1
Geometria analityczna pªaszczyzny - okr¡g A. Mróz
1. Uªó» równanie okr¦gu
(a) o ±rodku w (2, −5) i promieniu 4,
(b) o ±rodku w (−3, 4) i przechodz¡cego przez ±rodek ukªadu, (c) o ±rodku w (0, 4) i przechodz¡cego przez punkt (5, −8).
2. Znajd¹ równanie okr¦gu takiego, »e ko«ce jednej z jego ±rednic maj¡ wspóªrz¦dne A = (1, 4) i B = (−3, 2).
3. Na osi odci¦tych znajd¹ ±rodek okr¦gu przechodz¡cego przez punkty A = (2, 3) i B = (5, 2) i napisz równanie tego okr¦gu.
4. Wyznacz wspóªrz¦dne ±rodka S i promie« r okr¦gu danego równaniem x2+y2−10x+24y−56 = 0.
5. Przy jakim warunku równanie x2+ y2+ ax + by + c = 0okre±la okr¡g?
6. Równanie x2+ y2+ ax + by + c = 0 okre±la okr¡g. Przy jakim warunku okr¡g ten jest styczny
do osi Ox?
7. Napisz równanie okr¦gu
(a) o ±rodku w pocz¡tku ukªadu i stycznego do prostej 6x − 8y + 10 = 0, (b) o ±rodku w punkcie (6, 7) i stycznego do prostej 5x − 12y − 24 = 0.
8. Napisz równanie okr¦gu stycznego do obydwu osi wspóªrz¦dnych i przechodz¡cego przez punkt (2, 9).
9. Napisz równanie okr¦gu (o ile to mo»liwe!) przechodz¡cego przez trzy punkty: (a) A = (0, 2), B = (1, 1) i C = (2, −2),
(b) A = (7, 7), B = (0, 8) i C = (−2, 4), (c) A = (0, 4), B = (1, 2) i C = (3, −2).
10. Jak poªo»one s¡ punkty A = (−3, 0), B = (5, 0), C = (4, 2), D = (2, 7), E = (−4, 6), F = (3, −1), G = (−2, 3)wzgl¦dem okr¦gu (x + 1)2+ (y − 2)2 = 25?
11. Znajd¹ punkty przeci¦cia okr¦gu x2+ y2+ 2x − 4y − 20 = 0z prostymi
(a) x − y − 4 = 0, (b) 3x − 4y + 36 = 0, (c) x − y − 5 = 0. 12. Jak poªo»one s¡ wzgl¦dem okr¦gu x2+ y2= 36proste:
(a) x − 2y + 5 = 0 (b) 5x − 12y + 26 = 0, (c) 3x − 4y + 30 = 0 (d) x + y − 17 = 0. 13. Napisz równanie stycznej
(a) do okr¦gu x2+ y2= 5 w punkcie (1, −2),
(b) do okr¦gu x2+ y2− 2x − 4y − 20 = 0 w punkcie (5, 5).
14. Napisz równania stycznych poprowadzonych:
(a) z pocz¡tku ukªadu do okr¦gu (x − 2)2+ (y − 4)2 = 2,
(b) z punktu (7, 1) do okr¦gu x2+ y2= 25.
15. Znajd¹ styczne do okr¦gu x2+ y2 = 5 równolegªe do prostej 2x − y + 1 = 0.
16. Dany jest okr¡g o ±rodku w pocz¡tku ukªadu i promieniu 12. Poprowad¹ styczn¡ do tego okr¦gu tak, by odcinek tej stycznej zawarty mi¦dzy punktem styczno±ci a punktem przeci¦cia z dodatni¡ cz¦±ci¡ osi Ox miaª dªugo±¢ 35.
2 17. Punkt M poruszaª sie po okr¦gu (x − 4)2+ (y − 8)2= 20, po czym oderwaª si¦ od niego i dalsz¡
drog¦ odbywaª swobodnie. O jego dalszej drodze wiadomo, »e przeci¦ªa o± Ox w punkcie (−2, 0). Znajd¹ ten punkt okr¦gu, w którym punkt M oderwaª si¦ od niego.
18. Znajd¹ k¡t, pod jakim wida¢ okr¡g x2+ y2= 16 z punktu (8, 0).
19. Napisz równanie wspólnej ci¦ciwy dwóch okr¦gów
o1 : x2+ y2= 10, o2 : x2+ y2− 10x − 10y + 30 = 0.
20. Napisz równanie okr¦gu maj¡cego ±rodek w punkcie C = (5, 4) i stycznego zewn¦trznie do okr¦gu x2+ y2− 4x − 5 = 0.
21. Napisz równanie okr¦gu stycznego do prostych 2x + y + 2 = 0 i 2x + y − 18 = 0 i przechodz¡cego przez punkt M = (1, 0).
22. Napisz równanie okr¦gu przechodz¡cego przez pocz¡tek ukªadu i stycznego do prostych x + 2y + 9 = 0 i 2x − y − 2 = 0.
23. Napisz równanie okr¦gu o promieniu dªugo±ci√5 i stycznego do prostej x + 2y − 1 = 0 wiedz¡c, »e jego ±rodek le»y na osi Oy.
24. Napisz równanie okr¦gu wpisanego w trójk¡t, którego boki s¡ zawarte w prostych s1 : x − 4 = 0, s2 : 3x − 4y + 36 = 0, s3 : 4x + 3y + 23 = 0.
25. Znajd¹ k¡t, pod jakim przecinaj¡ si¦ dwa okr¦gi:
o1: (x − 3)2+ (y − 1)2 = 8, o2: (x − 2)2+ (y + 2)2 = 2.
26. Dane s¡ dwa okr¦gi:
o1: (x − a1)2+ (y − b1)2= r21, o2: (x − a2)2+ (y − b2)2= r22.
Znajd¹ warunek na to, by okr¦gi o1 i o2 byªy ortogonalne.
27. Przez punkt M = (2, 3) poprowad¹ okr¡g o promieniu 3 ortogonalny do okr¦gu x2+ y2 = 1.
28. Napisz równanie okr¦gu o ±rodku w punkcie S = (0, 2) i przecinaj¡cego okr¡g x2+ y2− 6x +
8y − 11 = 0pod k¡tem prostym. 29. Wyka», »e okr¦gi
x2+ y2− 2mx − 2ny − m2+ n2 = 0,
x2+ y2− 2nx + 2my + m2− n2 = 0
przecinaj¡ si¦ pod k¡tem prostym.
30. Znajd¹ ±rodek podobie«stwa dwóch okr¦gów:
o1: x2+ y2− 6x + 2y + 6 = 0, o2: x2+ y2+ 4x + 3 = 0.
31. Uªó» równania wspólnych stycznych dwóch okr¦gów
o1 : (x − 2)2+ (y − 1)2= 1, o2 : (x + 2)2+ (y + 1)2 = 9.
32. Znajd¹ warunek konieczny i wystarczaj¡cy na to, by
(a) prosta Ax + By + C = 0 byªa styczna do okr¦gu x2+ y2 = r2,
(b) prosta Ax + By + C = 0 przecinaªa okr¡g x2+ y2= r2 w dwóch punktach,
