Wyzna­cza­nie ogni­sko­wej socze­wek cien­kich za pomo­cą ławy optycz­nej

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH

ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

1. Opis teoretyczny

Na stronie www.wtc.wat.edu.pl w dziale DYDAKTYKA – FIZYKA – ĆWICZENIA LABORATORYJNE zamieszczone są:

• opis teoretyczny do ćwiczenia, • przykładowe pytania kontrolne.

Podstawowymi celami ćwiczenia są:

1. wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej,

2. wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela,

3. ustalenie która z powyższych metod jest obarczona mniejszą niepewnością, 4. wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej.

Zadania dodatkowe do wyznaczenia i analizy:

1. wyznaczyć zdolność skupiającą soczewek z pomiarów metodą A), B), C), 2. wyznaczyć promienie krzywizn soczewek z pomiarów metodą A), B), C).

2. Opis układu pomiarowego

A) Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej z pomiaru położenia przedmiotu i obrazu

Szczególnie proste, a równocześnie dostatecznie dokładne, są pomiary dokonywane za pomocą ławy optycznej. Jest to zaopatrzona w podziałkę milimetrową szyna, wzdłuż której można dowolnie przesuwać świecący przedmiot, soczewkę i ekran. Świecącym przedmiotem jest zwykle przesłona w kształcie strzałki oświetlona od tyłu matową żarówką (rys. 1). Wystarczy dokonać na ławie optycznej pomiaru odległości

a (przedmiot - soczewka) oraz b (soczewka - obraz), aby wyznaczyć wartość ogniskowej zgodnie z

przekształconym równaniem soczewki: f= a⋅b

a+b=

a⋅(d−a )

d

W praktyce przy stałej odległości pomiędzy przedmiotem i obrazem d=a+b wystarczy zmierzyć dwie z tych trzech wielkości.

B) Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela

Odległości a (przedmiot – soczewka) i b (soczewka – obraz) występują w równaniu soczewki symetrycznie i można je przestawić bez zmiany wartości wyrażenia 1/f. Gdy zrealizujemy w praktyce te dwa wzajemnie symetryczne ustawienia przedmiotu i obrazu, to zauważymy, że odległość przedmiotu od obrazu pozostanie niezmieniona, przy czym w pierwszym przypadku otrzymujemy obraz powiększony, a w drugim zaś

pomniejszony (rys. 1).

Oznaczając jak poprzednio odległość przedmiotu od obrazu przez d, a odległość między obu położeniami soczewki (dla przypadków otrzymania obrazu powiększonego i pomniejszonego) przez c, spełnione są warunki

i .

Wstawiając wartości a i b obliczone z układu równań do równania soczewki otrzymuje się równanie:

2 d+c+ 2 d−c= 1 f

skąd po przekształceniu otrzymuje się wyrażenie na ogniskową soczewki f w postaci

f= (d+c)⋅(d−c ) 4 d = 1 4⋅

(

d− c2 d

)

Ponieważ c2=d( d−4 f )>0 , metodę tę można zastosować tylko wtedy, gdy d> 4 f . Jak widać na Rys. 1 pomiar metodą B) to dwa skorelowane ze sobą pomiary metodą A).

Rys. 1. Ilustracja pomiaru ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela. C) Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej

Soczewki rozpraszające tworzą obrazy pozorne, a więc takie, których nie można uzyskać na ekranie. Wartość ogniskowej takich soczewek można wyznaczyć dwiema metodami. Cechą wspólną tych metod jest utworzenie układu dwóch blisko położonych siebie soczewek rozpraszającej i skupiającej, który to układ posiada właściwości soczewki skupiającej o odpowiednio zmodyfikowanej wartości ogniskowej. Zdolność skupiająca układu dwóch blisko położonych siebie soczewek o ogniskowej f_u jest równa sumie zdolności skupiających poszczególnych soczewek o ogniskowych f₁ i f₂ :

1 f_u= 1 f₁+ 1 f₂

Równanie to pozwala na obliczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej f2 pod warunkiem, że wytworzony

układ optyczny ma właściwości soczewki skupiającej, tzn. f₁<f₂ , czyli (D₁>D₂ ): f₂= fu⋅f1

f₁−f_u

Aby wyznaczyć f₂ należy uprzednio znać i zmierzyć f₁ .

Można jednak postąpić w inny sposób przedstawiony na rys. 2. Jeśli na drodze promieni świetlnych

wychodzących z punktu A i skupionych w punkcie D za pomocą soczewki skupiającej, której środek optyczny znajduje się w punkcie B, postawić soczewkę rozpraszającą o środku optycznym w punkcie C w taki sposób, aby odległość CD byłaby mniejsza od jej ogniskowej, wówczas rzeczywisty obraz punktu A oddali się od soczewki umieszczonej w punkcie B do punktu E.

Rys. 2. Ilustracja pomiaru ogniskowej soczewki rozpraszającej.

Punkt D jest urojonym obrazem punktu E otrzymanym za pomocą samej soczewki rozpraszającej. Oznaczając odległość , otrzymuje się zgodnie z równaniem soczewki −1

f=

1

a+

1

b , gdzie b jest ujemne,

bo obraz jest urojony, stąd f= a⋅b a−b .

3. Przeprowadzenie pomiarów

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej dwoma metodami oraz ogniskowej soczewki rozpraszającej. Najpierw wykonujemy pomiary wstępne, a następnie pomiary związane z trzema kolejnymi metodami pomiarowymi.

1. Ustalić położenie przedmiotu A (czoła lampki z przesłoną w kształcie strzałki). Wartość ta będzie stała dla wszystkich pomiarów.

2. Oszacować niepewność maksymalną wyznaczenia położenia dowolnego obiektu (przedmiot, soczewka, ekran) na ławie optycznej. Wielkość ta będzie odnosiła się do wszystkich pomiarów.

a

A) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej

3. Umieścić na ławie optycznej pomiędzy przedmiotem a ekranem tylko soczewkę skupiającą.

Tak dobrać odległości przedmiot-soczewka (B-C1) oraz soczewka-obraz (C1-B') by obraz był dobrze

widoczny jako pomniejszony.

Ustalić położenie ekranu B' (w miejscu ułatwiającym obliczenia) i zapisać.

4. Przesuwając soczewkę C1 otrzymać na ekranie ostry obraz przedmiotu, wynik zapisać.

5. Czynności według punktu 4 powtórzyć 10 – 20 razy, za każdym razem dokonać zapisu niezależnego pomiaru położenia punktu C1.

B) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej metoda Bessela

6. Wykorzystać położenie ekranu B' (w miejscu ułatwiającym obliczenia) z punktu 3.

Na ławie optycznej pomiędzy ekranem a przedmiotem znajduje się, jak w punkcie A, soczewka

skupiająca. Tak dobrać odległości przedmiot-soczewka (B-C2) oraz soczewka-obraz (C2-B') by obraz był

dobrze widoczny jako powiększony.

7. Przesuwając soczewkę C2 otrzymać na ekranie ostry obraz przedmiotu, wynik zapisać.

8. Czynności według punktu 7 powtórzyć 10 – 20 razy, za każdym razem dokonać zapisu niezależnego pomiaru położenia punktu C2.

C) Wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej

9. Umieścić na ławie optycznej pomiędzy przedmiotem a ekranem tylko soczewkę skupiającą (jak w punkcie A lub B), ustalić i zapisać jej położenie B.

Ustawić ekran D tak by obraz był dobrze widoczny.

10. Między ekranem a soczewką skupiającą umieścić soczewkę rozpraszającą blisko soczewki skupiającej, zapisać jej położenie C. Ustalić położenie ekranu E tak by obraz był dobrze widoczny.

11. Na przemian dokonywać pomiaru położenia ekranu dla: - samej soczewki skupiającej (D),

- układu soczewek skupiającej i rozpraszającej (E),

umieszczając soczewki w miejscach wyznaczonych w punktach 9 i 10.

12. Czynności według punktu 11 powtórzyć 10 – 20 razy, za każdym razem dokonać zapisu niezależnego pomiaru położenia punktów D oraz E.

Rys. 4. Ilustracja pomiaru ogniskowej soczewki rozpraszającej.

a

4. Opracowanie wyników pomiarów

A) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej i jej niepewności

1. Wyznacz wszystkie odległości przedmiot – soczewka a_i=|A−C1|z wartości zanotowanych w tabeli

pomiarowej.

2. Obliczyć średnią arytmetyczną¯a=1_n

∑

i= 1 n

a_i oraz jej niepewność standardową u(¯a)=σ_a=

√

∑

i=1

n

(

a_i−¯a

₎

2

(n−1) n .

3. Obliczyć niepewność standardową odległości przedmiot - ekran z niepewności maksymalnej oszacowanej podczas pomiarów u(d )=Δd

√

3 . Użyj wartości u(d) do obliczeń w podpunktach B i C. 4. Obliczyć ogniskową soczewki ze wzoru f= a⋅b

a+b=

a⋅(d−a )

d .

5. Obliczyć niepewność złożoną bezwzględną ogniskowej w oparciu o prawo przenoszenia niepewności:

u_c( f )=1 d2

√

(d−2 a ˙)2_{u(a )}2 d2 + a4u( d )2 d4 .

Wyciągnąć wniosek (*) która z niepewności pomiarowych wnosi największy wkład do niepewności złożonej?

6. Obliczyć niepewność złożoną względną wartości ogniskowej u_c,r(f)=uc(f)

f .

7. Wyznaczyć (przyjmując współczynnik rozszerzenia 2) niepewność rozszerzoną U( f )=2⋅uc(f ) .

B) Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej metoda Bessela i jej niepewności

8. Wyznacz wszystkie różnice w położeniach soczewek w punktach C1 i C2 (gdy uzyskujemy obraz

pomniejszony i powiększony) c_i=|C2−C1|z wartości zanotowanych w tabeli pomiarowej.

9. Wyznacz różnice w położeniach obrazu i przedmiotu d=|B−B'|z wartości zanotowanych w tabeli pomiarowej.

10. Obliczyć średnią arytmetyczną odległości między soczewkami w punktach C1 i C2 ¯c=1

n

∑

_i=1

n

c_i

oraz jej niepewność standardową u(¯c)=σ_c=

√

∑

i=1

n

(

c_i−¯c

₎

2

(n−1) n .

11. Obliczyć ogniskową soczewki ze wzoru f= (d+c)⋅(d−c )

4 d =

1 4⋅

(

d−

c2

12. Obliczyć niepewność złożoną bezwzględną ogniskowej w oparciu o prawo przenoszenia niepewności: u_c( f )=1 4

√

[

c2+d2 d2

]

2 u(d )2₊4 c2 d2 u(c) 2 _.

Wyciągnąć wniosek (**) która z niepewności pomiarowych wnosi największy wkład do niepewności złożonej?

13. Obliczyć niepewność złożoną względną wartości ogniskowej u_c,r(f)=uc(f)

f .

14. Wyznaczyć (przyjmując współczynnik rozszerzenia 2) niepewność rozszerzoną U(f)=2⋅u_c(f) .

C) Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej i jej niepewności

15. Wyznacz wszystkie odległości między obrazem z soczewki skupiającej a soczewką rozpraszającą

b_i=|C−D| z wartości zanotowanych w tabeli pomiarowej.

16. Obliczyć średnią arytmetyczną ¯b=1

n

∑

_{i= 1}

n

b_i oraz jej niepewność standardową u(¯b)=σ_b=

√

∑

i=1

n

(

b_i−¯b

₎

2

(n−1) n .

17. Wyznacz wszystkie odległości między obrazem z układów soczewek skupiającej i rozpraszającej a soczewką rozpraszającą a_i=|C−E|z wartości zanotowanych w tabeli pomiarowej.

18. Obliczyć średnią arytmetyczną oraz jej niepewność standardową u(¯a)=σ_a=

√

∑

i=1

n

(

a_i−¯a

₎

2

(n−1) n .

19. Obliczyć ogniskową soczewki rozpraszającej na podstawie wzoru f= a⋅b a−b .

20. Obliczyć niepewność złożoną bezwzględną ogniskowej soczewki rozpraszającej w oparciu o prawo przenoszenia niepewności: u_c( f )= 1

(¯a−¯b)2

√

a¯

4_{u(¯b )}2_{+ b} 4_u

(¯a)2 _.

Wyciągnąć wniosek (***) która z niepewności pomiarowych wnosi największy wkład do niepewności złożonej?

21. Obliczyć niepewność złożoną względną wartości ogniskowej u_c,r(f)=uc(f)

f .

5. Podsumowanie (wariant podstawowy) 1. Zestawić wyznaczone wartości wielkości:

dla pomiarów z punktu A) (f_A , u_c

₍

f_A

₎

, u_c,r

₍

f_A

₎

, U

₍

f_A

₎

), dla pomiarów z punktu B) (f_B , u_c

₍

f_B

₎

, u_c,r

₍

f_B

₎

, U

₍

f_B

₎

), dla pomiarów z punktu C) (f_C , u_c

₍

f_C

₎

, u_c,r

₍

f_C

₎

, U

₍

f_C

₎

), oraz wartość odniesienia zgodnie z regułami ich prezentacji. 2. Przeanalizować uzyskane rezultaty:

a) czy przedziały (f_A +/- u_c

₍

f_A

₎

) oraz (f_B +/- u_c

₍

f_B

₎

) posiadają część wspólną,

b) czy spełniona jest relacja u_c,r

₍

f_B

₎

< u_c,r

₍

f_A

₎

wskazująca, że pomiar metodą B) obarczony mniejszą niepewnością,

oraz np. dla metody C)

c) która z niepewności pomiarowych w wybranej metodzie wnosi największy wkład do niepewności złożonej (u_c

₍

f_C

₎

);

d) czy spełniona jest relacja u_c,r

₍

f_C

₎

<

0,1,

która może wskazywać na popełnienie małych błędów grubych lub systematycznych, e) czy spełniona jest relacja |fmax−fmin|<U

(

fC

)

,

która może wskazywać na skupienie wyników wokół średniej z pomiarów.

3. Wnioski z analizy rezultatów.

a) Wyciągnąć wnioski pod kątem występowania błędów grubych, systematycznych i przypadkowych oraz ich przyczyn.

b) Zaproponować działania zmierzające do podniesienia dokładności wykonywanych pomiarów. c) Podać cele ćwiczenia i wyjaśnić czy zostały osiągnięte?

Grupa, zespół w składzie... Cele ćwiczenia:

1. wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej;

2. wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela;

3. ustalenie która z powyższych metod jest obarczona mniejszą niepewnością, 4. wyznaczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej;

………...………

3.1 Wartości teoretyczne wielkości wyznaczanych lub określanych:

………...………

………...………

………...………

3.2 Potwierdzić na stanowisku wartości parametrów i ich niepewności!

położenie przedmiotu na ławie optycznej (A) …... i jego niepewność ………

………...………

………...……… 3.3 Pomiary i uwagi do ich wykonania:

………...………

………...………

………...………

………...………

Pomiar

nr A) ogniskowa soczewki_skupiającej B) ogniskowa soczewki_skupiającej

metodą Bessela

C) ogniskowa soczewki rozpraszającej

B = ……….………. [cm]

stałe położenie soczewki skupiającej

C = ……….………. [cm]

stałe położenie soczewki rozpraszającej stałe położenie ekranu B' = ………. [cm]

soczewka w C1 [cm]

obraz pomniejszony

soczewka w C2 [cm]

obraz powiększony

ekran w D [cm] tyko soczewka skupiająca

ekran w E [cm] układ obu soczewek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Strona druga Karty Pomiarów