Caªkowanie przez cz¦±ci i podstawienie.

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªkowanie przez cz¦±ci i podstawienie.

Informacje pomocnicze:

tablica caªek:

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√ a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = _a ¹ arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√ x

²

+a dx = ln 

x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln   ^a+x _a−x



 + c a > 0, |x| 6= a

21. R f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = _n ¹ sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

²

+1)

ⁿ

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

2

)

ⁿ⁻¹

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

²

)

ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

²

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

Denicja 1. Funkcja F (x) jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f(x) na przedziale x ∈ [a, b], je»eli F

⁰

(x) = f (x) dla ka»dego x ∈ [a, b].

Denicja 2. Caªk¡ nieoznaczon¡ funkcji f(x) na przedziale [a, b] nazywamy zbiór funkcji:

{F (x) + c} gdzie c = const.

i oznaczamy R f(x)dx.

Twierdzenie 3. (Podstawowe prawa rachunku caªkowego)

Niech funkcje f i g b¦d¡ ci¡gªe na przedziale [a, b] oraz c ∈ R \ {0}. Wówczas:

a) R c · f(x)dx = c · R f(x)dx;

b) R [f(x) ± g(x)]dx = R f(x)dx ± R g(x)dx.

Twierdzenie 4. (caªkowanie przez podstawienie)

Niech funkcja f : (a, b) → R ma funkcj¦ pierwotn¡ F oraz funkcja g : (α, β) → (a, b) jest ró»nicz- kowalna. Wówczas funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f(g(x))g

⁰

(x) jest funkcja F (g) oraz zachodzi poni»szy wzór na caªkowanie przez podstawienie:

Z

f [g(x)] · g

⁰

(x)dx = Z

f (t)dt, (1)

gdzie t = g(x) oraz dt = g

⁰

(x)dx.

Twierdzenie 5. (caªkowanie przez cz¦±ci)

Niech funkcje f i g b¦d¡ funkcjami ró»niczkowalnym na przedziale [a, b] oraz funkcja f

⁰

g posiada funkcj¦ pierwotn¡ w [a, b]. Wówczas funkcja fg

⁰

równie» ma funkcj¦ pierwotn¡ i ma miejsce tzw.

wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:

Z

f (x)g

⁰

(x)dx = f (x)g(x) − Z

f

⁰

(x)g(x)dx. (2)

Denicja 6. (suma caªkowa)

Niech funkcja f(x) b¦dzie ograniczona na przedziale [a, b] oraz P

n

b¦dzie podziaªem odcinka [a, b]

na n cz¦±ci: P

n

= {x

0

, x

1

, x

2

, . . . , x

n

} speªniaj¡cych warunek: a = x

0

< x

1

< x

2

< ... < x

n

= b.

Wybieramy punkty po±rednie x

^∗k

∈ [x

_k−1

, x

_k

] odcinków [x

k−1

, x

_k

]. Liczb¦ S(f, P

n

) :

S(f, P

_n

) :=

n

X

k=1

f (x

^∗_k

)∆x

_k

nazywamy sum¡ caªkow¡ funkcji f(x) odpowiadaj¡c¡ podziaªowi P

n

, gdzie ∆x

k

to dªugo±¢ odcinka [x

_k−1

, x

_k

].

Zatem skªadniki sumy caªkowej mo»emy uto»samia¢ z polami prostok¡tów o podstawie ∆x

k

i

wysoko±ci f(x

^∗k

). Natomiast sum¦ caªkow¡ z sum¡ pól tych prostok¡tów(patrz rysunek 1).

Rysunek 1: suma caªkowa Denicja 7. (±rednica podziaªu)

Dªugo±¢ najdªu»szego z odcinków [x

k−1

, x

k

] nazywamy ±rednic¡ podziaªu δ

n

: δ

n

:= max

1≤k≤n

∆x

k

. Denicja 8. (caªka oznaczona Riemanna)

Niech funkcja f(x) b¦dzie ograniczona na przedziale [a, b]. Caªk¦ oznaczon¡ Riemanna z funkcji f(x) na przedziale [a,b] oznaczamy symbolem R

^b

a

f (x)dx i deniujemy w nast¦puj¡cy sposób:

b

Z

a

f (x)dx := lim

δ(Pn)→0 n

X

k=1

f (x

^∗_k

)∆x

_k

,

je»eli granica ta (prawa strona) nie zale»y od sposobu podziaªu przedziaªu [a, b] na podprzedziaªy oraz nie zale»y od wyboru punktów po±rednich x

^∗_k

.

Twierdzenie 9. (Druga cz¦±¢ gªównego tw. rachunku caªkowo-ró»niczkowego:Wzór Newtona-Leibniza) Je±li f(x) ∈ C([a, b]) i F (x) jej funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f(x) to:

b

Z

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

Twierdzenie 10. (wªasno±ci caªki oznaczonej)

Niech funkcje f i g b¦d¡ caªkowalne na przedziale [a, b], wówczas:

a) R

^b

a

f (x) ± g(x)
dx = R

^b

a

f (x)dx ±

b

R

a

g(x)dx;

b) R

^b

a

c · f (x)dx = c

b

R

a

f (x)dx, gdzie c = const.;

d) R

^b

a

f (x)dx =

c

R

a

f (x)dx +

b

R

c

f (x)dx, dla c ∈ [a, b];

e) R

^b

a

f (x)dx = −

a

R

b

f (x)dx;

Twierdzenie 11. (podstawianie w caªce oznaczonej)

Je»eli za zmienna niezale»n¡ ci¡gªej funkcji f(x) podstawimy now¡ zmienn¡

x = φ(t), dla t ∈ [α, β], gdzie:

• φ(t) ∈ [a, b] dla t ∈ [α, β];

• φ(α) = a, φ(β) = b;

• φ

⁰

(t) jest ci¡gªa na przedziale [α, β]

to:

b

Z

a

f (x)dx =

β

Z

α

f φ(t)φ

⁰

(t)dt. (3)

Zadania

1. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = (x

²

+ 5x + 1) cos x jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = (2x + 5) cos x − (x

²

+ 5x + 1) sin x − 2013 w zbiorze P = R.

2. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = x ln

_x¹2

− 10 jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = ln

_x¹2

− 2 w zbiorze P = [1, +∞).

3. Wyznaczy¢ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f(x) = x

²

− 3, do której wykresu nale»y punkt (1; 3).

4. Wyznaczy¢ zbiór, w którym wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) = 4x

²

− x jest wypukªy.

5. Korzystaj¡c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nie- oznaczone:

(a) R x

²

dx; (b) R x

²

√

x + x

³

+ 4x − 1dx; (c) R 5x − 6x

²

+

¹_x

+ cos x + e

^x

dx;

(d) R

_dx

√5

x²

; (e) R 3

^x

dx; (f ) R

_x²_dx

x²+1

; (g) R 2

^x

· 5

^1−x

dx; (h) R sin

^{2 x}₂

dx; (i) R tg

²

xdx;

(j) R

_e^x_dx

3e^x−2

; (k) R

₄

x²+1

dx; (l) R

x√

x−x√⁴ x

√3

x

dx;

(m) R

^√x−2√³ x²+4√⁵

5x³ 6√³

x

dx; (n) R

(x²−1)³

x

dx; (o) R

₅

3x

−

^√_x⁴₂₊₁

+

⁵

√ 3

cos²x

dx − cosh xdx;

(p) R

_{cos 2x}

cos²x sin²x

dx; (r) R

₁

sin²x cos²x

dx; (s) R e

^x



1 −

^e_x^−x2



dx.

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz:

(a) R

_e^x

e^x+2

dx; (b) R x √

x

²

− 3dx; (c) R

_x

3x²−2

dx;

(d) R

_{ln x}

x

dx; (e) R xe

^x2

dx; (f ) R (5 − 3x)

¹⁰

dx;

(g) R

_2x+1

2x²+2x+5

dx; (h) R sin

³

xdx; (i) R

_ex¹

x²

dx;

(j) R

_{x dx}

√

16−9x⁴

; (k) R

_{sin x}

3+2 cos x

dx; (l) R

_{cos(ln x)}

x

dx;

(m) R (x

²

+ x) sin(x

³

+

³₂

x

²

)dx; (n) R

_x²

cos²(x³+1)

dx; (o) R

_dx

(x²+1) arctan x

dx;

(p) R x

³

ln(x

⁴

+ 2)dx; (r) R

_sin³_x

cos x+1

dx; (s) R

sin x cos x

1+cos²x

dx;

(t) R

_dx

cos²x√

tg x

; (u) R

₁

sin x cos x

dx; (v) R

₁

sin x

dx;

7. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci oblicz:

(a) R x sin xdx; (b) R (x

²

− 3x + 4)e

^−x

dx; (c) R

_x

cos²x

dx;

(d) R ln xdx; (e) R 3

^x

cos xdx; (f ) R

_{ln x}

√3

x⁵

dx;

(g) R x

²

sin xdx; (h) R e

^2x

sin xdx; (i) R e

^4x

cos 3xdx;

(j) R

_x

sin²x

dx; (k) R x

⁴

ln xdx; (l) R xe

^x

cos xdx;

(m) R (3x

²

+ 4x − 1) cos 4xdx; (n) R e

^3x

sin 2xdx; (o) R x

³

ln

²

x dx;

(p) R

_{x arcsin x}

√

1−x²

dx; (r) R

_{x ln(}

√

1+x²+x)

√

1+x²

dx; (s) R

_x²_{sin x}

cos³x

dx;

8. Korzystaj¡c z denicji caªki oznaczonej jako granicy sum cz¦±ciowych oblicz:

(a)

3

R

−2

x

²

dx; (b)

2

R

1 1

x²

dx; (c)

1

R

0

x

³

dx; (d)

π 4

R

0

sin xdx.

Przydatne wzory: P

ⁿ

k=1

k

²

=

n(n+1)(2n+1)

6

,

n

P

k=1

k

³

=



_n

P

k=1

k



2

= 

n(n+1) 2



2

9. Oblicz podane caªki oznaczone z wykorzystaniem wzoru Newtona-Leibniza a)

3

R

0 1

x²+9

dx; b)

1

R

0 x−1

x+1

dx; c)

2

R

0

|x − 1|dx;

e)

π/3

R

π/6

1+cos²x

1+cos 2x

dx; f )

6

R

0 6x

√

3

(x²+4)⁵

dx; g)

π/2

R

0

sin

³

x cos xdx;

h)

e

R

1/e

ln xdx; i)

1

R

0

x √

1 − xdx; j)

5

R

0

√x

1+3x

dx;

k)

2

R

0

√ 4 − x

²

dx, (t = 2 sin x); h)

e²

R

e 1

x ln x

dx; l)

0

R

−1

xe

^−x

dx;

m)

0

R

−^π₂

√ 1 + sin x · cos xdx; n)

0

R

−^π₂

√ 1 + sin xdx; o)

1

R

0

x

²

√

1 − x

²

dx;

p)

5

R

−3

E(x)dx; r)

5

R

−2

x sgn(x

²

− 2x − 3)dx; s)

1

R

0

e

√x

dx;

t)

ln 2

R

0

√ e

^x

− 1dx; u)

1

R

0

arcsin√

√

x

x(1−x)

dx.