Caªkowanie przez cz¦±ci i podstawienie.

Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej.

Caªkowanie przez cz¦±ci i podstawienie.

Informacje pomocnicze:

Tablica caªek:

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√ a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = _a ¹ arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

²

+a dx = ln 

 x + √

x ² + a 

 + c a ∈ R

20. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln   ^a+x

a−x



 + c a > 0, |x| 6= a

21. R _f

⁰

_(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = _n ¹ sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

²

+1)

ⁿ

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

2

)

ⁿ⁻¹

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

²

)

ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

²

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

1

Denicja 1. Niech f(x) b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na pewnym przedziale I. Funkcja F (x) jest funkcj¡

pierwotn¡ funkcji f(x) na przedziale I, je»eli

F

⁰

(x) = f (x) dla ka»dego x ∈ I.

Denicja 2. Caªk¡ nieoznaczon¡ funkcji f(x) na przedziale I nazywamy zbiór funkcji:

{F (x) + c} gdzie c = const.

i oznaczamy j¡ R f(x)dx.

Twierdzenie 3. (Podstawowe prawa rachunku caªkowego)

Niech funkcje f i g b¦d¡ ci¡gªe na przedziale I oraz c ∈ R \ {0}. Wówczas:

a) R c · f(x)dx = c · R f(x)dx;

b) R [f(x) ± g(x)]dx = R f(x)dx ± R g(x)dx.

Twierdzenie 4. (caªkowanie przez podstawienie)

Niech funkcja f : (a, b) → R ma funkcj¦ pierwotn¡ F oraz funkcja ϕ : (α, β) → (a, b) jest ró»nicz- kowalna. Wówczas funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f(g(x))g

⁰

(x) jest funkcja F ◦ ϕ oraz zachodzi poni»szy wzór na caªkowanie przez podstawienie:

Z

f [ϕ(x)] · ϕ

⁰

(x)dx = Z

f (t)dt, (1)

gdzie t = ϕ(x) oraz dt = ϕ

⁰

(x)dx.

Twierdzenie 5. (caªkowanie przez cz¦±ci)

Niech funkcje f i g b¦d¡ funkcjami ró»niczkowalnym na przedziale I oraz funkcja f

⁰

g posiada funkcj¦

pierwotn¡ w I. Wówczas funkcja fg

⁰

równie» ma funkcj¦ pierwotn¡ i ma miejsce tzw. wzór na caªkowanie przez cz¦±ci:

Z

f

⁰

(x)g(x)dx = f (x)g(x) − Z

f (x)g

⁰

(x)dx. (2)

Kilka prostych przykªadów

Uwaga 6. Metod¦ caªkowanie przez cz¦±ci mo»na z powodzeniem stosowa¢, gdy pod caªk¡ wyst¦puje iloczyn:

a) wielomianu z funkcj¡ sinus, cosinus, cyklometryczn¡, e

^x

lub ln x;

b) iloczyn funkcji e

^x

z funkcj¡ sinus lub cosinus (stosujemy dwukrotnie).

Przykªad 7. Stosuj¡c metod¦ caªkowania przez cz¦±ci oblicz nast¦puj¡ce caªki a) R x sin x dx =

   

f = x g

⁰

= sin x f

⁰

= 1 g = − cos x

    ,

Z

f g

⁰

dx = f g − Z

f

⁰

gdx =

−x cos x+R cos xdx = −x cos x+sin x+c

b) R (x

²

− 3x − 1)e

^x

dx =    

f = x

²

− 3x − 1 g

⁰

= e

^x

f

⁰

= 2x − 3 g = e

^x

   

= (x

²

− 3x − 1)e

^x

− R (2x − 3)e

^x

dx = 

  

f = 2x − 3 g

⁰

= e

^x

f

⁰

= 2 g = e

^x

   

= (x

²

− 3x − 1)e

^x

− (2x − 3)e

^x

+ 2 R e

^x

dx = (x

²

− 5x + 2)e

^x

+ 2e

^x

+ c =

= (x

²

− 5x + 4)e

^x

+ c;

c) R x ln

²

xdx =    

f = ln

²

x g

⁰

= x f

⁰

= 2 ln x ·

_x¹

g =

¹₂

x

²

   

=

¹₂

x

²

ln

²

x − R x ln xdx =    

f = ln x g

⁰

= x f

⁰

=

¹_x

g =

¹₂

x

²

   

=

1

2

x

²

ln

²

x−

¹₂

x

²

ln x+

¹₂

R xdx =

¹₂

x

²

ln

²

x−

¹₂

x

²

ln x+

¹₄

x

²

+c;

d) R e

^x

cos xdx =    

f = e

^x

g

⁰

= cos x f

⁰

= e

^x

g = sin x

   

= e

^x

sin x − R e

^x

sin xdx =    

f = e

^x

g

⁰

= sin x f

⁰

= e

^x

g = − cos x

   

= e

^x

sin x− −e

^x

cos x + R e

^x

cos xdx + c
. St¡d:

Z

e

^x

cos xdx = e

^x

sin x + e

^x

cos x − Z

e

^x

cos xdx + c,

dalej w celu wyznaczenia caªki R e

^x

cos xdx post¦pujemy jak podczas rozwi¡zywania równania linio- wego:

2 Z

e

^x

cos xdx = e

^x

sin x + e

^x

cos x + c,

wi¦c Z

e

^x

cos xdx = 1

2 e

^x

sin x + 1

2 e

^x

cos x + c.

W przykªadzie tym skuteczno±¢ dwukrotnego caªkowania przez cz¦±ci otrzymujemy je»eli konse- kwentnie w obu caªkowaniach przez cz¦±ci funkcj¦ e

^x

przyjmujemy za f lub g

⁰

.

Przykªad 8. Stosuj¡c metod¦ caªkowania przez podstawienie oblicz.

a) R (6x − 5)

³

dx =    

6x − 5 = t 6dx = dt

   

= R t

³

·

¹₆

dt =

¹₆

R t

³

dt =

¹₆

·

¹₄

t

⁴

+ c ==

₂₄¹

(6x − 5)

⁴

+ c;

b) R

_1+x^3x2

dx =

³₂

R

_2x

1+x²

dx =

Z f

⁰

(x)

f (x) dx = ln  f (x) 

 + c =

³₂

ln |1 + x

²

| + c;

3

c) R 5xe

^x2

dx =   

x

²

= t 2xdx = dt

  

=

⁵₂

R e

^t

dt =

⁵₂

e

^t

+ c =

⁵₂

e

^x2

+ c;

d) R cos 7xdx =    

7x = t 7dx = dt

   

=

¹₇

R cos tdt =

¹₇

sin t + c =

¹₇

sin 7x + c;

e) R

_(x^4xdx2₋₃₎⁸

=    

x

²

− 3 = t 2xdx = dt

   

= 2 R

₁

t⁸

dt = 2 R t

⁻⁸

dt = 2 ·

₋₇¹

t

⁻⁷

+ c = −

²₇

(x

²

− 3)

⁻⁷

+ c;

f) R

^√2x_1−x^3dx2

=    

1 − x

²

= t ⇒ x

²

= 1 − t

−2xdx = dt

   

= R

−(1−t)dt√

t

= R (−t

⁻¹²

+ t

¹²

)dt =

−

¹1 2

t

¹²

+

¹3 2

t

³²

+ c = −2(1 − x

²

)

³²

+

²₃

(1 − x

²

)

³²

+ c;

Cz¦sto mamy sytuacj¦, »e korzystamy podczas liczenia jednej caªki z kilku metod np. metody caªkowania przez cz¦±ci i podstawienie:

g) R arctg x dx =    

f = arctg x g

⁰

= 1 f

⁰

=

_1+x¹ 2

g = x

   

= x · arctg x − R

_x

1+x²

dx policzmy teraz caªk¦:

Z x

1 + x

²

dx = 1 2

Z 2x

1 + x

²

dx =

Z f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c = 1

2 ln |1 + x

²

| + c, wi¦c

Z

arctg x dx = x · arctg x − 1

2 ln |1 + x

²

| + c.

Zadania

1. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = (x

²

+ 5x + 1) cos x jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = (2x + 5) cos x − (x

²

+ 5x + 1) sin x − 2013 w zbiorze I = R.

2. Sprawd¹, czy funkcja F (x) = x ln

_x¹2

− 10 jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f (x) = ln

_x¹2

− 2 w zbiorze I = [1, +∞).

3. Wyznaczy¢ funkcj¦ pierwotn¡ funkcji f(x) = x

²

− 3, do której wykresu nale»y punkt (1; 3).

4. Wyznaczy¢ zbiór, w którym wykres dowolnej funkcji pierwotnej funkcji f(x) = 4x

²

− x jest wypukªy.

5. Korzystaj¡c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nie- oznaczone:

(a) R x

²

dx; (b) R x

²

√

x + x

³

+ 4x − 1dx; (c) R 5x − 6x

²

+

¹_x

+ cos x + e

^x

dx;

(d) R

_dx

√5

x²

; (e) R 3

^x

dx; (f ) R

_x²_dx

x²+1

; (g) R 2

^x

· 5

^1−x

dx; (h) R sin

^{2 x}₂

dx; (i) R tg

²

xdx;

(j) R

_e^x_dx

3e^x−2

; (k) R

₄

x²+1

dx; (l) R

_x^√_x−x^√4_x

√3

x

dx;

(m) R

^√_x−2³

√ x²+4⁵

√ 5x³ 6√³

x

dx; (n) R

_(x²−1)³

x

dx; (o) R

₅

3x

−

^{√ 4}

x²+1

+

⁵

√3

cos²x

dx − cosh xdx;

(p) R

_{cos 2x}

cos²x sin²x

dx; (r) R

₁

sin²x cos²x

dx; (s) R e

^x



1 −

^e_x^−x2

 dx.

6. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz:

(a) R

_e^x

e^x+2

dx; (b) R x √

x

²

− 3dx; (c) R

_x

3x²−2

dx;

(d) R

_{ln x}

x

dx; (e) R xe

^x2

dx; (f ) R (5 − 3x)

¹⁰

dx;

(g) R

_2x+1

2x²+2x+5

dx; (h) R sin

³

xdx; (i) R

_ex¹

x²

dx;

(j) R

_{x dx}

√16−9x⁴

; (k) R

_{sin x}

3+2 cos x

dx; (l) R

cos(ln x)

x

dx;

(m) R (x

²

+ x) sin(x

³

+

³₂

x

²

)dx; (n) R

_x²

cos²(x³+1)

dx; (o) R

_dx

(x²+1) arctan x

; (p) R x

³

ln(x

⁴

+ 2)dx; (r) R

_sin³_x

cos x+1

dx; (s) R

sin x cos x

1+cos²x

dx;

(t) R

_dx

cos²x√

tg x

; (u) R

₁

sin x cos x

dx; (v) R

₁

sin x

dx;

7. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci oblicz:

(a) R x sin xdx; (b) R (x

²

− 3x + 4)e

^−x

dx; (c) R

_x

cos²x

dx;

(d) R ln xdx; (e) R 3

^x

cos xdx; (f ) R

_{ln x}

√3

x⁵

dx;

(g) R x

²

sin xdx; (h) R e

^2x

sin xdx; (i) R e

^4x

cos 3xdx;

(j) R

_x

sin²x

dx; (k) R x

⁴

ln xdx; (l) R xe

^x

cos xdx;

(m) R (3x

²

+ 4x − 1) cos 4xdx; (n) R e

^3x

sin 2xdx; (o) R x

³

ln

²

x dx;

(p) R

_{x arcsin x}

√1−x²

dx; (r) R

x ln(√

1+x²+x)

√1+x²

dx; (s) R

_x²_{sin x}

cos³x

dx;

8. Oblicz caªki stosuj¡c wskazane podstawienie: : (a) R

₁

e^x+1

dx; (x = − ln t) (b) R x

²

√

1 − x

²

dx; (x = sin t) (c) R

_dx

√4

x³(1+√

x)

(x = t

⁴

);

5