Zad. 1. (za 4 pkt.)

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 23.01.2012

Zad. 1. (za 4 pkt.)

Dla ϕ ∈ D okre´slamy hT, ϕi jak nast ˛epuje

hT, ϕi = Z +∞

0

ϕ (t) − ϕ (0) − tϕ ⁰ (0) t ² √

t dt.

Udowodni´c, ˙ze T ∈ D ⁰ . Zad. 2. (za 3 pkt.)

Wykaza´c, ˙ze je´sli J ν (x) = 0 , x 6= 0, to J ^ν+1 (x) 6= 0.

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Czy funkcja K (x) = ¹

1+ √

x

wyznacza j ˛ adro przekształcenia fourierowskiego? Odpowied´z uzasadni´c.

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x n+3 − 6x ⁿ⁺² + 11x n+1 − 6x ⁿ = 2 ⁿ , z warunkami pocz ˛ atkowymi x 0 = x 1 = x 2 = 0.

Kolokwium z TCiWdTD, dn. 23.01.2012

Zad. 1. (za 4 pkt.) Pokaza´c, ˙ze D ² ³

t ⁻

1 + (t) ´

= T , gdzie

hT, ϕi = 1 2

Z +∞

0

ϕ ⁰ (t) − ϕ ⁰ (0) t √

t dt.

Zad. 2. (za 3 pkt.)

Wykaza´c, ˙ze je´sli J ν (x) = 0 , x 6= 0, to J ν ⁰ (x) 6= 0.

Zad. 3. (za 4 pkt.)

Czy funkcja K (x) = ¹

1+ √

x

wyznacza j ˛ adro przekształcenia fourierowskiego? Odpowied´z uzasadni´c.

Zad. 4. (za 4 pkt.)

Rozwi ˛ aza´c równanie ró˙znicowe

x n+3 + 6x n+2 + 11x n+1 + 6x n = ( −1) ⁿ , z warunkami pocz ˛ atkowymi x 0 = x 1 = x 2 = 0.