwerte des Restwiderstandes ist etwas

stärker ausgezogen. Diese Kurvenscharen sind nichts anderes als in

drei-dimensionaler Auftragung gemäß Abschn. II, i die Projektion der

Wider-standsbeiwerte der einzelnen Modelle auf die (,

) -Ebene.

Aus der Lage der

-Kurven aller Modeilfamilien ist klar ersichtlich, daß

cias kleinste Modell jeweilig den verhältnismäßig größten Widerstand, d. h.

den größten Widerstandsbeiwert hat, soweit nicht bei sehr niedrigen

Ge-schwindigkeiten Annäherung an laminare Strömungszustände erfolgt. Wenn

die Modelle groß genug sind, zeigen die Beiwerte des Restwiderstandes auch

genügende Übereinstimmung. Besondere Abweichungen sind in Abschn. II, 5

aufgeführt.

Jahrbuch 1933 ₂₂

Über den Maßstabeinfluß bei Moddflschlcppv ersuchen ₃₃₇

d. h. wenn, wie oben vorausgesetzt, die Beiwerte des Form- bzw.

Restwider-standes

für gleiche Froudesche Zahl

_{= if'}

il/A

für die Modelle

verschie-denen Maßstabes praktisch gleich sind. Es müßte also sein:

gm1 - rmi = gm2 - rn2 =

Trägt man für die einzelnen Modeilfamilien den Beiwert des

Gesamt-widerstandes

grn

über der Froude-Zahi

auf und setzt den Beiwert der

Reibung nach Froude ab, so müßte die Restkurve für alle Modelle

(11)

338 Über den Maßstabeinfluß bei Moddllschleppversuchen

3. Das Verfahren von Bruckhoff.

Bruckhoff (2)

_{(6) versucht in verschiedenen Aufsätzen nachzuweisen, daß}

für korrespondierende Geschwindigkeiten die Widerstände von Modellen

schiedenen Maßstabes und der Widerstand der Großausführung sich

ver-halten wie die 2,87. Potenz des Maßstabes.

Nach Bruckhoff ist

= u m 2.87,

ferner ist

= d

m3,

folglich

Wj W i

-

d ,1O.l8

Trägt man also

für

eine

Modelifamilie

die

-Werte

für

gleiche

Froudesche Zahlen über dem Maßstab in einem logarithmischen System

auf, so müssen diese

-Werte auf einer Geraden liegen, die gegen die

Abszissenachse den Neigungswinkel mit tg ß = 0,13 = 1: 7,7 hat.

Pr 1"ersiic/ìcans/a/f fûr /i/isscrÒoi

und $c?i"YaLf, 8er/in

A/JPtrcgLI/7g de$ Wiers'tcnees einer A?oteiifvn,i,e

nen/7 Bf'UCA-/iOfr

/1)7 /1ìfl d, - dnz3 -

-

-'--a',

d»

Lime a - mtf/ere fe/qulig ,,rnerha/b einer Mode//P,n,í/,e

Li»,? b - VCrdm1ongVmAfoo?//werfr mi&v»'ent fiQO» Froude

rvßer irreozer (ir) + Frec/iter ¿pr)

Torpefoocof (7p0) ¿ Ñic/idampPer(Fi) i rpi23/ I Fr. 13 ---I

--Frf'

II ---

_{a________}

10 30

40 500

&7 1W 74 12 10 40 10 0,9

10 Fcc/ic b'errog de$ euqe/rugeocn

8em Für der

NeO ste/ies PUr

Bild 7. (7} 817 z0L -/7 t070 40

48

-I _J- --.- -- pfm7en'C 41/ ZN,- Jzròi _{Aòb 7}

(12)

Versteht man unter korrespondierenden Geschwindigkeiten innerhalb

einer Modeilfamilie im weiteren Sinne die Geschwindigkeiten, bei denen

zwischen den "vViderständen eine mit einfachen Mitteln feststellbare

Gesetz-mäßigkeit herrscht, so lassen sich solche Beziehungen aufstellen, aber ini

allgemeinen nur innerhalb des Modeilbereiches. Bei der Anwendung der

festgestellten Beziehungen auf die Umrechnung für Großausführung bekommt

man meist ausgesprochen falsche Werte,

99*

1 2

Schiffsart großer Kreuzer Torpedoboot

Froude-Zahi

0,13 0,26 0,34 0,28 0,38 0,48

Neigungsfaktor a.

. . 4,08 5,09 7,05 3,3 4,3 7,7

Neigungsfaktor b

. . 7,98 9,4 12.65 5,8 6,8 7,7

3 4

Schiffsart Frachtschiff Fischdampfer

Froude-Zahl

0,12 0,16 0,20 0,1 0,2 0,28

Neigungsfaktor a

. . 5,36 5,26 4,94

°°

7.53 7,37

Neigungsfaktor b .

. . 8,4 8,18 9,45 6,7 7,7 10,2

Über den Maßstabeinfluß bei Modellschleppversuchen ₃₃₉

Bild 7 zeigt eine solche Auftragung für verschiedene Modeilfamilien bei

verschiedenen Froudeschen Zahlen. Man erhält von Modell bis

Großaus-Führung für jede Froude-Zahl eine mehr oder minder gestreckte Kurve, die

sich im Modelibereich ohne großen Zwang durch eine Gerade a ersetzen

läßt. Die Abweichung dieser Geraden von der Verbindungslinie der Punkte

des größten Modelles mit den Punkten der Umrechnung auf Großausführung

nach Froude, in Bild 7 mit Gerade b bezeichnet, ist meist aber recht

be-trächtlich. Außerdem tritt klar zutage, daß die Neigung der Geraden a gegen

die Abszissenachse innerhalb einer Modeilfamilie um so geringer

ist, je

höher die Froudesche Zahl liegt, worauf Gebers (7) schon hingewiesen hat.

Für bestimmte Schiffstypen, nämlich Schiffskörper vom großen Verhältnis

L : B bei kleinem

,

sind die Abweichungen von den Froude-Werten am

geringsten, für das Torpedoboot fallen sie sogar bei

= 0,48 genau

zu-sammen.

Die nachstehende Liste gibt die Neigung gegen die Abszissenachse

der-jenigen Geraden, durch welche die die Punkte gleicher Froude-Zahi innerhalb

einer Modelifatnilie verbindende Kurve ersetzt wurde, und zwar als den

Nenner a eines Bruches, dessen Zähler i ist. Nach Bruckhoff müßte a = 7,7

sein. Der Neigungsfaktor b gibt die Neigung an, welche die

Verbindungs-linie des 'Wertes -

vorn größten Modell mit dem Wert

des auf

Großaus-führung nach Froude umgerechneten Schiffes hat. Die Neigung der Linien b

stimmt im großen ganzen mit der Neigung des Abfalles nach dem

Bruckhoff-Koeffizienten

(Neigungsfaktor

7,7)

überein,

so daß das Verfahren als

Näherungsverfahren seinen Wert behält, insbesondere bei Gleit- und

(13)

340 Über den Maßtabeinfluil bei Moddllschleppversuchen

4. Das Verfahren von Telfer.

Telfer (3) versucht auf Grund von Rohrversuchen nachzuweisen, daß der

Reibungsbeiwert

r

von Platten ohne Längskanteneinlluß richtig

wieder-gegeben wird durch die Formel

- a + c

Fv2

2

worin a und c konstante \Verte sind.

Trägt man

,.

über

linear auf, so müßte man als Kurve der

_r

eine

Gerade erhalten.

Da ferner innerhalb einer Modellfaxnilie für gleiche Froudesche Zahlen

der Beiwert

des Formwiderstandes, in diesem Fall also cies

Restwider-standes, stets gleich vorausgesetzt wird, müßte auch der Beiwert

des

Gesarntwiderstandes, immer linear über

aufgetragen, eine Gerade sein,

dag=r+

ist.

Die Neigung dieser Geraden gegen die Achsen wäre von der Schiffsform

und der Rauhigkeit der Oberflächen abhängig und nach Telfer für alle

Froudesche Zahlen gleich.

Zur Bestimmung des Gesamtwiderstandes eines Schiffes sind daher

min-destens zwei Modelle zu schleppen und die Gesamtwiderstandsbeiwerte über

aufzutragen.

Die Verbindungslinie von zwei zusammengehörigen

Punkten der beiden Modelle, d. h. von zwei Punkten gleicher Froudescher

Zahl, gibt den Verlauf des Widerstandsbeiwertes für alle anderen Maßstäbe

und damit im Schnittpunkt mit der Abszisse

für das große Schiff den

Gesamtwiderstandsbeiwert der Großausführung bei gleicher relativer

Rau-higkeit.

Bild 8 bis 12 gibt die Widerstandsbeiwerte von Modellfamilien

verschie-dener Schiffsarten bei Auftragung nach Telfer. In Bild 8 bis 12 sind auch

die Kurven der Reibungswerte nach Gleichung (5) und (6), außerdem die

aus den Froude-Reibungsbeiwerten für

= 0,75 ermittelte Kurve

ein-getragen und als Kurve III bzw. Il bzw. I bezeichnet.

(û 08 127 125 ¿25 04 02 Fisc/IampPer

Freut!. Verguc/gcpstc/t Púr Wuj'sert'cu u Yc/7ft'ou, Bei-Im

'/o'erefurn1s'e/werte vor Moc/e//fumi/,en

oufgetrqgeìi ructi Te/Per

M8 788! M725 o-Je Mea 1783 M-1 7867 0M

/ -- -

LNOS 1784 a,. - -aJe

- J

4f-1152 MM 7877 M-6 IX MM 7078 M-7800 Fracfl fer ¿lOS 1075 Ml 48 z.

4

Moe 6308 N-105 4408 7155 M-Ils 45 8 aa a7 (14) 03) (12)aSo'ii

(is'

(17 - 129 08 Bild 8. (10 ,10

7 8 91,6 O 5-o' 70 8 Sa' 1' s 15 0 8 7 5 7 S,o'11,' 75,.

¿19

(lu)

(14)

70 09-08 07-ZN, 32 ZN? 11

Preuß. ersuc»sgnstolt /?ir 11'usserbco o, Sc/iifLwu, 8er!,» W,lJerstcn/e be, werte von Model/fgm,Ïie'n

uufgetruy'en riuc» Teller

$chne//oYimp/'er I N f, ZD' 09 , 08 07 ThId 9. Seirne//domoîer J 69,93 M-13 4M de a Abb 8 Mof 9082 69-1u az

j)

I

-n0,3'

f 701',' rsr-6'

(1er Plattenreihung f hr turbulente Strömungen mit laminarern Anlauf, wird.

Der Verlauf der Verbindungslinien für die Punkte gleicher Froude-Zahl im

Sinne der Kurve I, II oder III und der tYbergang von einem Zustand zum

anderen ist stark von der jeweiligen Schifl'sform abhängig.

In Bild 8 bis 12 ist für jede der Kurven I, II und Ill eine besondere

Strichart benutzt, und dieselbe Strichart ist auch für die Verbindungslinien

gleicher Froude-Zahlen in dem Bereich verwendet, in dem sie den

Grund-kurven parallel sind.

Diese Folgerungen gelten selbstverstãndlich ganz unabhängig von der

Funktion von l, über der die Widerstandsbeiwerte aufgetragen werden. Es

ist der Einfachheit halber die Auftragung von Telfer über t beibehalten

worden, aber ohne daraus irgend welche Folgerungen über den Verlauf der

Kurven zu ziehen.

b) Zahlenmäßige Auswirkung.

Entspricht der Abfall der Verbindungslinien gleicher

Geschwindigkeit-zahlen einer Moclellfamilìe im Modeilbereich nicht dem Abfall gemäß den

Froudeschen Reibungsbeiwerten, so

erhält man bei Umrechnung nach

Fronde

einen

unrichtigen

Restwiderstandsbeiwert,

wobei

zur

Fehler-abschätzung folgende Angaben dienen mögen.

Die Kurven I und II sind praktisch von

= 6. 106 ab parallel, bei

kleineren Reynolds-Zahlen verläuft Kurve I flacher als Kurve II. Geht für

Über den Maßstabeinflufi bei Modellschleppversuchen ₃₄₁

a) Feststellung des gesetznïäßigen Verlaufs.

Wie die

Bilder zeigen,

könneii die Verbindungslinien der Punkte

gleicher Froude-Zahl in den einzelnen Familien kaum oder nur unter

Zu-lassung großer Streuungen als Gerade angesprochen werden. Eine

Gesetz-mäßigkeit im Verlauf ist aber zweifellos festzustellen, und zwar derart, daß

mit hoher Reynolds-Zahi und für das jeweilige Modell hoher Froude-Zahi der

Verlauf parallel der Kurve II, d. h. den Beiwerten der Plattenreibung für

turbulenten Ströinungszustand, einsetzt und mit sinkender Reynolds-Zahi

und Froude-Zahi zunächst parallel Kurve I,

d.

h. den

Plattenreibungs-beiwerten nach Froude, und dann parallel der Kurve III, d. h. den Beiwerten

(15)

342 Über den Maßstabeinflufl bei Modeflschleppversuchen

einen Versuch im Anhalt an Bild 8 bis 12 hervor, daß der Abfall nach

Kurve II erfolgt, so ist bei der Umrechnung nach Froude der Beiwert des

Restwiderstandes mehr oder weniger zu groß, je nach der Reynolds-Zahi

(les Versuchs. Der Beiwert des Restwiderstandes ist um einen bestimmten

Anteil des Beiwertes des Reibungswiderstandes zu verkleinern. Man hat

= - Z'7.. Die Größe von z gibt folgende Aufstellung:

Die Kurven I und III sind praktisch von

= 1. 1O

ab parallel, bei

kleineren Reynolds-Zahien verläuft Kurve I steiler als Kurve III. Geht für

einen Versuch im Anhalt an Bild 8 bis 12 hervor, daß der Abfall nach

0.8 07 ad 0,0 -f0,3 'e' OS,

- :

:

MOU 7500 Mid j 44f 4OStorSvof 12. M' '4fOU 7004 M 13,320 3 -f 7 0 9j' 7' 3 o 3 4 5 4 7 ß.'1' 7.3 ) 7.'1175 33,!

Stärkere Abweichungen im Kurvenverlauf sind im nächsten Abschnitt

besprochen.

5. Unstimmigkeiten.

a) Bei der Auswertung nach Froude.

Wie aus den Ausführungen des Abschnittes II, 4 hervorgeht, können die

,-Werte der einzelnen Modelifamilien nur in eine Kurve zusammenfallen,

wenn der Verlauf der Kurven für gleiche Froude-Zahien innerhalb einer

Reynolds-Zahi des Versuchs .

2. 106 3. 100

_{4 10}

5. 10

100 z

4,8 2,5 1,4 0,3

Reynolds-Zahl des Versuchs .

2 108 3. 106 4. 106 5 106

6. 10

8. 10

100 z

8,7 4,4 1,9 1,3 0,7 0,1

Predi 1ersuc/is1rnsta/t für fl'asserôua u Sc hua 8er!,» AbS 7f

Wderstur?a's'Óe/wer/e .'vn Moc/allf'um,Ï,en

/3

_{aufgetragen cacti Th/fer}

#207007

4ff 20

o, _15,02

53 Ii ag 38 7 ai de

Bild 10.

Kurve III erfolgt, so ist bei der Umrechnung nach Froude der Beiwert des

Restwiderstandes mehr oder weniger zu klein, je nach der Reynolds-Zahl

des Versuchs.

Es wird jetzt

_{= ,}

+ z. Die Größe von z gibt folgende

Aufstellung:

37 KoS

8

MDtoröoof MOU 7005

(16)

10 09 128 127 £16 0.5 12.2 £0

Preu/3. I'erswc/ìso'rnstg/t für #csserôcu u Sc/70f&oh/, 8cr/rn WÌo'erstuno'r.&e/werte vor Mode/Ifflim//en

gjjjqetroqen mich Te/Per

44

:- S

04 5 8 7 lo' "tf

47-700- 02 1*, 18

Preuß. l'er$uC/780IlStcIf für Wusser&co, u Sch4f4iuL/, 8e,-/,n

00'

0,6- _{MoO 1180}

'4 M-175

H'/derstands'eiwerte ¡'on 4lorJe//Pc,rn/,en

ctifgetrogen nrzc/7 Te/Per 5leitöoot I Bild li. 486 12 42 4g 0,8 41v

t;

M-5.'

6 7 7 5'1 ' ¿7 Z S O l'o 40 0,9 0,8 ¿47 iSv!L ,;,' 10 - L79 as o,? U 5 ,112 (1,5) (1.4) (1,3) (1,2) (0.5) (8.0) Bild 12.

sind, wie schon früher festgestellt, für

t

a 6. 106 parallel; d. h., wenn die

Modelle groß genug gemacht werden, muß die Umrechnung aus

verschie-denen Maßstäben auf Großausführung praktisch dasselbe Ergebnis zeigen.

Bei kleineren Reynolds-Zahien ist der Verlauf der Kurven gleicher

Froude-Zahi teilweise parallel der Kurve I; vielfach aber auch parallel der

Kurve iII. und in letzterem Fall werden die Reibungsabziige nach Froude

Über den Maßstabeinflufl bei Modellschleppversuchen ₃₄₃

Familie parallel der Kurve I Ist. Bei höheren Reynolds-Zahien ist, wie Bild 8

bis 13 zeigt, der Verlauf der Kurven gleicher Froude-Zahi in allen

Modell-familien tatsächlich parallel den Kurven i oder II, und diese beiden Kurven

w großer h'rcojzer MOU 5 M-148 4M .0405 M M-075 MOO 18 MOU j8 °'!. / M 'Oil 480 05 ¿44 0,9 'o' 48 ., ¿19 U 144 ¿13v' oj . as 0.7 0,5-0.0 ?141.1260S.!8e

(17)

344 Ober den Maßstabeinflufl bei Modellschieppversuchen

falsch, so daß die Beiwerte des Restwiderstandes für die gleiche Froude-Zahi

innerhalb einer Modeilfamilie Unterschiede aufweisen müssen.

Diese Unterschiede können beseitigt werden, wenn für die Reibungs.

abzüge die Reibungsbeiwerte verwendet werden, wie sie für die einzelnen

Schiffstypen sich aus Bild 8 bis 12 ergeben. Besondere Vorsicht ist jedoch

bei all den Versuchen geboten, bei denen der Verlauf der Kurven gleicher

Froude-Zahi stark nach oben vorn Verlauf der Kurve III abweicht.

Bei der Beurteilung der Gesamtauswirkung ist noch zu berücksichtigen,

daß der Restwiderstand, in dem die Verschiedenheiten auftreten, meist nur

ein kleiner Betrag des Gesamtwiderstandes ist, während der

Reibungswider-stand bei Großausführung, ganz gleich, von welcher Modellgröße

man

aus-geht, rechnerisch immer mit dem gleichen Betrag erscheint,

so daß der

Fehler im Endergebnis nur als Prozentsatz eines kleinen Prozentsatzes

auftritt.

Ungewöhnlich ist in Bild 3 (Frachter) der Verlauf der

g -

Kurve für die

Maßstäbe 1: 35 und i : 40, die sich wiederholt überschneiden. Eine

be-stimmte Erklärung dafür kann nicht gegeben werden, wenn die Erscheinung

auch wahrscheinlich auf Tankeinfluisse oder Grenzfälle in der Auswirkung

der Reynolds-Zahi zurückzuführen ist.

b) Bei der Auftragung nach Telfer.

Wenn auch manchmal eine gewisse Willkür in der Anordnung des Zuges

für die Kurve der -Werte bei gleichbleibender Froudescher Zahl in Bild 8

bis 12 zu herrschen scheint, so glaube ich doch, daß der Abfall dieser

Kur-ven im Sinne der KurKur-ven II bzw. I bzw. III bzw. im Übergang von der einen

zur anderen nachgewiesen ist.

Die Punkte liegen nun aber meist nicht genau auf der Kurve, sondern

es

ist ein gewisses Pendeln um diese Kurve festzustellen, wie man besonders in

den Bildern 10 und 11 beobachten kann. Worauf diese Schwankungen

be-ruhen, konnte nicht erwiesen werden, möglich ist ein Einfluß der Tankbreite

bzw. Tanktiefe oder von Verhältnissen im Abstrom, über die wir heute noch

nichts Bestimmtes aussagen können.

Ebenso unerklärlich ist das teilweise oder völlige Herausfallen einzelner

Modelle, und dieses bei Modellängen und Reynolds-Zahien, die bis jetzt als

durchaus genügend erachtet wurden. Es handelt sich dabei um folgende

Modelle:

Der Widerstand ist hier durchweg viel zu hoch.

Aber auch bei einem dem allgemeinen Farniliencharakter sich gut

ein-ordnenden Modell treten manchmal auf kurze Strecken Vergrößerungen der

Widerstandsbeiwerte ein, für die eine erschöpfende Begründung nicht

ge-geben werden kann. Es gehören hierher die Gesamtwiderstandsbeiwerte des

Frachtschiffes im Maßstab 1: 25 von

= 0,18 bis

0,10.

Ganz ungeklärt sind auch die Gründe, weshalb die Widerstandsbeiwerte

eines Modelles bei niedrigen Froude- und Reynolds-Zahien einmal dem

Ab-fall der Kurve III, d. h. turbulenter Plattenreibungsbeiwerte mit laminarern

Anlauf, ziemlich weit folgen (vgl. Bild 8), Fischdampfer Mod. 1164, Maßstab

1: 12,5), ein andermal ohne Abfall gleich nach oben abbiegen (vgl. Bild 8,

Frachter Mod. 1105, 1:20, und Mod. 1106, 1:35).

In Bild 11 (Motorboot) treffen die Verbindungslinien gleicher

Froude-Zahl nicht die zugehörigen Punkte aus dem Schleppversuch im Maßstab 1: 1,

d. h. die Werte aus dem Schleppversuch mit dem eigentlichen Schiff, da cias

a) Schneildampfer II

1: 3;

Modellänge 3,0

m,

b) Torpedoboot

1: 30,3;

,, 3,22

m,

c)

Gleitboot I

1: 5;

,,

1,942 m,

(18)

Großausführung.

i

106 _{2. 10°} _{4. 10°} _{1 . 10}

_{2. iø}

_{4. l0}

_{1 . 10°}

102

rt'...

_0,395 _0,361 _0,328 _0,287 _0,257 _0,232 _0,198

i

iO 2. iO 4 iO

1. 10° 2. 108 4 10° 1. 10° 2 10° 4. 10° 1 . 10'°

102 4.

.

0,348 0,308 0,278 0,242 0,220 0,201 0,178 0,163 0,152

0,138

Über den Maßstabeinflufl bei Modellschlcppversuchen ₃₄₅

Schiff natürlich eine andere Rauhigkeit hatte

als die aus Paraffin

her-gestellten Modelle. Der Unterschied in den Gesamtwiderstandsbeiwerten

beträgt etwa 15%, was bei einem Anteil des Reibungswiderstandes am

Ge-sarntwiderstand von 50% einem Unterschied in der Rauhigkeitsauswirkung

von etwa 30% entsprechen würde. Dieser Betrag ist hoch, auch wenn

berücksichtigt wird, daß das Boot eine ziemlich alte Kupferhaut beim

Schleppversuch hatte.

In Bild 10, Schnelldampfer H, fällt der Punkt Ç = 0,32 im Maßstab 1: 1

ziemlich hoch, verursacht wahrscheinlich dadurch, daß dieses 9 m lange

Modell bei dieser Geschwindigkeitszahl zu groß für die Rinnenabmessungen

der Versuchsanstalt ist.

c) Negativer Restwiderstand.

Wie schon in Abschn. II, ic angegeben und aus Bild i ersichtlich, liegen

die Verbindungslinien für die Reibungsbeiwerte gleicher

Geschwindigkeits-zahlen nach Froude um so höher, je kleiner die Froudesche Zahl ist. Für

die Kurve I ist die hohe Froude-Zahi

= 0,75 gewählt, und doch

über-schneidet in Bild 8 die Kurve der Gesamtwiderstandsbeiwerte des

Fisch-dampfers im Maßstab 1: 25 und des Frachters im Maßstab i : 62,5 die

Rei-bungsbeiwerte nach Kurve I.

Bei schematischer Anwendung der Reibungsabzüge nach Froude würde

in dieseni Fall der Reibungsabzug sicher größer werden als der

Gesamt-widerstand des Modelles; in der Tabellenrechnung tritt dies als negativer

Restwiderstand in Erscheinung. Das ist natürlich eine Unmöglichkeit und

beweist nur, daß in einem solchen Fall die in die Rechnung eingeführten

Reibungsabzüge, d. h. die Reibungsbeiwerte zu hoch waren.

Inwieweit die aufgezeigten Unstimmigkeiten durch Verkürzung der

laminaren Anlaufstrecke, also durch Aufrauhung oder Stolperdraht

beein-flußt werden können, muß weiteren Untersuchungen vorbehalten bleiben.

6. Ein Verfahren für Grenzfälle.

Wie die Abschn. II, 2 bis 4 zeigen, genügt das Verfahren von Froude

allen billigen Anforderungen, solange das Modell groß genug ist und

Schiffs-abmessungen und Schiffsgeschwindigkeit sich innerhalb bestimmter Grenzen

bewegen.

Nimmt man für die Umrechnung auf Großausführung anstatt der

Froudeschen Reibungswerte die nur von der Reynolds-Zahl abhängigen

Reibungsbeiwerte

,.

der Kurve I im Modelibereich und im Bereich der

Großausführung den 1,l5fachen Betrag der Werte nach Gleichung (6), so

decken sich die damit errechneten Werte recht gut mit den

Umrechnungs-werten nach Froude, in Grenzfällen werden sie sogar richtigere Werte

er-geben. Diese beiden Kurven sind in Bild i etwas stärker ausgezogen. Ihre

Zahlenwerte sind:

Liste der Reibungsbeiwerte.

(19)

A

z8

342-32 ft2 17

W/derstandsóe/s'erte «'ori Álode//famiÏthn

aufgetragen ncch Th/fer

IZ/e/tu/dc/ienversuche voti So/torf (H.s'A)

2«- 22- 1,0-rilase

DAßC

1 2 g 8re,te as ¿3 0,15 0,075 8'« 8e/aleng 188 /5 225 02v kO fie wio'ir gq 58 «Z4 58 mfSc a',-

'111. -1

?!''" 't

AbO 15 ,le8werte ,o,-oys,wCfttlICh« Werte .2 3 6 5S7",' 2 3

Der Widerstand für Großausführung

W

bei korrespondierender

Geschwiii-digkeit ist

W=8!_FV2

- e 'qs 2 8 2tt3tn'«1

= -

gm gm--fV:n e 2 W _{gm --}

f

v gs

=

gm - rm + rs

w=

(i

)r8)

wm3. (11)

Dabei werden Temperaturunterschiede schon in der Berechnung von

fur

die Bestimmung von

,

berücksichtigt.

ist man aus irgendeinem Grunde zu Modeliversuchen mit einer

Reynolds-Zahl

t < 2- 106 gezwungen worden, so ist an Hand von Bild 8 bis 12

nach-zuprüfen, ob nicht kleinere Reibungsbeiwerte, als in obiger Liste angegeben,

einzusetzen sind.

7. Umrechnung von Modell auf Großausfiihrung

ohne genaue Bestimmung der benetzten Fläche.

Wie oben gezeigt, setzt die Umrechnung nach Froude den Verlauf der

Reibungsbeiwerte innerhalb einer Modeilfamilie bis zur Großausführung

nach den zu jeder Froude-Zahl gehörigen Kurven in Bild i voraus, wobei

346 Über den Mafistabeinflufi bei Modellschleppversuchen

02 1D 4

0,8 17

28,62 1?

(20)

'US

W = - w flt

(lia)

ein Wert, der sich völlig mit Gleichung (ii) deckt.

Abgesehen von dem Anteil des Reibungswiderstandes sind auch für die

Bestimmung der Reynolds-Zahl Annahmen zu machen, nämlich über die

benetzte Länge. Infolge der Gestrecktheit der Kurven des Reibungsbeivertes

beeinflussen jedoch auch größere Schätzungsfehler kaum das Schlußergebnis.

8. Anwendung auf Flugboote und Gleitboote.

Aus Bild 12 geht hervor, daß auch die Gleitboote im Gleitzustand diesem

Gesetz des Abfalls der Widerstandsbeiwerte folgen, wenn das Modell groß

ge-nug gewählt war. Dasselbe entnehme ich für Schwimmer den Versuchen von

Sottorf (14), auch wenn dort bei kleinen Geschwindigkeiten das quadratische

Widerstandsgesetz zu gelten scheint, zumal da Maßstabversuche für

Gleit-flächen, die von Sottorf an derselben Stelle

(14)

_{mitgeteilt werden, bei}

Auf-tragung gemäß Abschn. II, 4 auch den Abfall parallel den Reibungsbeiwerten

für Platten zeigen (s. Bild 13). Es ist aber zu beachten, daß bei geringerer

Anstellung der Fläche (3°) und einer Froude-Zahl

= 1,83 der Abfall gemäß

Kurve III erst bei einer Reynolds-Zahi von 7 . 10 einsetzt, während bei

stärkerer Anstellung (8°) und einer Froude-Zahi

= 3,95 der Abfall nach

Kurve I schon bei einer Reynolds-Zahi von 0,8. 10° vor sich geht.

Unter Benutzung des in Abschn. II, 7 entwickelten Verfahrens kann

dem-gemäß die Umrechnung auf Großausführung ohne Bestimmung der benetzten

Oberfläche durchgeführt werden. Der Gang ist folgendermaßen:

Über den Mafistabeinfluß bei Modellschlcppversuchen 34.

ein Sprung beim Übergang vom Modell zum Schiff mit Rücksicht auf die

Rauhigkeit stattfindet.

Benutzt man die in Abschn. II, 6 gegebenen Kurven für den Abfall des

Reihurigswiderstandes, stellt also diesen Abfall nur in Abhängigkeit von der

Reynolds-Zahl und nicht von der Froudc-Zahl, so ermöglicht dieses unter

be-stimmten Voraussetzungen die Umrechnung von Modell auf Großausfiihrung

ohne Kenntnis der Größe der benetzten Fläche.

Für einzelne Flugzeugschwirnmer, Flugboote und Gleitboote kennt man,

mindestens angenähert, bei den verschiedenen Modellgeschwindigkeiten den

Anteil des Reibungswiderstandes am Gesamtwiderstand, z. B. auf Grund der

Beobachtungen bei Modellschleppversuchen. Bild 13 gibt diese Anteile für

(lie Modelle von zwei Flughooten und zwei Gleitbooten, und zwar bei den

Gleitbooten in Abhängigkeit von der Froude-Zahi

, bei den

Flugbooten in

Abhängigkeit von der Größe

_-,

wobei Vt die Startgeschwindigkeit bedeutet.

Man kennt damit bei dem Modell für ein bestimmtes

und

den Anteil

Wr

ties Reibungswiderstandes am Gesamtwiderstand

= a = -

und somit für

(liese Abszisse auch

-g

=

_r

und

_{f = g -}

i - a

Dieses i,

bleibt mit guter Annäherung gleich groß für die Umrechnung

in alle Maßstäbe. Die Reynolds-Zahl für die Großausführung

,

ist L

läßt sich also jederzeit berechnen. Das zugehörige

kann den Kurven in

Bild i entnommen werden, und damit hat man den Widerstandsbeiwert der

Grotlausführung

la

a

brm-Der Widerstand der Großausführung bei korrespondierender

(21)

348 Über den Mafistabeinflull bei Moddllschleppversuchen

Für das Gleitbootmodell Nr. 1169, Maßstab 1: 3'/3, ist für

Um = 3,195

mis;

= 0,6;

= 8,106. 106; w = 7,418 kg.

Für Großausführung ist dann

V5=V&fl2=5,38 m/s;

_8m312

4.94 1O.

Aus Bild 14 erhält man für

=0,6;

rmgm0,3.

0,296.102

_-2 gm 03 0,98710 8 =

gm - rm

+ Y8

= 0,962 10-2

W= w - rn3= 296 kg. gm

damit

700 30 56' 50 4'0 30 405751

II---=I

4ff________

Aus Bild i erhält man für

= 8,106 106; _{rm = 0,296} 10-2

= 4,94 10v;

0,271 . 10.

iL 00% 30 57 50 70 80 00 100

U37

Bild 14.

Die Einführung eines Anteils des Reibungswiderstandes am

Gesamtwider-stand von 20% anstatt der tatsächlichen 30%, also ein Verschätzen um

an-nähernd 30% des wahren Wertes, verändert das Endergebnis noch nicht

um 2%.

Die Einführung einer um 20% falschen benetzten Länge bei der

Bestim-mung der Reynolds-Zahi hat auf das Ergebnis iiberhaupt keinen Einfluß.

III. Einfluß des Maßstabes auf den Mitstroin.

In den vorausgehenden Abschnitten haben wir den Einfluß des Maßstabes

auf die Widerstandziffer geometrisch ähnlicher Modelle untersucht. Es bleibt

noch die Frage zu beantworten, ob der Mitstrom bei geometrisch ähnlichen

Modellen für korrespondierende Geschwindigkeiten ähnlich ist, d. h. ob die

Mitstromziffer gleich bleibt.

In meinem Vortrag (11) vor der Schiffbautechnischen Gesellschaft im

No-vember 1930 hatte ich bereits über Ergebnisse von Untersuchungen des

Mît-stromes an zwei ähnlichen Modellen von 3 und 6 m Länge berichtet. In der

Berliner Versuchsanstalt sind diese Untersuchungen an einem geometrisch

konnte wegen Störung der Messungen durch Tankein!luß nur die niedrigere

der beiden Geschwindigkeitziffern

₍

= 0,228) untersucht werden.

Außer-dem wurden noch Messungen bei der Schleppgeschwindigkeit

Um = 1,5 m/sec

vorgenommen, da das 9-m-Modell (Mod. 1137) dabei die gleiche

Reynolds-Zahl zeigt wie das 6-m-Modell (Mod. 1082) bei

= 0,338.

(22)

3%" 32 .ij,,, 1137

2 * 6%

I lJ-5'a/Sec j

'i Pc,fteJI r

k5,

& Ve uCf,J'0,73rz// /21- 4jre,'Òw¿ea' $cbifOazi ßet/,i, ,11,t.çtro,'îth,/d NÒiI îl37(Stro,,&ijr/,)Mee ñ'ija'er

HOtI0//tinge ¿ - Douz fempOretOt . 14o'

CJ'/L

Die e pzrnfr/ierfe-i Lì»,en rMeeiû'en ae Porn g/eic/ier Hitzw-ou,z,fr,- k - /80 Oir atoe' 1082

8e, gleichem ,t

Bild 1%.

Bild 16 zeigt die Änderung der Mitstromziffer dieser Modelifarnilie an

einzelnen Meßpunkten. Bemerkenswert ist zunächst, daß die Unstetigkeit

der Meßergebnisse im Bereich der Reynolds-Zahl 4 106 bis 6 106 sich erneut

bestätigt hat. Die angedeutete, mehrfach treppenförmige Änderung der

Mit-stromwerte ist bei verschiedenen Modellen beobachtet worden, jedoch ohne

daß gleichzeitig eine Streuung der Widerstandswerte aufgetreten wäre. Von

6. 106 ab tritt ein stetiges Absinken der Mitstromziffer ein; Gleichheit des

Mitstrombildes zwischen ähnlichen Modellen bei gleicher R e

y n o 1 d s scher

Zahl ist sicher nicht vorhanden, aber sie ist auch nicht vorhanden zwischen

zwei ähnlichen Modellen für die gleiche F r o u d e sehe Zahl.

Die unterste Kurve in Bild 15 gibt die Änderung der mittleren

Mitstrom-ziffer über der Schraubenkreisfläche mit der Reynolds-Zahi. Auch hier sind

die Unstetigkeiten an denselben Stellen vorhanden, dabei ist die

Mitstrom-ziffer für Mod. 1137 aus den Meßergebnissen mit Mitstromrädchen ermittelt.

Verbindet man die Punkte gleicher Froudescher Zahl durch eine Kurve, die

sich einer Horizontalen im Bereich der Reynolds-Zahlen für Großschiffe

asymptotisch nähert, so läßt diese Kurve erkennen, daß der Abfall der

mittleren Mitstrornziffer über dem Schraubenkreis vorn 6-rn-Modell bis

zur

Großausführung bei einem 6 von 0,57 immer noch etwa 12% betragen wird.

IV. Einfluß des Maßstabes auf Propellerversuche.

In bezug auf den Einfluß des Maßstabes bei Propellerversuchen verweise

ich auf die Arbeit von Herrn Dipl.-Ing. Gutsche von der Preußischen

Ver-suchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau, die demnächst veröffentlicht wird.

Ein großer Teil der Ergebnisse ist ja gelegentlich der Konferenz über

hydro-mechanische Probleme des Schiffsantriebs in Hamburg schon mitgeteilt

worden.

I i v-lL7eui/.ree r r j I r _'i _/ r

'.'

r

I / ! '4/r r

i

Dell L r

!

s'i'

-, r -r

/-/"-r

I ¡ /

,.'

-r

t'i !/'1

I r I I

»H-4---

i 0Jhe/ I o,r',sei' r 58 6 4 Z

Die aoeqc:ogc»cu i,me' 'e'8,»a', ce PenHe

gleicher uf omeifer - 108 fil- Hoi! 7137 (HeDwerte es Pitorrolo-J)

A 15

60

330

Über den Mafistabeinliufi bi Modellsehleppversuchen

349

Das Mitstrombild von Mod. 1137 zeigt Bild 15 für

= 0.228, d. i. y =

2,14 rn/sec, auf der rechten Seite und

= 0,16, d. i. u = 1,5 rn/see, auf dec

linken Seite. Auf der rechten Seite sind gestrichelt auch die Mitstromwerte

von Mod. 1082 für die gleiche Froudesche Zahl eingetragen. Man sieht, daß

das Einschrumpfen der Linien gleicher Mitstrornstärke gegen die Mittellinie

der leichten Ladelinie hin sich fortgesetzt hat, allerdings lange nicht mehr

(23)

Z 4n30 S5e

7" '.'031) _{P'e,ss ¡'e,-svchsov} e/t fol- ¡*'sse,-6ao ow,'

At'de-wg de,- Mllm-o leo- b no-t de,- Ce ho2idi9O4eit bei

9eemet,-,th dh,,/ichet, /lôo'e//en

I'e'-.ro.'th 30,-ohóo,sth

1- .4fod 7083.1/Om e Mod 1082,1-50m

Bild 16.

VI. Folgerungen.

1. Für die Widerstandermittlung.

Das Froudesche Verfahren kann im üblichen Bereich mit genügend

großen Modellen ohne Bedenken angewandt werden.

Bei verhältnismäßig langsamen SchiiTen, d. h. bei Schiffen mit einer

Betriebsgeschwindigkeit entsprechend

= 0,1 bis 0,25 und einem Verhältnis

von Länge zu Breite

7 soll die Reynolds-Zahi des Versuches

2,5. 10 sein.

Bei schnellen Schiffen mit einer Betriebsgeschwindigkeit entsprechend

= 0,25 bis 0,5 und einem Verhältnis von Länge zu Breite

8 soll die

Reynolds-Zahl des Versuches

7,5- 106 sein.

Kleinere Modelle geben im allgemeinen zu hohe Widerstände.

Bei Sonderschiffen (Motorboote, Gleitboote, Flugboote) soll die

Re-iìolds-Zahl beim Versuch mindestens 2,5. 106 sein.

3fod 7137, ¿-80m [S- f0"28Z/) We,-tee,.eOom 1053'P'37) 0.5 50 55 50 00 02 73 Abb75

350 Über den Maßstnbeinflnß bei Modellschleppversuchcn

V. Einfluß (les Maßstabes auf den Sog bei den Versuchen

,,Modell mit Propeller".

In dieser Hinsicht liegen noch sehr wenige Versuche vor, die praktisch

verwertbares Zahlenmaterial liefern könnten. Theoretisch ist die Frage von

Heimbold behandelt, aber die zahlenmäßige Auswertung dieser Theorie für

die Praxis stößt noch auf Schwierigkeiten.

(24)

Über den Mailsiabeinflull bei Modellschleppversuchen ₃₅₁

2. Für dic Mitstromermittlung.

Bei verhältnismäßig langsamen Schiffen soll die Reynolds-Zahi des

Versuches mindestens 4 106 sein, um einen stetigen Verlauf der

Beiwerts-kurve zu erzielen.

Bei schnellen Schiffen soll die Reynolds-Zahi des Versuches

mm-(lestens 6. 106 sein.

In beiden Fällen ist die so erhaltene Mitstroinzi(Ter noch für

Groß-ausführung richtigzustellen, d. h. sie muß bei Einschraubern urn 10 bis

15%

vermindert werden.

3.

Für Propellerversuche.

Die unmittelbare Verwendung der Beiwerte aus dem Modellversuch für

die Umrechnung auf Großausführung ist nicht richtig. Es muß eine

Um-rechnung der Werte unter Berücksichtigung der Kennzahlen der benutzten

Proflischnitte erfolgen. Zahlen als Mittelwerte solcher Umrechnungen, ebenso

die Auswirkung dieser Erkenntnisse auf den Versuch ,,Modell mit Propeller'

müssen weiteren Arbeiten vorbehalten bleiben.

'Wir erhalten mit den zur Zeit üblichen Auswertungsverfahren der

Schleppversuche ganz gute Angaben über die

Verhältnisse der

Groß-ausführung wahrscheinlich dadurch, daß verschiedene Unstimmigkeiten sich

gegenseitig aufheben. Es ist deshalb nicht zu empfehlen, nur einzelne

Richtig-stellungen einzuführen, ehe alle Einilüsse richtig beurteilt werden können.

Wenn ich in meinen Ausführungen offen dargelegt habe, wo unsere

Ein-sicht in das Wesen der Schleppversuche noch nicht den Ergebnissen

voll-ständig gerecht zu werden vermag, so glaube ich doch auf der anderen Seite

auch die Berechtigung zu Modellschleppversuchen und ihrer Umrechnung

für Großausführung nachgewiesen zu haben. Nur die Kenntnis der Untiefen

gibt die Möglichkeit, ihnen aus dem Wege zu gehen.

Ich möchte nicht schließen, ohne auch an dieser Stelle meinen

Mit-arbeitern in der Preußischen Versuchsanstalt für Wasserbau und Schiffbau,

insbesondere Herrn Ing. Rachals und Herrn Ing. Boteck, für die sorgfältige

und gewissenhafte Durchführung der Versuche sowie ihre Auswertung und

Umrechnung meinen Dank auszusprechen.

VII. Zusammenstellung der Bezeichnungen.

Für benannte Werte beziehen sich große Buchstaben auf

Großausführun-gen, kleine Buchstaben auf das Modell.

B, b

Breite

D, d

Verdrängung in Tonnen

F, f

benetzte Fläche

Froudesche Zahl = y:

g

Beschleunigung der Erdschwere

L, ¡

Länge

m

Maßstab

Reynolds-Zahi = y i

: y

Geschwindigkeit in Meter-Sekunden für das Schiff

Geschwindigkeit in Meter-Sekunden für das Modell

Startgeschwindigkeit von Flugbooten

W, w

Gesamtwiderstand

Wr

Reibungswiderstand

y

spezifisches Gewicht des Wassers

spezifisches Gewicht des Seewassers

Beiwert des Gesamtwiderstandes

Beiwert des Gesarntwiderstandes für das Schiff

(25)

352 Über den Maßstabeinfluß bei Modellschleppversuchen

Beiwert des Reibungswiderstandes

rs

Beiwert des Reibungswiderstandes für das Schiff

rm

Beiwert des Reibungswiderstandes für das Modell

Beiwert des Form- bzw. Restwiderstandes

Beiwert der Reibung nach Fronde

Beiwert der kinematischen Zähigkeit

e

Dichte=y:g.

VIII. Literaturverzeichnis.

S e e w a 1 d, Jahresbericht 1931 der Deutschen Versuchsanstalt für Luftfahrt.

B r u e k h o f f, Kritische Betrachtungen über Formeln für Schleppversuche, Werft

-Reed erei - Flafen 1920, S. 350.

T e 1f e r, a) Shipresistance Similarity, Transactions of the Institution of Naval Archi-tects 1927.

b) Frictional Resistance and Shipresistance Similarity, Transactions of the North-East-Coast Institution of Engineers and Shipbuilders 28/29. W. F r o u d e, Report of frictional resistance of water 1874.

G e b e rs, Ein Beitrag zur experimentellen Ermittlung des Wasserwiderstandes

be-wegter Körper, Schiffbau 1907/08.

B r u c k h o f f, Froudesche Formel und Bruckhoffsche Zahl, Werft - Reederei - Hafen 1921, S. 327.

G e b e rs, Die Bruckhoffsche Zahl und die Froudesche Formel, Werft Reederei

-Hafen 1921, S. 67.

E i s n e r, Erörterung zum Vortrag Akimofi, Jahrbuch der Schillbautechnischen Gesell-schaf t 1932.

E is ne r, Der Widerstand von dünnen, langsangeströmten Platten, Schiffbau,

Jahr-gang XXXI, Heft 22.

L e r b s, Die neueren Messungen des Druckverlustes in Rohren, Werft Reederei

-Hafen 1930, Heft 17.

W e i t b r e c h t, Mitstrom und Mitstromschrauben, Jahrbuch der Schifibautechnischen Gesellschaft 1931.

W e i t b r e c h t, Erörterung zum Vortrag über Reibung auf der Konferenz für

hydro-mechanische Probleme des Schilisantriebs, Hamburg 1932.

N i k u r a d s e, Strömungswiderstand in rauhen Rohren, Zeitschrift f. angew. Math, u.

Mech. 1931, S. 409.

S o t t o r f, Einfluß des Maßstabes bei der Untersuchung von Flugzeugschwimmern, Jahrbuch der Wissenschaftlichen Gesellschaft für Luftfahrt 1932.

L. P r a n d t 1, Diskussion zum Reibungswiderstand, Werft - Reederei - Hafen 1932,

Heft 14.

Nachtrag.

Die vorliegende Arbeit ist im Frühjahr 1932 abgeschlossen und war

bereits in den Druck gegeben, als mir Einzelheiten aus dem Vortrag von

Herrn Ministeriairat Schlichting bekannt wurden. Außerdem sind in der

Zwischenzeit verschiedene einschlägige Arbeiten veröffentlicht worden. Ich

habe im mündlichen Vortrag darauf hingewiesen und gebe diese Punkte

nachstehend zusammengefaßt, einschließlich meiner Stellungnahme zum

Vortrag von Herrn Ministerialrat Schlichting.

Die zwei Arbeiten greifen die Frage der tïbertragbarkeit des Mode

il-versuchs auf Großausführung an ganz verschiedenen Seiten an. Mein

Vor-redner untersucht in vollständig neuartiger Weise die Kurven der

Wider-standsbeiwerte der einzelnen Modelle und die Beziehungen innerhalb der

Modellfamilien. Seine Arbeit ist eine vorzügliche Grundlage für die

Ein-führung eines geänderten Umrechnungsverfahrens. Ich versuche mehr

empirisch, mir über die Beziehungen innerhalb der Modelifamilien

Klar-heit zu verschaffen. Die Abmessungen der untersuchten Modelle innerhalb

der einzelnen Familien zeigen bei mir größere Unterschiede, da ich auch

kleinste Modellgrößcn in Betracht ziehe, von denen bekannt ist, daß sie

für die Übertragung auf Großausfiihrung im allgemeinen nicht verwendet

werden können. Meine Feststellungen werden zum großen Teil bei der

Praxis des Schleppbetriebes bereits berücksichtigt, sie sind jedoch meines

Wissens noch nirgends klar ausgesprochen worden.

(26)

f

2-Z//'.JZ/Ñilf

Prezíl?Vereuc/lsu/7s/u/t î 7yeerÔaf ¿ .îcfi,JÓgu,8er(,»

ñ'eióuag.rbe,werte ,.rauher P/utter auch franc/ti Id<ñW 1232, I/ettI 18)

- «i

ADrngrdße ar ,1'uu/iifre,Ift -¿J nez

A6 17

¿

ii

Bild 17.