Mechanika Kwantowa - kurs du»y
zestaw 13
grupa 1: poniedziaªek 23.1.2012., godz. 14:05, sala 001B
1. Klasycznie rozpraszaniu ulegaj¡ tylko cz¡stki, które padaj¡ na sztywn¡ (niesko«-czon¡) kul¦ w odlegªo±ci nie wi¦kszej ni» a od osi z przebiegaj¡cej przez ±rodek kuli. Takie cz¡stki maj¡ maksymalny moment p¦du L ∼ pa czyli l ∼ ka. Spróbujmy we wzorze na przekrój czynny
σ = 4π k2 ∞ X l=0 (2l + 1) sin2δl(k)
wysumowa¢ wszystkie fale parcjalne od l = 0 do l = ka. W tym celu przyj¡¢, »e δl+1 = δl− π/2 (dlaczego?). Wykaza¢, »e w takim przybli»eniu σ ∼ 2πa2.
2. Cz¡stka o spinie 1/2 jest zwi¡zana w potencjale sferycznym. Cz¦±¢ k¡towa funk-cji falowej dana jest zatem przez funkcje kuliste a caªkowity moment p¦du j jest zªo»eniem spinu i momentu p¦du l. Sama funkcja falowa w przypadku nierelatywi-stycznym jest dwukomponentowym spinorem Ω. Na wykªadzie zde niowali±my:
Ω(+)j,j 3,l=j−1/2 = 1 √ 2j " √ j + j3Yj3 −1/2 j−1/2 √ j − j3Y j3+1/2 j−1/2 # , Ω(−)j,j 3,l=j+1/2 = 1 √ 2j + 2 " √ j + 1 − j3Y j3−1/2 j+1/2 −√j + 1 + j3Y j3+1/2 j+1/2 # . Wykaza¢, »e dla dowolnych j, j3 zachodzi
(~n · ~σ)Ω(∓)j,j
3,l=j±1/2 = Ω
(±)
j,j3,l=j∓1/2. (1)
WSKAZÓWKA
W tym celu prosz¦ skorzysta¢ z faktu, »e skªadowe wektora wodz¡cego ~n tworz¡ nieredukowalny operator tensorowy o spinie 1, O(1)
m , gdzie m = −1, 0, 1. Wynika to z faktu, »e n+ = nx+ iny = − √ 2 r 4π 3 Y1,1(θ, ϕ), n− = nx− iny = √ 2 r 4π 3 Y1,−1(θ, ϕ), nz = r 4π 3 Y1,0(θ, ϕ),
co daje n+= − √ 2O1(1), nz = O (1) 0 , n−= √ 2O−1(1). (2)
Elementy macierzowe operatora O(1)
m mo»na wyrazi¢ przez wspóªczynniki
Clebscha-Gordana i zredukowane elementy macierzowe Nn
O(1)m Yl,l3 = Nn(l + 1, l) l 1 l3 m l + 1 m + l3 Yl+1,m+l3 +Nn(l, l) l 1 l3 m l m + l3 Yl,m+l3 +Nn(l − 1, l) l 1 l3 m l − 1 m + l3 Yl−1,m+l3. (3) Wiemy, »e Nn(l, l) = 0. (4)
co wynika z r z zachowania parzysto±ci. Dwa potrzebne we wzorze (3) zredukowane elementy macierzowe byªy podane wcze±niej na wykªadzie:
Nn(l + 1, l) = r l + 1 2l + 3, Nn(l − 1, l) = − r l 2l − 1.
