ISSN 1733-8670
ZESZYTY NAUKOWE NR 5(77)
AKADEMII MORSKIEJ
W SZCZECINIE
OBSŁUGIWANIE MASZYN I URZĄDZEŃ OKRĘTOWYCH O M i U O 2 0 0 5 Евгений Бураковский, Владимир Дмитровский
Разработка математической модели теории
повреждаемости корпусов судов
Ключевые слова: повреждаемость корпуса, математическая модель, пуассоновский поток нагрузок В статье на основе пуассоновского потока построена математическая модель, позволяющая описать процесс повреждаемости корпусов судов, развернув его во времени. Это позволяет чисто математически прогнозировать объемы повреждений корпусов судов, оценивать их техническое состояние на основе вероятностных критериев.Development of a Mathematical Model of the Theory
of Ship Hull Damage
Key words: damage to ship hull, mathematical model, Poisson stream of loads The paper presents a mathematical model which makes it possible to describe the process of damage to vessel hulls making it explicit in time, which is based on a Poisson stream. It allows one mathematically to forecast volumes of damage of vessel hulls and to evaluate their technical condition on the basis of probability criteria.
В процессе эксплуатации корпуса судов получают различные повре-ждения (бухтины, вмятины, гофрировку, язвины), которые отличаются по частоте появления, степени влияния на прочность корпусных конструкций и т.д. Это значительно усложняет создание единой теории, описывающей процесс старения корпуса судна в результате накопления всех повреждений. Однако, учитывая близость отдельных видов дефектов по физической природе или по статистическим свойствам, можно создать единую математическую модель для вероятностных оценок и построения прогнозов технического состояния корпусов судов на перспективу [1 – 3]. Дефекты корпуса судна характеризуются многими параметрами, которые носят случайный характер. Поэтому любой дефект описывается набором случайных величин (, , , ), где – момент возникновения дефекта, , – его координаты;
1,2,...n
– вектор, представля-ющий набор параметров дефекта, описывающих его влияние на прочность корпусных конструкций. Для построения математической модели последовательность повреж-дений, возникающих в моменты i, i = 1, 2, ..., n с координатами (i, i) и характеристиками
1,2,...n
будем рассматривать как разворачи-вающийся во времени поток случайных событий, отличающихся друг от друга своими характеристиками. Так как все рассматриваемые дефекты вызываются случайными внешними нагрузками, рассмотрим их поток. Для простоты под внешней нагрузкой будем понимать многомерный случайный вектор = (, , , , ), где: – максимальная величина внешней нагрузки, – площадь ее приложения. Ограничимся двумя характеристиками нагрузки ( и ), т. к. введение большего их числа не вносит принципиальных изменений в структуру модели, однако делает все рассуждения громоздкими. Одной из простых моделей потока внешних нагрузок является пуассоновская модель. Основной характеристикой потока является функция (t, x, y, f, s), удовлетворяющая следующим условиям: 1. 0 t, 0 x, 0 y, 0 f, 0 s. 2. (t, x, y, f, s) 0. 3.
0 0 0 0 d , , , , d d dx y f t x y f s s (1)Рассмотрим пятимерный цилиндр:
t1,t2 f1,f2
S1,S2
C (2) где 0 t1 < t2 , 0 f1 < f2 , 0 S1 < S2 . П – область обшивки корпуса (рис. 1). Будем считать, что нагрузка попала в цилиндр C (или C), если она возникла в области П (или (, ) П) в интервале времени от t1 до t2 ( [t1, t2]), причем она вызвана силой, лежащей в интервале от f1 до f2 ( [f1, f2]) и приложенной к площади, величина которой лежит в интервале от S1 до S2 или ( [S1, S2]). Через N(C) обозначим количество нагрузок, попавших в цилиндр C. Матема-тическое ожидание (среднее значение) величины N(C) обозначим N (С). Рис. 1. Схема нагружения корпуса судна Fig. 1. The diagram of vessel hull stressesРассмотрим набор цилиндров
i i i i
i i i t t f f S S C 1, 2 1, 2 1, 2 , i = 1...m, не пересекающихся в пятимерном пространстве: Ci Cj = Ø, i j. Пуассоновский поток внешних нагрузок полностью определяется следующими тремя свойствами 1. Для любого i = 1...m:
C t x y f
t x y f s
s N i i i i i i t t n S S f f d , , , , d d d d 2 1 2 1 2 1
(3) 2. Для любого i = 1...m, для любых неотрицательных целых чисел ki:
i
k i i i i k k N C N C C N P i exp ! 1 (4)
m m
m m k C N P k C N P k C N P k C N k C N k C N P ... ,..., , . 3 2 2 1 1 2 2 1 1 (5)Пользуясь этим определением, мы можем прояснить вероятностный смысл функции (t, x, y, f, s). Рассмотрим цилиндр: 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 2 , 2 s s s s f f f f y y y y x x x x t t t t C Тогда будет справедливо следующее приближенное равенство:
t x y f s
s f y x t C N P , , , , 1 (6) причем это равенство тем точнее, чем меньше величины t, x, y, f и s. Рассмотрим вопрос о взаимосвязи потока внешних нагрузок с потоком повреждений корпусных конструкций. Очевидно, что не все внешние нагрузки могут вызвать повреждения, поэтому поток повреждений получается из потока внешних нагрузок "прореживанием", когда отбрасываются все те нагрузки, величина которых при данной площади нагружения не вызывает пластических деформаций элементов корпусных конструкций. Кроме того, разные нагрузки могут привести к разного рода дефектам, а потому весь поток повреждений корпусных конструкций, полученный "прореживанием" из потока внешних нагрузок, распадается на отдельные потоки повреждений различных видов (бухтины, вмятины, пробоины). В свою очередь, каждый из этих потоков получается из потока повреждений путем "прореживания" по определенным правилам (например, по величине удельной нагрузки, приходящейся на единицу площади обшивки или на один шпангоут). Функции (t, x, y, f, s) для этих потоков можно получить из функции (t, x, y, f, s) для потока внешних нагрузок, накладывая на аргументы x, y, f, s различные ограничения. Необходимо заметить, что совершенно одинаковые по силам и площадям приложения внешние нагрузки могут вызвать дефекты различных видов в зависимости от координат приложения нагрузок, поэтому при определении функции (t, x, y, f, s) для каждого вида дефекта оказываются связанными довольно сложным образом все четыре аргумента x, y, f, s. Данный подход применим и для оценки степени опасности дефектов типа бухтин с точки зрения местной прочности. Рассмотрим бухтину на участке корпуса судна. Будем считать, что бухтины возникают в результате воздействия потока внешних нагрузок, близких к сосредоточенным силам.В такой постановке опасным состоянием может являться повторное попадание близкой к сосредоточенной нагрузки в зону деформирования участка пластины, обусловленной бухтиной, т. к. материал корпуса в зоне деформирования частично исчерпал "пластический ресурс", и повторное попадание нагрузки, близкой к сосредоточенной, может вызвать увели-чение прогиба обшивки (накопление). Задачу можно несколько упростить с ошибкой в безопасную сторону, если считать за опасное состояние не попадание силы, близкой к сосредо-точенной, в зону имеющейся бухтины, а наложение зоны деформирования, вызванное этой силой, с уже имеющейся бухтиной. Оценим вероятность повторного частичного или полного перекрытия зоны деформирования локального дефекта зоной деформирования другого дефекта при воздействии нагрузок. Дополнительно предположим, что область деформирования, вызыва-емая любой внешней нагрузкой, представляет собой круг радиуса r, а поток дефектов стационарен по времени, т.е.: (t, x, y) = (x, y) (7) В этом случае для любой области обшивки П среднее число любых локальных дефектов, появляющихся в этой области в интервале времени от t1 до t2, вычисляется по формуле:
П 1 2 П d d , d d , , d 2 1 y x y x t t y x y x t t C N t t (8) где C = [t1, t2] П [0, [ r2. Пусть существующий локальный дефект имеет координаты центра (x1, y1). Найдем вероятность того, что за время от t1 до t2 в области этого дефекта возникнет хотя бы одно хотя бы двукратное наложение дефектов (рис. 2). Обозначим это событие A2, а дополнительное событие A 2 заключается в том, что в области первого локального дефекта не появится ни одного повторного локального дефекта. Очевидно, это произойдет лишь в том случае, если в круг П радиуса 2r с центром в точке (x1, y1) не попадет центр ни одного из вновь появившихся дефектов в интервале времени (t1, t2). Тогда, по определению пуассоновского потока, вероятность дополнительного события с учетом (4) и (8) будет равна:
П 1 2 2) ( ) 0 exp ( ) ( , )d d (A P N C t t x y x y P (9)а искомая вероятность:
y x y x t t A P 2 1 exp 2 1 , d d (10) Рис. 2. Схема определения вероятного многократного нагружения деформированной области обшивки корпуса (бухтины)Fig. 2. The diagram of probable multiple stresses of the deformed area envelope of the hull Если радиус дефекта r мал, то выражение (10) можно несколько упростить. В частности, используя теорему о среднем, интеграл в показа-теле экспоненты (10) можно считать равным значению интенсивности потока в точке (x1, y1), умноженной на площадь круга, т. е.:
x,y dxdy π
2r 2 x1,y1
(11) Тогда выражение для искомой вероятности примет следующий вид:
A2 1 exp
t2 t1
π
2r2
x1,y1
P (12) Если на корпусе судна в рассматриваемой зоне уже имеется n локаль-ных дефектов с координатами центров (xi, yi), i = 1...n, то вероятность события B2, заключающегося в том, что в области этих дефектов появится хотя бы одно наложение (любой кратности), может быть получена по формуле:
n i i i y x r t t B P 1 2 1 2 2 1 exp π 2 , (13)Рассмотрим вероятность события Ak, заключающегося в том, что в области локального дефекта с координатами центра (x1, y1) появится хотя бы одно наложение кратности не менее k:
2 0 1 1 ! 1 exp 1 k k a a A P (14) где a
t2t1
π2r 2
x1,y1
и события Bk, заключающегося в том, что в области дефектов с координатами центров (xi, yi), i = 1...n появится хотя бы одно наложение кратности не менее k:
2 0 1 1 ! 1 exp 1 k k b b B P (15) где
n i i i y x r t t b 1 2 1 2 π 2 , . Перепишем выражения (14) и (15) в следующем виде:
u e u k A P u a k k d ! 2 1 0 2
(16)
u e u k B P u b k k d ! 2 1 0 2
. Правые части обоих неравенств можно определить по таблицам, поскольку функция
2 2 2 ! 2 2 1 k u e u k есть плотность распределения случайной величины, распределенной по закону 2 1 2k ( – квадрат распределения с 2(k – 1) степенями свободы). Если величина Z мала, то можно воспользоваться оценкой: 1 d 1 0 2
Zuk e u u kZk (17) В этом случае:
, ! 1 1 k a A P k k
! 1 1 k b B P k k (18)Графики функций
u e u k u Z k d ! 2 1 0 2
при k = 2, 3, 4, 5 изображены на рис. 3 для больших значений Z, и на рис. 4 – для малых значений Z. Рис. 3. График изменения функции F(z) при больших значениях параметра z Fig. 3. The graph of the modification of function F(z) at large parameter values zРис. 4. График изменения функции F(z) при малых значениях параметра z Fig. 4. The graph of the modification of function F(z) at small parameter values z
Проводя наши рассуждения, мы не учитывали величины сил, вызывающих бухтины. Однако хорошо известно, что реальную опасность для корпуса представляют лишь бухтины, вызываемые большими силами, превышающими некоторый критический уровень: fKP (19) и приводящими к большим стрелкам прогиба и, как следствие, к появле-нию опасных коэффициентов концентрации напряжений в окрестности повреждения либо непосредственно к образованию пробоины наружной обшивки. Допустим, что нам известна функция (t, x, y, f, s) в области обшивки корпуса судна П. В предположении стационарности пуассоновского процесса имеем: (t, x, y, f, s) (x, y, f, s) (20) Зададимся некоторым критическим уровнем силы fKP и рассмотрим цилиндр в 5-и мерном пространстве:
t1,t2 fKP, 0, C . (21) Если бухтина попала в этот цилиндр, это будет означать, что в интервале времени от t1 до t2 в области обшивки появилась бухтина, вызванная силой, большей, чем fKP. Для среднего числа бухтин, попавших в этот цилиндр, справедливо равенство:
0 1 2 d d d , , , d KP s s f y x f y x t t C N f (22) Если сила и площадь ее приложения есть случайные величины, не зависящие от координаты бухтины, то:
x,y,f,s
x,y f,s (23) где (x, y) – интенсивность любых бухтин в точке обшивки с координатами (x, y), а (f, s) – совместная плотность распределения силы и площади ее приложения. Тогда:
C t2 t1
x,ydxdy P
fKP
N
C P fKP
N
(24) где N(C') – среднее число всех бухтин, которые могут появиться в интервале времени от t1 до t2 в области обшивки П. Обозначим через A событие, заключающееся в том, что хотя бы одна бухтина попала в цилиндр C, то есть, что в интервале времени от t1 до области обшивки П появится хотя бы одна бухтина, вызванная силой, большей, чем fKP. Тогда A означает событие, что в цилиндр C не попадет ни одна такая бухтина. По определению пуассоновского потока бухтин получим:
A
N
C P fKP
P 1exp (25) Таким образом, для того, чтобы найти значение этой вероятности, надо знать длину интервала времени (t2 – t1), функцию обеспеченности внешних сил, вызывающих бухтины P{ fKP} и интенсивность потока любых бухтин в области обшивки П:
x y x y t, , d d (26) Ясно, что если вероятность повторного нагружения велика, то будет происходить увеличение стрелок прогиба, но это уже предмет отдельного рассмотрения.Литература
1. Бураковский Е. П., Некоторые подходы по совершенствованию нормирования прочности корпусов судов, содержащих эксплуатационные дефекты, //Проблемы прочности и снижения металлоемкости корпусных конструкций перспективных транспортных судов и плавучих сооружений: Тез. докл. всесоюзной НТК. -Л.: Судостроение, 1990, С. 58 – 60. 2. Бураковский Е. П., Дмитровский В.А., О разработке математической модели теории повреждаемости корпусов судов, //Проблемы прочности и снижения металлоемкости корпусных конструкций перспективных транспортных судов и плавучих сооружений.: Тез. докл. всесоюзной НТК -Л.: Судостроение, 1990, С. 60 – 62.3. Бураковский Е. П., Дмитровский В.А., Применение теории потоков при оценке и прогнозировании технического состояния корпусных конструкций, содержащих эксплуатационные дефекты, //Судостро-ение и энергетические установки: Сб. научн. трудов КГТУ Калининград, 1996, вып. к 300-летию Российского Флота, С. 263 – 278.
Wpłynęło do redakcji w lutym 2005 r.
Recenzenci
dr hab. Zenon Zwierzewicz, prof. AM dr hab. inż. Zbigniew Matuszak, prof. AM Adresy Autorów
doc., dr. hab. Evgeny Burakowsky doc., dr. ing. Vladimir Dmitrowsky
KGTU, Sovetsky pr., 1, 236000 Kaliningrad, Rosja e-mail: e_burakovsky@mail.ru
