7.2. Cig arytmetyczny.pdf 

7. 2. CIĄG ARYTMETYCZNY

Definicja ciągu arytmetycznego

Ciąg

( )

a_n jest ciągiem arytmetycznym ⇔dla kaŜdego n∈N₊zachodzi a_n+1 =a_n +r, gdzie r∈R

r – stała róŜnica ciągu arytmetycznego

Przykład 7.2.1. Oblicz cztery początkowe wyrazy w ciągu arytmetycznym , wiedząc, Ŝe a) a₁ =−3,r =2 Rozwiązanie Komentarz 3 1=− a 1 2 3 2 =− + =− a 1 2 1 3 =− + = a 3 2 1 4 = + = a Odp. –3, -1, 1, 3

W ciągu arytmetycznym kaŜdy wyraz , oprócz pierwszego powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r , czyli

r a a₂ = ₁+ r a a₃ = ₂ + r a a₄ = ₃+ r a a₅ = ₄+ ... b) a₂ =5,r=−3 Rozwiązanie Komentarz r a a₂ = ₁+

( )

3 5=a₁+ − 8 3 5 1= + = a

Aby obliczyć pierwszy wyraz ciągu wykorzystujemy zaleŜność a₂ =a₁+r

( )

3 2 5 3 = + − = a

( )

3 1 2 4 = + − =− a

Obliczmy trzeci i czwarty wyraz dodając do poprzedniego wyrazu liczbę r.

Odp. 8, 5, 2, -1

Przykład 7.2.2. Zbadaj które z podanych ciągów są arytmetyczne: a) a_n =2−4n Rozwiązanie Komentarz r a a_n+1= _n + n n a a r = ₊₁−

Aby wykazać ,Ŝe ciąg jest arytmetyczny musimy udowodnić ,Ŝe róŜnica r jest liczbą stałą . n

a_n =2−4 Zapisujemy n –ty wyraz ciągu.

(

1

)

4 2

4 2

1= − + =− −

+ n n

a_n Wyznaczamy wyraz następny .

(

4 2

) (

2 4

)

4 1− = − − − − =−

=a ₊ a n n

r _{n n}

Odp. Ciąg

( )

a_n jest arytmetyczny.

Badamy róŜnicę r .

RóŜnica r jest liczbą stałą , zatem ciąg jest arytmetyczny.

b) b_n =4n2 +n

Rozwiązanie Komentarz

n n

b_n =4 2 + Zapisujemy n –ty wyraz ciągu.

(

) (

)

(

)

(

)

5 9 4 1 1 2 4 1 1 4 2 2 2 1 + + = + + + + = = + + + = + n n n n n n n

b_n Wyznaczamy wyraz następny

(

4 2 9 5

) (

4 2

)

8 5

1− = + + − + = +

=b ₊ b n n n n n

r _{n n}

Odp. Ciąg

( )

b_n nie jest arytmetyczny.

Badamy róŜnicę r .

RóŜnica r niejest stała , zatem ciąg nie jest arytmetyczny.

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego a_n =a₁+

(

n−1

)

⋅r

Przykład 7.2.3. Napisz wzór ogólny ciągu arytmetycznego: ,0... 2 1 , 1 , 2 1 1 , 2 Rozwiązanie Komentarz 2 1= a 2 1 2 2 1 1 1 2 − = − =− =a a r

Wypisujemy 1a i obliczamy r wiedząc, Ŝe

r a a₂ = ₁+

(

)

2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 =− +       − − + = n a n a_n

Aby zapisać wzór ogólny danego ciągu wykorzystujemy wzór a_n =a₁ +

(

n−1

)

⋅r

Przykład 7.2.4. Wyznacz setny wyraz ciągu arytmetycznego , w którym a₁ =3 i r =5

Rozwiązanie Komentarz

(

)

r a a₁₀₀ = ₁+ 100−1 ⋅

(

100 1

)

5 498 3 100 = + − ⋅ = a

Odp. Setny wyraz ciągu jest równy 498.

Przykład 7.2.5. Wyznacz pierwszy wyraz oraz róŜnicę ciągu arytmetycznego, wiedząc, Ŝe 2 , 8 ₂ 7 =− b = b . Rozwiązanie Komentarz

(

)

r b b₇ = ₁+ 7−1 ⋅

(

)

r b b₂ = ₁+ 2−1 ⋅    + = + = − r b r b 1 1 2 6 8 Wykorzystujemy wzór a_n =a₁+

(

n−1

)

⋅r i zapisujemy układ równań z niewiadomymi b₁ i r

( )

   − ⋅ + = + = − 1 / 2 6 8 1 1 r b r b    − − = − + = − r b r b 1 1 2 6 8 --- + 5 / 5 10= ⋅ − r 2 − = r 4 2 2 2 1 1 1 = = − = + b b r b Odp.b₁=4,r =−2

Obliczmy pierwszy wyraz i róŜnicę ciągu arytmetycznego rozwiązując układ równań

ZaleŜność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego JeŜeli a , b, c są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego , to zachodzi

c a b= + 2

Przykład 7.2.6. Wyznacz wartość x , tak aby liczby 2x+3,x−1,3x+4 w podanej kolejności tworzyły ciąg arytmetyczny.

Rozwiązanie Komentarz 4 3 1 3 2 + = − = + = x c x b x a c a b= + 2

(

1

) (

2 3

) (

3 4

)

2 x− = x+ + x+ Wykorzystujemy wzór 2b=a+c i zapisujemy równanie z niewiadomą x.

(

1

) (

2 3

) (

3 4

)

2 x− = x+ + x+ 4 3 3 2 2 2x− = x+ + x+ 2 4 3 3 2 2x− x− x= + +

( )

3 : / 9 3 = − − x 3 − = x

Suma częściowa ciągu arytmetycznego n a a S_n = + n ⋅ 2 1 lub S_n = a +

(

n−

)

⋅r⋅n 2 1 2 ₁

Przykład 7.2.7. Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego , w którym a₁=5,r =2. Rozwiązanie Komentarz 1 sposób: 15 2 13 13 2 11 11 2 9 9 2 7 7 2 5 5 6 5 4 3 2 1 = + = = + = = + = = + = = + = = a a a a a a 60 15 13 11 9 7 5 6 = + + + + + = S

Wypisujemy sześć kolejnych wyrazów ciągu i je dodajemy. 2 sposób:

(

)

60 6 2 10 10 6 2 2 1 6 5 2 6 6 6 = ⋅ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ = S S S Wykorzystujemy wzór

(

)

n r n a S_n = + − ⋅ ⋅ 2 1 2 ₁

Przykład 7.2.8. RozwiąŜ równanie , w którym lewa strona jest sumą ciągu arytmetycznego:5+7+9+...+x=96 Rozwiązanie Komentarz 96 2 5 1 = = = = n n S x a r a Wypisujemy dane.

(

)

n r n a S_n = + − ⋅ ⋅ 2 1 2 ₁

(

n

)

_n ⋅ ⋅ − + ⋅ = 2 2 1 5 2 96 n n− _⋅ + = 2 2 2 10 96 n n ⋅ + = 2 8 2 96 Wykorzystując wzórS_n = a +

(

n−

)

⋅r⋅n 2 1 2 ₁ , układamy równanie z niewiadomą n.

n n 4 96= 2 + 0 96 4 2 _{− + =} −n n 96 , 4 , 1 =− = − = b c a

( )

−4 2 −4⋅

( )

−1 ⋅96=16+384=400 = ∆

( )

( )

8 2 20 4 1 2 400 4 1 ₋ = − = − ⋅ − − − = n

( )

( )

₋ = ₋+ =− ∉ + ⋅ + − − = N n 12 2 20 4 1 2 400 4 1 8 = n

Rozwiązując równanie kwadratowe wykorzystujemy wzory: ∆=b2 −4⋅a⋅c a b x a b x 2 ; 2 2 1 ∆ + − = ∆ − − = .

Uwzględniając , Ŝe n∈N₊, otrzymujemy n

(

n

)

r a a_n = ₁+ −1 ⋅

( )

8 1 2 5+ − ⋅ = x 19 = x Wykorzystując wzór a_n =a₁+

(

n−1

)

⋅r, obliczamy x

Przykład 7.2.9. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od100, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1.

Rozwiązanie Komentarz 0 5 : 1 = reszty 1 1 5 : 6 = reszty 1 2 5 : 11 = reszty 1 ... 19 5 : 96 = reszty 1 n S = + + + +6 11 ... 96 1

Wypisujemy sumę liczb której szukamy.

96 5 1 1 = = = n a r a Wypisujemy dane.

(

n

)

r a a_n = ₁+ −1 ⋅

(

)

( )

20 5 : / 100 5 5 1 96 5 5 5 1 96 5 1 1 96 = − − = − − + − = − − + = ⋅ − + = n n n n n

Obliczamy n ( liczbę składników sumy ) n S korzystając ze wzoru:

(

n

)

r a a_n = ₁+ −1 ⋅ n a a S_n = + n ⋅ 2 1 970 10 97 20 2 96 1 20 ⋅ = ⋅ = + = S

Odp. Suma liczb mniejszych od 100, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1 jest równa 970.

Obliczamy sumę 1+6+11+...+96=S_n korzystając ze wzoru S_n = a +an ⋅n

2 1

Przykład 7.2.10. Pewien uczeń postanowił w ciągu 10 dni rozwiązać wszystkie zadania ze zbioru zadań . Zdecydował , Ŝe pierwszego dnia rozwiąŜe 6 zadań, a kaŜdego następnego o 5 więcej niŜ dnia poprzedniego. Oblicz ile było zadań w zbiorze.

Rozwiązanie Komentarz Dane: Szukane: 10 5 6 1 = = = n r a S_n =?

Ilość zadań rozwiązywanych przez ucznia w kolejnych dniach tworzą ciąg arytmetyczny. Szukana jest suma wszystkich zadań rozwiązanych przez ucznia w ciągu 10 dni.

(

n

)

r _n a S_n = + − ⋅ ⋅ 2 1 2 ₁

(

)

_{10 57 5 285} 2 45 12 10 2 5 1 10 6 2 = ⋅ = ⋅ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ = n S

Odp. W zbiorze było 285 zadań.

Sumę nS obliczymy korzystając ze wzoru:

(

n

)

r _n a S_n = + − ⋅ ⋅ 2 1 2 ₁

Ć

_WICZENIA

Ćwiczenie 7.2.1. (2pkt.) Podaj cztery początkowe wyrazy ciągu arytmetycznego

( )

a_n , wiedząc, Ŝe a₂ =−4,a₃ =−8. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie róŜnicy r ciągu arytmetycznego

( )

a_n . ₁

2 Podanie pierwszego i czwartego wyrazu ciągu

( )

a_n . 1

Ćwiczenie 7.2.2. (2pkt.) Udowodnij, Ŝe ciąg

3 2 + = n

a_n jest ciągiem arytmetycznym. schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie wyrazu następnego a_n+1. ₁

2 Podanie róŜnicy r =an+1−ani uzasadnienie, Ŝe ciąg

Ćwiczenie 7.2.3. (1pkt.) Sprawdź, czy liczby 2−3,1,5− 2 tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Podanie odpowiedzi z uzasadnieniem. 1

Ćwiczenie 7.2.4. (3pkt.) Ciąg arytmetyczny

( )

a_n jest takim ciągiem , w którym

2 , 3

1= r =−

a . Wyznacz wzór ogólny tego ciągu. Wyznacz: a₁₄,a_5n. schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie wzoru ogólnego ciągu

( )

a_n . ₁

2 _{Podanie 14}a . 1

3 Podaniea_5n. 1

Ćwiczenie 7.2.5. (3pkt.) Oblicz sumę : 7+11+15+...+51. schemat oceniania

Numer odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Podanie róŜnicy ciągu arytmetycznego jaki tworzą

składniki sumy. 1

2 Podanie liczby n składników sumy. 1

3 Podanie sumy. 1

Ćwiczenie 7.2.6. (2pkt.) Wyznacz pierwszy wyraz oraz róŜnicę ciągu arytmetycznego, wiedząc, Ŝe a₅ =10,S₇ =210. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 UłoŜenie układu równań z niewiadomymi a ,₁ r. 1

Ćwiczenie 7.2.7. (2pkt.) Między liczby 4 i 108 wstaw trzy liczby x, y, z, tak aby liczby 4, x , y , z , 108 tworzyły ciąg arytmetyczny.

schemat oceniania Numer

odpowiedzi

Odpowiedź

Liczba punktów 1 Wyznaczenie róŜnicy r ciągu arytmetycznego. ₁

2 Podanie wartości x, y, z 1

Ćwiczenie 7.2.8. (2pkt.) Darek odkładał za stypendium pieniądze na wakacje.

W pierwszy miesiącu odłoŜył 30 zł, a w kaŜdym następnym o 5 złotych więcej niŜ w poprzednim. Przez ile miesięcy oszczędzał, jeśli w sumie uzbierał 450 zł. schemat oceniania Numer odpowiedzi Odpowiedź Liczba punktów 1 Wypisanie z zadania a₁,r,S_n. ₁

2 Podanie n – liczby miesięcy ,w ciągu których Darek