rozwiązania

3. Funkcje mierzalne

‚w. 3.1 a) {ω ∈ Ω : f(ω) < +∞} = f−1_{({−∞} ∪ (−∞, +∞)) ∈ F,} b) {ω ∈ Ω : r < f(ω) < s} = f−1_{((r, s]) ∈ F,} c) {ω ∈ Ω : f(ω) 6= r} = f_f−1−1([−∞, +∞)) ∈ F_{([−∞, r) ∪ (r, +∞]) ∈ F} r = +∞_{r < +∞} . ‚w. 3.2 f (x) = 1 x ∈ Q 0 x /_{∈ Q} . ‚w. 3.3 f (x) =  1 x ∈ E −1 x ∈ R \ E , gdzie E /∈ B1_.

‚w. 3.4 f jest mierzalna, je±li dla ka»dego B ∈ B1_{, f}−1_{(B) ∈ F. W naszym przypadku}

f−1(B) =        Ø gdy 0, 1 /∈ B A gdy 1 ∈ B, 0 /∈ B Ac gdy 0 ∈ B, 1 /∈ B Ω gdy 0, 1 ∈ B .

Zatem f jest mierzalna, gdy A ∈ F. ‚w. 3.5 a) Poniewa» f (ω) =    0 gdy ω ∈ (A ∩ B) ∪ (Ac∩ Bc₎ −1 gdy ω ∈ B \ A 1 gdy ω ∈ A \ B 0 wi¦c f−1((−∞, a]) =        Ø dla a < −1 B \ A dla −1 ≤ a < 0 (A \ B)c _{dla 0 ≤ a < 1} Ω dla a ≥ 1 .

Zatem f jest mierzalna, bo Ø,B \ A, (A \ B)c_{, Ω ∈ F.}

b)

σ(f ) = σ({Ø, B \ A, (A \ B)c, Ω}) =

‚w. 3.6 σ(f ) = σ({f−1({−1}), f−1({0}), f−1({1})}) = = σ({(−∞, 0), {0}, (0, +∞)} = = {Ø, (−∞, 0), {0}, (0, +∞), (−∞, 0], [0, +∞), (−∞, 0) ∪ (0, +∞), R}. ‚w. 3.7 σ(f ) = σ(f−1({0}, f−1({1}), f−1({2}), ...} = = σ({[0, 2), [2, 4), [4, 6), ...}), σ(g) = σ(g−1({1}), g−1({2}), g−1({3}), ...} = = σ({[0, 2), [2, 4), [4, 6), ...}).

Poniewa» zbiory generatorów σ(f) oraz σ(g) s¡ równe, wi¦c σ(f) = σ(g). ‚w. 3.8 f (x) = −1 dla x ∈ (2k − 1, 2k), k ∈ Z 0 dla x ∈ [2k, 2k + 1], k ∈ Z g(x) =    −1 dla x ∈ (2k − 1, 2k), k ∈ Z 0 dla _{x ∈ Z} 1 dla x ∈ (2k, 2k + 1), k ∈ Z σ(f ) = σ(f−1({−1}), f−1({0})) = = {Ø,[ k∈Z (2k − 1, 2k),[ k∈Z [2k, 2k + 1], R}, σ(g) = σ(g−1({−1}), g−1({0}), g−1({1})) = = {Ø,[ k∈Z (2k − 1, 2k), Z,[ k∈Z (2k, 2k + 1),[ k∈Z [2k − 1, 2k],[ k∈Z [2k, 2k + 1], R \ Z, R}. Zatem σ(f) ⊆ σ(g), ale σ(g)σ(f). ‚w. 3.9 σ(f ) = σ({f−1_{({n}); n ∈ N ∪ {0}})} = σ({[0, 1)[1, 2), [2, 3), ...), σ(g) = σ({g−1_{({n}); n ∈ N ∪ {0}})} = σ([0, 1), {1}, (1, 2), {2}, (2, 3), {3}, ...).

Zatem σ(f) ⊆ σ(g), gdy» dla ka»dego n ∈ N mamy [n, n+1) = {n}∪(n, n+1) ∈ σ(g) oraz [0, 1) ∈ σ(g). Natomiast σ(g)σ(f), bo {1} ∈ σ(g), ale {1} /∈ σ(f).

‚w. 3.10

σ(IA) = {Ø, A, Ac, Ω}, σ(IB) = {Ø, B, Bc, Ω}.

σ(IA, IB) = σ({Ø, A, Ac, Ω} ∪ {Ø, B, Bc, Ω}) =

= σ({, A, B, Bc}) =

= {Ø, A\B, B\A, A∩B, (A∪B)c, A, Bc, (A\B)∪(B\A), B, Ac, ((A\B)∪(B\A))c, Ω}). Korzystaj¡c z zadania 3.5 widzimy, »e σ(IA− IB) ⊆ σ(IA, IB). Inkluzja w drug¡