Teoria piercieni - zadania

1

Zadania — pierścienie i ideały

A + B = (A ∪ B) \ (A ∩ B), AB = (A ∩ B)

jest pierścieniem z jedynką, w którym wszystkie niezerowe elementy grupy addytywnej są rzędu 2.

Zadanie 2. Wykazać, że jeżeli pierścień P jest skończony, u ∈ P , to

ele-ment u jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy un = 1 dla pewnej liczby naturalnej n.

Zadanie 3. n jest liczbą nieparzystą większą od 1. Znaleźć element

od-wrotny do 2 w pierścieniu Zn.

Zadanie 4. Znaleźć wszystkie rozwiązania równań x2_{+ 2x + 2 = 0, x}2₊

2x + 4 = 0 w Z6.

Zadanie 5. Jakie dzielniki zera mają pierścienie Z4, Z8, Z15?

Zadanie 6. Wykazać, że jeżeli w pierścieniu P dla jakiegoś elementu a

element a2 _{jest dzielnikiem zera, to a jest również dzielnikiem zera.}

Rozwiązanie. Jeżeli a2 jest dzielnikiem zera, to a2 6= 0, zatem a 6= 0.

Ponadto istnieje takie b 6= 0, że a2_{b = 0, czyli a(ab) = 0. Z tej równości}

wynika, że jeśli ab 6= 0, to a jest dzielnikiem zera1 _{; jeśli zaś ab = 0, to także}

znaczy, że a jest dzielnikiem zera.2

Zadanie 1. Które z następujących zbiorów są ideałami w pierścieniu P funkcji ciągłych rzeczywistych określonych na odcinku [0, 1] :

a) {f ∈ P | f (0) = f (1) = 0}; b) {f ∈ P | f (0) = 2f (1)};

c) {f ∈ P | ∃k ∈ Z 2kf (0) = f (1)};

d) funkcje wielomianowe, których wyraz wolny jest liczbą całkowitą.

1_{Bo a · ab = 0 oraz ab 6= 0.} 2_{Bo a · b = 0 oraz b 6= 0.}

Zadanie 2. Wykazać, że ideał (2 + i) pierścienia Z[i] jest maksymalny. Rozwiązanie Wystarczy wykazać, że ten ideał jest jądrem epimorfizmu na

jakieś ciało. Określamy odwzorowanie

ϕZ[i] −→ Z5 , ϕ(a + bi) = a +53b.

ϕ jest homomorfizmem, bo:

ϕ(a + bi) + (c + di)) = (a + c) +53(b + d)) = (a +53b) +5(c +53d) =

= ϕ(a + bi) +5ϕ(c + di),

ϕ(a + bi)(c + di)) = (ac − bd) +53(ad + bc) = (a +53b) ·5(c +53d) =

= ϕ(a + bi) ·5ϕ(c + di).

ϕ jest też epimorfizmem.

Każda liczba postaci (2 + i)(a + bi) należy do jądra. Odwrotnie, niech

a + bi ∈ ker ϕ ⇔ a +53b = 0, tj. a = −3b = 2b (mod 5). Zatem a = 2b + 5k

dla pewnego k. Stąd a + bi = 2b + 5k + bi = b(2 + i) + 5(2 + i)(2 − i) = (2 + i)(b + 5(2 − i)), czyli a + bi ∈ (2 + i).

Zadanie 3. Niech n ∈ Z, n > 0. Wykazać, że liczba ideałów maksymalnych

w Zn jest równa liczbie wszystkich dzielników pierwszych liczby n.

Zadanie 4. Wykazać, że ideał pierścienia skończonego jest pierwszy wtedy

i tylko wtedy, gdy jest maksymalny.

Zadanie 5. Udowodnić twierdzenie: W każdym pierścieniu ideałów

głów-nych istnieje dla każdych dwóch elementów a i b największy wspólny dzielnik (a, b) = d. Ponadto dla każdego (a, b) = d istnieją elementy x, y ∈ P takie, że

d = ax + by. Wskazówka: wykazać, że zbiór I elementów postaci ar + bs ∈ P

jest ideałem w P . Wobec tego istnieje taki d ∈ P , że I = (d).