CHARAKTERYSTYKI CZ
Ę
STOTLIWO
Ś
CIOWE PODSTAWOWYCH
CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
Do podstawowych form opisu dynamiki elementów automatyki (oprócz równań różniczkowych) zaliczamy transmitancję operatorową K(s) oraz transmitancję widmową K(jω). Związek pomiędzy tymi transmitancjami wyraża się wzorem:
) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ω ω φ ω ω ω ω ω ω j n i i i m l l l j s K j e j a j b j U j Y s K j K = = = =
∑
∑
= = > − (1)Twierdzenie o przechodzeniu sygnału sinusoidalnego przez układ liniowy.
Jeżeli na wejście układu liniowego podamy sygnał sinusoidalny (u(t)=Asinwt), to na wyjściu, w stanie ustalonym (przy założeniu że składowa swobodna ys równa się zero), otrzymamy
także sygnał sinusoidalny o amplitudzie B= AK( ωj ) i przesunięciu fazowym f. Transmitancję widmową można przedstawić także w postaci:
)} ( Im{ )} ( Re{ ) (jω K jω j K jω K = + , (2)
gdzie: K j( ω) – moduł transmitancji widmowej (stosunek amplitud sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego),
Re{K(jw)} – część rzeczywista K(jw), Im{K(jw)} – część urojona K(jw), ϕ(ω) = )} ( Re{ )} ( Im{ ctg ω ω j K j K
ar – argument transmitancji widmowej (przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem wyjściowym i wejściowym).
Zależność transmitancji widmowej K(jω)= K(jω)ejφ od częstotliwości przedstawia się na płaszczyźnie Gaussa i nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową.
Charakterystyki amplitudowe i fazowe przedstawia się często jako charakterystyki
logarytmiczne Bodego (w logarytmicznej skali częstotliwości):
) ( log 20 ) (ω 10 K jω M = [dB] (3) φ ω( )=arg[ (K jω)].
Zaleta tego sposobu przedstawiania charakterystyk częstotliwościowych wynika z właściwości funkcji logarytmicznej:
- w skali logarytmicznej zmiana o 10c (c –liczba całkowita) jest proporcjonalna do c,
- logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów, a logarytm ilorazu różnicy logarytmów:
3 2 1 3 2 1 log log log log K K K K K K − + = . (4)
Pozwala to przedstawić charakterystyki (modułu i fazy) złożonego układu automatyki za pomocą sumy charakterystyk członów podstawowych.
Eksperymentalne zdejmowanie charakterystyk amplitudowo-fazowych.
W celu określenia charakterystyki amplitudowo-fazowej zmieniamy częstotliwość sygnału sinusoidalnego wejściowego w1, w2 w3 ... i określamy parametry K( ωj ) oraz ϕ(ω).
K(jω)
x(t)=Xsinωt y(t)=XK(jω) sin(ωt+ϕ)
Im {K(jω)} Re {K(jω)} k ω=0 ω=∝ ω1 ω2 -ϕ(ω) K(jω) ω
Rys. 1. Eksperymentalne określanie charakterystyki częstotliwościowej
W wprowadzeniu do ćwiczenia zostaną omówione charakterystyki częstotliwościowe wybranych podstawowych członów automatyki.
I. Człon inercyjny I-rzędu
Transmitancja operatorowa opisana jest wzorem: K(s) = 1 + Ts k (I.1)
Transmitancja widmowa członu inercyjnego pierwszego rzędu: 1 ) ( ) ( + = = = T j k s K j K s j ω ω ω (I.2)
T ar j j e T k e j K j K ϕω ω ω ω ω ctg 2 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( − + = = . (I.3)
Wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej członu inercyjnego pierwszego rzędu przedstawiono na rys. I.1.
Im {K(jω)} Re {K(jω)} k ω=0 ω=∝ -jk 2 ω= 1 T k 2
Rys. I.1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu inercyjnego pierwszego rzędu
Rys. I.2. Charakterystyki Nyquista członu inercyjnego pierwszego rzędu
Na rys. I.2 przedstawiono charakterystyki Nyquista układu inercyjnego I-rzędu dla trzech różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=1; T3=5. Jak można zauważyć z wykresów krzywe te pokrywają się (przy tym samym wzmocnieniu k=1). Oczywiście punkt 0,5 –j0,5 na wykresach uzyskuje się dla różnych pulsacji ω (odpowiednio: 10, 1 i 0,5). Dlatego dogodniej jest korzystać z charakterystyk Bode.
1 ) ( log 20 log 20 ) (ω = k− Tω 2 + M , (I.4) a charakterystyka fazowa: ) ctg( ) (ω =−ar ωT Φ . (I.5)
Rys. I.3. Logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy członu inercyjnego pierwszego rzędu
Na wykresie I.3 przedstawiono logarytmiczne charakterystyki amplitudy i fazy, wyznaczone dla: k=1, oraz T1=0,1; T2=1; T3=5. .
Wykres M(w) można przedstawić w postaci przybliżonej, zastępując krzywą (I.4) za pomocą wyrażenia (I.6):
> − < = , 1 log 20 log 20 1 log 20 ) ( T dla T k T dla k M ω ω ω ω (I.6)
bowiem dla małych częstotliwości (wT<<1) wyrażenie 20log (ωT)2 +1=0. Charakterystyka (I.6) nosi nazwę logarytmicznej asymptotycznej charakterystyki amplitudowej i składa się z dwóch odcinków prostych. W tym przypadku największa różnica pomiędzy charakterystyką logarytmiczną, a jej przybliżeniem występuje dla pulsacji
T 1 = ω i wynosi: dB T T k
k (20log 20log (1 ) 1) 20log 2 3 log
II. Człon oscylacyjny
Transmitancja operatorowa przedstawia się następująco:
2 2 2 2 ) ( n n n s s k s K ω ξω ω + + = . (II.1)
Transmitancja widmowa członu oscylacyjnego:
ω ξω ω ω ω ω n n n j k j K 2 ) ( 2 2 2 + − = . (II.2)
Przedstawiona w postaci modułu i fazy:
) 2 ( 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( ) ( ω ω ω ξω ω ξω ω ω ω ω − − + − = n n arctg j n n n e k j K . (II.3)
Logarytmiczna charakterystyka amplitudy członu oscylacyjnego jest równa:
2 2 2 2 2 ) 2 ( ) ( log 20 ) log( 20 log 20 ( log 20 ) (ω K jω k ωn ωn ω ξωnω M = = + − − + . (II.4)
Logarytmiczna charakterystyka fazy:
2 2 2 ) ( ω ω ξωω ω =− − Φ n n arctg . (II.5)
Na rys. II.1 przedstawiono charakterystyki wyznaczone dla: k=1, oraz - x1=0,125; x2=0,5; x3=0,85 przy wn=4
- wn1=2, wn2=4; wn3=8 przy x=0,5.
Na podstawie analizy wzoru II.2 można określić warunki potrzebne do wyznaczenia parametrów wn i x. Parametr wn wyznaczamy z warunku arg{K(jwa
)=-2
π
. Wtedy wn=wa.
Natomiast parametr x wyznaczamy dla warunku arg{K(jwb
)=-4 π . Wtedy b n b n ω ω ω ω ξ 2 2 2 − = .
III. Człon różniczkujący rzeczywisty
Transmitancja operatorowa rzeczywistego członu różniczkującego: 1 ) ( + = Ts ks s K . (III.1)
Transmitancja widmowa rzeczywistego członu różniczkującego:
) 2 ctg ( 2 1 ) ( ) ( π ω ω ω ω − − + = e j ar T T k j K . (III.2)
Na rys. III.1 przedstawiono charakterystyki amplitudowo-fazowe członu różniczkującego dla trzech różnych stałych czasowych: T1=0,1; T2=0,5; T3=1.
Logarytmiczna charakterystyka amplitudy rzeczywistego członu różniczkującego jest równa: 1 ) ( log 20 log 20 log 20 ( log 20 ) (ω = K jω = k+ ω − Tω 2 + M . (III.3)
Logarytmiczna charakterystyka fazy:
ω π ω ar ctgT 2 ) ( = − Φ . (III.4)
Rys. III.2. Charakterystyki logarytmiczne rzeczywistego członu różniczkującego
Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy, wyznaczone dla: T1=0,1; T2=0,5; T3=1 przedstawiono na rys. III.2.
