Index of /rozprawy2/10761

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Energoelektroniki i Automatyki Systemów Przetwarzania Energii. mgr inż. Aleksander Skała Rozprawa doktorska. Falownik ZVS–1S w zastosowaniu do nagrzewania indukcyjnego. Promotor: prof. dr hab. inż. Stanisław Piróg. Kraków 2014. 1.

(2) Niniejszym składam serdeczne podziękowania Panu profesorowi Stanisławowi Pirógowi za ogromną pomoc wyrozumiałość,, merytoryczną, wyrozumiałość proste odpowiedzi na trudne pytania, pytania, nietrywialne odpowiedzi na pytania pozornie proste, które pobudziły moją kreatywność oraz bardzo motywującą życzliwość podczas powstawania tej pracy. Pięknie dziękuję również wszystkim Kolegom z Zespołu i Katedry za okazaną inspirację,, a przede pomoc, wsparcie i inspirację wszystkim niezwykle pozytywną atmosferę w pracy: Zbigniewowi Waradzynowi, Jarosławowi Jarosław owi Czekońskiemu, Stanisławowi Gąsiorkowi, Józefowi Skotnicznemu, Januszowi Grzegorskiemu, Robertowi Stali, Adamowi Penczkowi i Marcinowi Baszyńskiemu.. 2.

(3) Spis treści Rozdział 1 – Wstęp 1.1 Cel i zakres pracy 1.2 Wprowadzenie 1.3 Falownik klasy E 1.4 Jednołącznikowy falownik ZVS–1S klasy E – wybór układu Rozdział 2 – Jednołącznikowy, tranzystorowy falownik napięcia klasy E ZVS – 1S 2.1 Informacje ogólne 2.2 Opis układu i zasada działania falownika w topologii podstawowej 2.3 Możliwe stany pracy: praca optymalna, suboptymalna i nieoptymalna 2.4 Praca falownika przy przełączaniu ZVS – zależności ogólne 2.5 Analiza matematyczna falownika w stanie pracy optymalnej 2.6 Wyznaczanie zakresu względnych parametrów sterowania dla pracy optymalnej układu w zależności od parametrów tłumienia w obwodzie – obliczenia numeryczne 2.7 Właściwości regulacyjne 2.7.1 Regulacja mocy wyjściowej 2.7.2 Regulacja częstotliwości Rozdział 3 – Obliczenia parametrów falownika 3.1 Prezentacja wzbudnika 3.2 Pomiary elektryczne wzbudnika 3.3 Definicja parametrów wejściowych i wyjściowych falownika oraz założenia upraszczające 3.4 Założenia dotyczące mocy wyjściowej 3.5 Wyznaczanie parametrów schematu zastępczego układu wzbudnik – wsad dla wykonanej końcówki grzejnej i przyjętego wsadu 3.6 Drgania w obwodzie oscylacyjnym RLC 3.5.1 Częstotliwość własna 3.5.2 Częstotliwość drgań własnych 3.5.2 Częstotliwość rezonansowa obwodu RLC falownika. 3.

(4) 3.7 Układ rozruchowy falownika 3.8 Oszacowanie energii rozproszenia wydzielającej się na tranzystorze Rozdział 4 – Symulacje komputerowe 4.1. Wyznaczanie przebiegów prądów i napięć w układzie przy znamionowym i różnym od znamionowego obciążeniu. 4.2. Zmienność parametrów sterowania w stanie pracy optymalnej w zależności od zmian tłumienia w obwodzie wyjściowym. 4.3 Własności regulacyjne układu: zależności sprawności układu, mocy odbiornika i strat mocy na tranzystorze od tłumienia w obwodzie i parametrów sterowania. 4.3 Regulacja mocy wyjściowej Rozdział 5 – Projekt modelu laboratoryjnego falownika 5.1 Układ siłowy 5.2 Układ zasilający 5.3 Układ sterowania 5.3.1 Założenia do koncepcji układu sterowania falownika 5.3.2 Koncepcje układów sterowania falownika 5.3.3 Symulacyjna weryfikacja wypracowanych koncepcji układów sterowania falownika 5.3.4 Topologia układów funkcyjnych układu sterowania falownika Rozdział 6 – Opis modelu i wyniki jego badań laboratoryjnych 6.1 Opis wykonanego modelu 6.2 Wyniki badań laboratoryjnych 6.2.1 Otrzymane przebiegi w układzie podczas pracy 6.2.2 Weryfikacja parametrów elektrycznych obciążenia 6.2.3 Oszacowanie mocy i sprawności układu 6.2.4 Stany dynamiczne w układzie podczas pracy 6.2.4.1 Szybka zmiana obciążenia falownika 6.2.4.2 Włączanie i wyłączanie układu sterowania Rozdział 7 – Podsumowanie pracy, wnioski i kierunki dalszych badań Literatura Dodatek. 4.

(5) Rozdział 1 Wstęp 1.1 Cel i zakres pracy Celem niniejszej pracy jest: wybór i analiza wybranej topologii falownika w zastosowaniu do nagrzewania indukcyjnego, przeanalizowanie możliwości technicznych dotyczących wykonania modelu falownika, analiza pracy optymalnej falownika, opracowanie koncepcji sterowania układem, weryfikacja pracy i koncepcji sterowania na drodze symulacyjnej, projekt układu (dobór parametrów i elementów oraz oczujnikowanie układu sterowania), wykonanie i uruchomienie stanowiska laboratoryjnego, układu falownika napięcia ZVS-1S klasy E do zasilania nagrzewnicy indukcyjnej, przeprowadzenie badań układu oraz opracowanie wyników i wniosków.. Ideą. przewodnią. pracy. jest. przegląd. topologii. jednołącznikowych. układów. energoelektronicznych wysokich częstotliwości w celu pozyskania wiedzy i doświadczenia na temat możliwości konstruowania wysokosprawnych, możliwie niezawodnych i kompaktowych urządzeń do wykorzystania w różnych aplikacjach, takich jak: nagrzewanie indukcyjne, ale także diatermii chirurgicznej, magnetoterapii, itp. Jako cel postawiono zbadanie możliwości i wymagań topologii ZVS-1S falownika napięcia klasy E, jego analizę matematyczną służącą wyznaczeniu parametrów i wypracowaniu algorytmu pozwalającego na sterowanie układem w możliwie dużym zakresie mocy i częstotliwości, uwzględniając skalę i dynamikę zmian parametrów obciążenia oraz symulacja i eksperymentalne sprawdzenie wyników tej analizy. Nagrzewnica indukcyjna została zaprojektowana i wykonana z przeznaczeniem do nagrzewania niewielkich elementów i detali metalowych. W pracy zamieszczone zostały wyniki symulacji układu falownika klasy E ZVS-1S ze znamionowym obciążeniem, obciążeniami mniejszymi i większymi w stosunku do. 5.

(6) znamionowego oraz przedstawiające działanie falownika z układem rozruchowym. Zaprezentowano również uzyskane drogą symulacyjną zależności: wpływu zmian impedancji obciążenia, okresu sterowania i współczynnika wypełnienia D – określającego czas przewodzenia tranzystora w okresie sterowania – na: pracę układu, wymagane parametry sterowania, moc wyjściową oraz sprawność, w celu przeanalizowania i wyboru najlepszej możliwej konfiguracji układu oraz dobrania punktu pracy łącznika dla uzyskania możliwie najwyższej sprawności i niezawodności urządzenia. Przeprowadzona w pracy dokładna analiza matematyczna,. funkcjonalna i. behawioralna układu falownika pozwoliła na wypracowanie czterech możliwych do realizacji koncepcji sterowania układem. W pracy zawarto opis tych koncepcji, wyniki badań symulacyjnych, schematy blokowe układów sterowania oraz sposoby i sekwencje pomiaru sygnałów służących do synchronizacji i sterowania układem. Jeden, wybrany algorytm uznany za optymalny, skutecznie zaimplementowano do zaprojektowanego i wykonanego stanowiska badawczego. Zarejestrowano również przebiegi sygnałów układu sterowania w stanach dynamicznych podczas pracy falownika. Praca zawiera również projekt modelu laboratoryjnego falownika, w tym: układu siłowego, układu zasilania i układu sterowania falownikiem. W końcowej części pracy, został zamieszczony opis wykonanego przemiennika częstotliwości jako całości oraz wyniki badań laboratoryjnych i przeprowadzonych pomiarów. Osiągając wysoką – w stosunku do zakładanej – funcjonalność układu falownika zarejestrowano przebiegi dla różnych nagrzewanych wsadów i dla różnych pojemności C obwodu oscylacyjnego. Wyznaczono współczynniki tłumienia dla każdego badanego przypadku i zweryfikowano parametry elektryczne układu wzbudnik – wsad, które wcześniej obliczono na podstawie wymiarów geometrycznych, danych materiałowych i zakładanej częstotliwości pracy układu. Zarejestrowano przebiegi strat mocy na tranzystorach, co po zdefinowaniu torów konwersji energii w falowniku pozwoliło na oszacowanie sprawności układu: elektrycznej, termicznej i elektrotermicznej. Sformułowano wnioski będące zbiorem doświadczeń dotyczących, tak pracy samego układu, jak i pracy z układami wysokoczęstotliwościowymi, co uwzględnia specyfikę zagadnienia oraz kwestie dotyczące sterowania takimi układami, generacji zakłóceń oraz sposobów pomiarowych sygnałów służących jako sprzężenia zwrotne dla układów regulacji i sterowania urządzeniem.. 6.

(7) Praca w obecnym kształcie stanowi kompletny opis zastosowanych w odpowiedniej sekwencji. środków,. służących. do. realizacji. procesu. konstruowania. wysokoczęstotliwościowego źródła zasilania dla realizacji zadanego procesu nagrzewania indukcyjnego. Metody zastosowane w pracy, pozwalają także na oszacowanie sprawności wykonanego urządzenia i ocenę jakości konstrukcji: zarówno obwodu siłowego jak i układu sterowania oraz przyjętej koncepcji sterowania układem.. 1.2. Wprowadzenie. Stosowanie coraz bardziej zaawansowanych technologii, wymusza realizację coraz bardziej złożonych i wymagających procesów obróbki materiałów. Nagrzewanie materiałów lub elementów jest etapem bardzo wielu procesów technologicznych. Często jest ono realizowane poprzez przemianę w ciepło energii elektrycznej, zwaną przemianą. elektrotermiczną.. Jedną. z. najpowszechniej. stosowanych. metod. elektrotermicznych jest nagrzewanie indukcyjne, polegające na wytwarzaniu ciepła przy przepływie prądów wirowych przez ośrodek przewodzący. Prądy te indukują się w nim poprzez sprzężenie magnetyczne z tzw. wzbudnikiem, przez który przepływa prąd o odpowiednio dobranej częstotliwości i natężeniu. W metodzie tej wykorzystywane jest zjawisko indukcji elektromagnetycznej Faradaya, stąd jej nazwa. Wzbudnik to odpowiednio ukształtowany przewodnik miedziany (zwykle chłodzony wodą), najczęściej w postaci cylindrycznej lub płaskiej cewki, jedno- lub wielozwojowej (kilka wybranych przykładowych wzbudników prezentuje rys.1.1). Obiekt poddawany procesowi nagrzewania nosi nazwę wsadu. Poprzez odpowiedni dobór kształtu wzbudnika i częstotliwości prądu zasilającego można uzyskać precyzyjne dozowanie energii w ściśle określonych obszarach wsadu. Możliwe jest zatem, przy odpowiednio dużych częstotliwościach (kiedy gabaryty wsadu są znacznie większe od głębokości wnikania fali elektormagnetycznej w materiał wsadu), nagrzewanie powierzchniowe lub nagrzewanie skrośne, czyli w całej objętości wsadu.. 7.

(8) KEiASPE AGH. KEiASPE AGH. KEiASPE AGH. Rys.1.1 Przykładowe kształty wzbudników wykorzystywanych w procesach nagrzewania indukcyjnego. Oznaczone zdjęcia przedstawiają pracujące urządzenia w Laboratorium Elektrotermii Katedry Energoelektroniki i Automatyki Systemów Przetwarzania Energii AGH w Krakowie.. Nagrzewanie indukcyjne jest powszechnie stosowane przede wszystkim do nagrzewania i topienia metali. Dzięki swoim zaletom, takim jak: duża sprawność procesu wynikająca m.in. z tego, że jest to metoda bezpośrednia nagrzewania elektrycznego (generacja ciepła bezpośrednio we wsadzie),. 8.

(9) szybkość nagrzewania wsadu - sprawia, że proces nie powoduje utleniania powierzchni nagrzewanego wsadu, możliwość nagrzewania powierzchniowego i skrośnego, brak styku wsadu ze źródłem ciepła ułatwia automatyzację procesu nagrzewania (kilka przykładowych zastosowań pokazano na rys.1.2),. Rys.1.2 Przykładowe kształty wzbudników dedykowanych do automatyzacji procesów nagrzewania. nagrzewanie indukcyjne jest dość powszechnym i coraz częściej wykorzystywanym sposobem nagrzewania, topienia, zgrzewania i lutowania metali, choć wiąże się z dość kosztownym układem zasilania i wymagajacym każdorazowej adaptacji kształtu wzbudnika do wymagań procesu. Do powszechnie dziś stosowanych źródeł zasilania indukcyjnych urządzeń grzejnych należą statyczne przemienniki częstotliwości budowane z wykorzystaniem tranzystorów. Przemiennik częstotliwości, którego zadaniem jest przetworzenie energii pobieranej z sieci zasilającej w prąd o żądanej wartości i częstotliwości, składa się zwykle z prostownika, obwodu pośredniczącego prądu lub napięcia stałego oraz falownika. Z uwagi na liczbę zastosowanych łączników energoelektronicznych można wyróżnić przede wszystkim:. 9.

(10) falowniki mostkowe z czterema łącznikami półprzewodnikowymi, układy półmostkowe – z dwoma łącznikami, oraz kilka rodzajów falowników jednołącznikowych. Układy jednołącznikowe pomimo swoich ograniczeń (zwłaszcza dotyczących mocy wyjściowej), są rozwijane ze względu na możliwości konstruowania wysokosprawnych, możliwie niezawodnych i kompaktowych urządzeń do wykorzystania w różnych aplikacjach, takich jak: nagrzewanie indukcyjne, ale także diatermii chirurgicznej, magnetoterapii, itp. Czynnikami decydującymi o wzroście częstotliwości układów falownikowych jest oprócz wspomnianej możliwości realizacji nagrzewania powierzchniowego materiałów, także zastosowanie tych urządzeń do nagrzewania dielektrycznego, wytwarzania materiałów półprzewodnikowych, zasilania nowoczesnych źródeł światła i laserów, indukcyjnej generacji plazmy oraz mikroprecyzyjnego nagrzewania metalowych detali. Niebagatelną rolę w tym wzroście częstotliwości ma również aspekt ekonomiczny: wyższa częstotliwość oznacza możliwość zminiejszenia gabarytów elementów biernych, takich jak dławiki, cewki, transformatory i kondensatory – a co za tym idzie obniżenie kosztów produkcji falowników oraz co równie ważne, możliwości tworzenia układów kompaktowych, czy wręcz ich miniaturyzacja. Niestety,. uzyskiwanie. wysokich. częstotliwości. pracy. falowników. wymaga. zastosowania odpowiedniego – często wymagającego dużej precyzji i stabilności – sterowania. Dodatkowym wyzwaniem konstrukcyjnym dla układów sterowania tych urządzeń, są zmiany parametrów obciążenia falowników związane ze zmianą temperatury nagrzewanych wsadów. Elementy półprzewodnikowe wykorzystywane w tych aplikacjach mają określone własności dynamiczne, co skutkuje generacją strat mocy podczas ich przełączania, których wartość jest proporcjonalna do częstotliowści łaczeń. Aby ograniczyć te straty mocy należy zapewnić warunki możliwie miękkiej komutacji łączników, polegające na przełączaniu tranzystorów przy zerowym prądzie i/lub napięciu. Wyróżnia się dwa główne rodzaje przełączania miękkiego (ang.: soft switching): przełączanie przy zerowym prądzie (ang.: ZCS – zero current switching) oraz przełączanie przy zerowym napięciu (ang.: ZVS – zero voltage switching). Przełączanie miękkie ogranicza pochodne prądów i napięć w układzie, powodując zmniejszenie strat mocy oraz zmniejsza negatywne oddziaływanie pracy układu na inne urządzenia w sieci zasilającej oraz niejednokrotnie na układy pomiarowe czy sterowania zastosowane w danej konstrukcji.. 10.

(11) Redukcja strat mocy zwiększa natomiast sprawność układu oraz pozwala na dalsze zwiększanie częstotliwości pracy.. 1.3 Falownik klasy E Nowoczesnym i dość powszechnie stosowanym układem jako źródło mocy wysokiej częstotliwości, spełniającym wymagania „maksymalnie miękkiego” przełączania tranzystora jest falownik klasy E w topologii podstawowej, którego założenia zostały opisane po raz pierwszy przez Nathana i Alana Sokal w 1975 r. [1]: załączanie tranzystora powinno się odbywać przy zerowym napięciu (ZVS), jego zerowej pochodnej (ZDS, ZVDS – ang. Zero-Voltage-Derivative Switching) oraz – w konsekwencji – zerowym prądzie (ZCS – ang. ZeroCurrent Switching), natomiast wyłączanie tranzystora – przy zerowym napięciu, ale niezerowym prądzie (ZVS + NZCS). Problematyka dotycząca falowników klasy E jest w literaturze – zarówno krajowej [2] ÷ [13], jak i zagranicznej [14] ÷ [20] – bardzo rozległa i obejmuje również wiele modyfikacji topologii podstawowej układu, gdyż oprócz bardzo korzystnych warunków przełączania tranzystora, posiada ona ograniczenia związane z dużymi wartościami prądów i napięć obciążających łącznik w ustalonym stanie jego pracy.. 1.4. Jednołącznikowy falownik 1S – ZVS klasy E – wybór układu. Przykładem jednołącznikowego falownika klasy E, jest układ przedstawiony na rys. 2.1, będący tematem badań i tego opracowania. Układ ten, został przedstawiony w literaturze przy zastosowaniu w kuchniach indukcyjnych, pracujących zwykle w zakresie częstotliwości 20 ÷ 50 kHz, m. in. w pracach [21] ÷ [27]. Jako zalety tej topologii falownika autorzy podają: wysoką otrzymaną sprawność układu (ok. 83% dla produkowanego urządzenia KZ-1600T, choć autorzy nie podają metody pomiaru tej sprawności [1]), niewielką liczbę komponentów układu, niski koszt wytworzenia, regulacja mocy następuje w samym układzie falownika, stabilna praca dla różnych obciążeń układu (wsadów). Dodatkowym czynnikiem argumentującym wybór tej topologii jako układu badanego jest to, że zaprezentowane zależności w [21] pokazują występowanie maksymalnego napięcia. 11.

(12) na tranzystorze względem napięcia średniego, które jest równe napięciu zasilania Ud na poziomie 2,3·Ud, podczas gdy odpowiadające wartości dla falowników klasy E w topologii podstawowej wynoszą: 3,56·Ud [2], co stanowi poważne ograniczenie topologii podstawowej. Celem niniejszej pracy jest analiza i prezentacja właściwości falownika, a następnie zastosowanie go w nagrzewaniu indukcyjnym przy częstotliwości prądu wyjściowego wynoszącej kilkaset. kiloherców, czyli o ok. rząd wielkości wyższej niż częstotliwość. stosowana w opisanych zastosowaniach. Tak duża częstotliwość, z uwagi na wydzielanie się mocy użytecznej jedynie w obszarze przypowierzchniowym wsadu, umożliwia nagrzewanie i topienie elementów o. małych. wymiarach,. jak. i. realizację procesu. hartowania. powierzchniowego. Z tą samą częstotliwością przełączany jest tranzystor, co powoduje powstawanie w nim strat łączeniowych, które są proporcjonalne do częstotliwości. Dlatego szczególna uwaga została zwrócona na pracę optymalną falownika, przy której straty przełączania tranzystora są najmniejsze.. 12.

(13) Rozdział 2 Jednołącznikowy, tranzystorowy falownik napięcia ZVS –1S klasy E. 2.1 Informacje ogólne Falownik (rys. 2.1) zasilany jest ze źródła napięcia stałego Ud. Przy zastosowaniu falownika do nagrzewania indukcyjnego elementy R0 i L0 reprezentują układ wzbudnik – wsad, będący odbiornikiem. Przy innych zastosowaniach odbiornikiem może być rezystancja R0, zaś L0 jest wtedy elementem obwodu rezonansowego. W obu przypadkach kondensator C jest dopełnieniem tego obwodu, a jego pojemność dobierana jest tak, aby uzyskać wymaganą częstotliwość oscylacji. Jako łącznik energoelektroniczny S zastosowano tranzystor MOSFET.. i0. R0. L0 iS. iC Ud. C uC. S D. uT. T. Rys.2.1 Schemat analizowanego falownika jednołącznikowego. 2.2 Opis układu i zasada działania falownika w topologii podstawowej Działanie falownika w stanie ustalonym podczas jednego cyklu pracy można podzielić na dwa etapy (takty) pokazane na rys.2.2. Takt I (czas trwania T1): łącznik (tranzystor lub najpierw jego wewnętrzna dioda, a następnie tranzystor). przewodzi prąd elektryczny. Następuje wykładniczy wzrost prądu. obciążenia i0(t), przy praktycznie stałym napięciu na kondensatorze C (teoretycznie – stałym, w praktyce – z niewielkimi oscylacjami wywołanymi drganiami w obwodzie rezonansowym jaki tworzy pojemność kondensatora głównego obwodu rezonansowego i indukcyjności pasożytniczych układu). W tym takcie napięcie na tranzystorze jest równe zero (w praktyce. 13.

(14) jest to wartość spadku napięcia na przewodzącej strukturze półprzewodnikowej, która jest również zależna od wielkości przewodzonego prądu).. Rys.2.2 Cykle pracy falownika. Takt II (czas trwania T2): Tranzystor zostaje wyłączony i w tym momencie zaczyna się oscylacyjne przeładowanie w obwodzie R0L0C. Prąd i0 odbiornika oraz napięcie uC na kondensatorze mają kształt sinusoid tłumionych, przy czym początkowa wartość napięcia na kondensatorze jest równa napięciu zasilania Ud. Jeśli rezystancja w gałęzi R0L0 jest odpowiednio mała, tłumienie takiego przebiegu również jest niewielkie i przy właściwym sterowaniu, maksymalne napięcie uC na kondensatorze po przeładowaniu ponownie osiąga wartość równą napięciu zasilania Ud (co jest wyznacznikiem końca taktu II i rozpoczęcia taktu I następnego cyklu). Energia początkowa (rozpoczynająca takt I) zgromadzona w układzie wynosi wtedy: E=. 1 1 ⋅ C ⋅ U d2 + ⋅ L0 ⋅ i02(t1 ) 2 2. co odpowiada energii zgromadzonej w polu elektrycznym kondensatora C oraz elektromagnetycznym indukcyjności L0. Oznacza to, że ilość energii jaką gromadzi układ jest zależna od dobroci obwodu oscylacyjnego (wartości parametrów L0 i C), a także od wartości prądu i0 odbiornika, którą determinuje wartość współczynnika D (czas przewodzenia tranzystora w okresie sterowania, wyznaczający długość pierwszego taktu pracy: T1 = D·TS).. 2.3 Możliwe stany pracy falownika: praca optymalna, suboptymalna i nieoptymalna Koniec drugiego taktu determinuje stan pracy falownika. Możliwe są wtedy trzy przypadki:. 14.

(15) a) Wielkość Ud jest maksymalną wartością osiąganą przez napięcie na kondensatorze podczas przeładowania. Pochodna napięcia uC względem czasu w chwili osiągnięcia wartości Ud jest więc równa zero, co oznacza zerową wartość prądu kondensatora. Załączenie tranzystora, rozpocznie takt I następnego cyklu od przewodzenia tranzystora przy narastaniu jego prądu od zera (brak prądu diody zwrotnej). Uzyskuje się bardzo korzystne warunki załączania tranzystora (praktycznie zerowe straty mocy w tranzystorze przy jego załączaniu). Ten rodzaj pracy falownika określany jest mianem pracy optymalnej i jest opisany bardziej szczegółowo w dalszej części pracy. b) Napięcie uC na kondensatorze po przeładowaniu ponownie osiąga wartość równą napięciu zasilania Ud przy niezerowym prądzie kondensatora oraz odbiornika (czyli z pochodną różną od zera). Napięcie uC ma tendencję do dalszego narastania, ale jest to niemożliwe z uwagi na strukturę układu. Zaczyna samoczynnie przewodzić dioda wewnętrzna tranzystora przejmując prąd wzbudnika. W konsekwencji takt I następnego cyklu pracy falownika rozpoczyna się od przewodzenia diody. Prąd i0 jest ujemny i zmierza do zera; przed jego przejściem przez zero (zanikiem prądu diody) ponowne załączenie tranzystora, spowoduje przejęcie przez niego prądu i0. Taki stan pracy można określić jako suboptymalny – straty przełączania są nieco większe niż przy pracy optymalnej. W obu wymienionych przypadkach (przypadki a) i b)) - załączanie tranzystora następuje przy praktycznie zerowym napięciu na tranzystorze (ang. ZVS – Zero Voltage Switching). c) Możliwy jest jeszcze jeden przypadek pracy falownika, kiedy napięcie uC na kondensatorze podczas przeładowania nie osiąga ponownie wartości Ud. Oznacza to, że napięcie na tranzystorze nie dochodzi do zera. W momencie załączenia tranzystora, nawet w minimum tego napięcia, powstanie więc znaczny udar prądu doładowania kondensatora C ze źródła zasilania. Spowoduje to dodatkowe obciążenie prądowe tranzystora i co za tym idzie zwiększenie strat i obniżenie sprawności układu. Do tego dochodzi jeszcze dodatkowa energia strat w tranzystorze podczas jego załączania z powodu zwierania pojemności wyjściowej tranzystora przez jego rezystancję. Omawiany przypadek może mieć miejsce wtedy, gdy czas trwania taktu I jest zbyt krótki, aby w indukcyjności zgromadzić ilość energii wystarczającą do zasilenia rezystancji obwodu oraz przeładowania kondensatora. Powodem może być zbyt duże tłumienie obwodu oscylacyjnego R0L0C. Ten stan pracy, określany mianem pracy nieoptymalnej. jest niekorzystny energetycznie, falownik pracuje z tzw.. twardym załączaniem tranzystora, przy niezerowym napięciu (NZVS). Należy więc go unikać, zwłaszcza przy dużej częstotliwości przełączania tranzystora.. 15.

(16) a). b). uG. uG t. i0 I0p’’. i0'. I0p’’. i0'’. I0p’ iS. t. I0p’’ I0p’ uC Ud. t. uC’ uC’’. t. i0 i0'. i0'’ t. iS I0p’’. uC Ud. t uC’. t. uT UTmax. t. uC’’. uT UTmax. Takt I t1 T1. Takt II T2 TS. t2. t. Takt I T1 t1. Takt II T2. t2. t. TS. Rys. 2.3 Przebiegi prądów i napięć w falowniku pracujacym z przełączaniem ZVS: a) przypadek ogólny, b) praca optymalna; uG – sygnał bramkowy, i0 – prąd odbiornika, iS – prąd łącznika, uC – napięcia na kondensatorze, uT – napięcia na łączniku. Oczywiście ze względów energetycznych, którą determinuje sprawność urządzenia, korzystne jest, aby falownik pracował przy zapewnieniu przełączania łącznika przy zerowym napięciu na łączniku S. Na rysunku 2.3 rozróżniono dwa przypadki pracy falownika, z zachowaniem warunku ZVS: • Przypadek ogólny (rys. 2.3a) dotyczy sytuacji, gdy w takcie II napięcie uc osiąga wartość równą napięciu zasilania Ud przy ujemnej wartości prądu i0. Zaczyna wtedy przewodzić dioda D, co oznacza samoczynne zakończenie taktu II i rozpoczęcie taktu I następnego cyklu. W przedziale czasowym pomiędzy rozpoczęciem przewodzenia diody a dojściem prądu i0 do zera (zakreskowany obszar sygnału bramkowego uG na rys. 3a) należy załączyć tranzystor, aby przejął on prąd diody. Załączanie tranzystora następuje podczas przewodzenia diody zwrotnej, czyli przy praktycznie zerowym napięciu na nim.. 16.

(17) • Praca optymalna (rys. 2.3b) ma miejsce wtedy, gdy w takcie II napięcie uC osiąga wartość równą napięciu zasilania Ud w tej samej chwili, w której zanika prąd i0. Należy wtedy załączyć tranzystor, co zapoczątkuje takt I kolejnego cyklu.. 2.4 Praca falownika przy przełączaniu ZVS – zależności ogólne Analizę. matematyczną. przeprowadzono. dokonując. następujących. założeń. upraszczających: - wszystkie elementy są idealne oraz liniowe, - napięcie zasilania Ud jest stałe w całym cyklu pracy, - rozważa się stan ustalony. W takcie I obowiązują zależności: R. uC ( I ) = U d ;. i0 ( I ) = i S ( I ). 0 Ud  U d  − L0 t e = +  I 0p( I ) − R0  R0 . (2.1). przy czym I 0 p ( I ) oznacza wartość początkową prądu odbiornika w chwili rozpoczęcia przewodzenia łącznika (rys. 3a). Takt II rozpoczyna się z chwilą wyłączenia tranzystora T przy prądzie I 0 p ( II ) : R. I 0 p ( II ) = i0(t1 ). 0 Ud  U d  − L0 t1   = + I 0p( I ) − e R0  R0 . (2.2). Następuje przeładowanie w szeregowym obwodzie oscylacyjnym R0L0C bez udziału źródła zasilania z początkowym prądem w indukcyjności wynoszącym I 0 p ( II ) oraz początkowym napięciem na kondensatorze równym napięciu zasilania Ud. Prąd obciążenia i0 oraz napięcie uC na kondensatorze dane są zależnościami (przyjęto początek taktu II w czasie t = 0).    U  α i0( II ) = e − α 0t  I 0 p ( II ) cos ω0t +  d − 0 I 0 p ( II )  sin ω0t   ω0 L0 ω0   . (2.3).   α I 0 p ( II )   sin ω0t  uC ( II ) = e −α 0t U d cos ω0t +  0 U d − ω ω0C     0. (2.4). 17.

(18) gdzie α 0 =. R0 to współczynnik tłumienia, zaś ω0 = 2L0. 1 − α 02 jest L0C. pulsacją drgań. własnych obwodu szeregowego R0L0C. Napięcie uC na kondensatorze z uwagi na topologię układu,. może przekroczyć. wartość napięcia zasilania Ud jedynie o wartość progową napięcia przewodzenia diody zwrotnej w strukturze łącznika S lub podczas oscylacyjnego przeładowania w obwodzie. R0L0C gdy tranzystor jest wyłączony. Napięcie uT na tranzystorze w każdym takcie pracy spełnia warunek: uT = U d − uC .. (2.5). 2.5 Analiza matematyczna falownika w stanie pracy optymalnej Praca optymalna falownika ze względu na minimalizację strat przełączania występuje, jeżeli w chwili zakończenia taktu II spełnione są warunki:. uT (t 2 ) = 0 ;. i0 (t 2 ) = 0 .. (2.6). Załączanie tranzystora następuje przy zerowym napięciu (ZVS), jego zerowej pochodnej (ZDS, ZVDS) oraz zerowym prądzie (ZCS), co przedstawia rys. 3b. Natomiast wyłączanie następuje w warunkach ZVS + NZCS. Są to warunki charakterystyczne dla układów klasy E – dlatego omawiany falownik należy do tej klasy. Prąd i0 odbiornika, napięcia uC na kondensatorze C oraz napięcie uT na tranzystorze przy pracy optymalnej opisane są odpowiednio zależnościami (2.1), (2.3), (2.4) i (2.5), przy czym wartość początkowa prądu I 0 p ( I ) na początku taktu I wynosi zero. Celem uproszczenia zapisu w dalszej analizie wprowadza się zmienne: D=. T1 ; Ts. gdzie ωs = 2 πf s =. α 0n =. α0 ; ω0. ωsn =. ωs ; ω0. Q=. R0 1 1 = 1+ 2 Z0 2 α 0n. 2π oznacza pulsację przełączania tranzystora, Z 0 = Ts. (2.7). L0 jest opornością C. falową obwodu szeregowego R0L0C, zaś Q – jego dobrocią. Praca optymalna falownika wymaga spełnienia następujących zależności:. i0( II ) (t 2 ) = i0( II ) ((1 − D)Ts ) = 0. 18.

(19) uC ( II ) (t 2 ) = uC ( II ) ((1 − D)Ts ) = U d. (2.8). Wstawiając wyrażenia (2.3) i (2.4) do równości (2.8) przy uwzględnieniu zależności (2.2) i zerowej wartości prądu I 0' p uzyskuje się następujący układ równań α  − 4 πD 0 n ωsn 1 − e  . − 2 π (1− D ). e. α0n ω sn. α   2 π(1 − D )   − 4 πD 0 n ωsn  cos   + α 0n 1 + e   ωsn      .   2 π(1 − D )   sin  =0   ωsn    . α   − 4 πD 0 n 1 1    2π(1 − D )   ωsn   + α 0n − α 0n + 1− e cos     2 α 0n    ωsn   .   2π(1 − D )    sin  = 1    ω sn    . (2.9). (2.10). Równania te zawierają 3 zmienne α 0n , ωsn i D (2.7), przy czym zmienna α 0n zależy jedynie od parametrów obwodu R0L0C. Rozwiązując układ równań (2.9), (2.10) przy założeniu, że α 0n jest zmienną niezależną, można wyznaczyć wymaganą względną pulsację sterowania ωsn = ωsn_opt oraz wymagany względny czas D = Dopt załączenia tranzystora celem uzyskania pracy optymalnej.. 2.6. Zależności względnych parametrów sterowania od parametrów układu dla pracy optymalnej – obliczenia numeryczne. Zależności pomiędzy wielkościami Dopt i ωsn_opt , a α 0n uzyskane na podstawie numerycznych rozwiązań układu równań (2.9) i (2.10) przedstawiono na rys. 2.4.. Rys. 2.4 Względny czas przewodzenia tranzystora i względna częstotliwość jego przełączania dla pracy optymalnej. Rys. 2.5 Względne wartości maksymalnego napięcia na tranzystorze, maksymalnego prądu tranzystora oraz mocy falownika dla pracy optymalnej. 19.

(20) Z zależności przedstawionych graficznie na rys. 2.4 wynika, że ze wzrostem parametru α 0n (wzrost tłumienia obwodu) rośnie Dopt oraz maleje ωsn_opt . Z otrzymanych rozwiązań wynika także, że uzyskanie pracy optymalnej falownika jest możliwie jedynie przy odpowiednio małej wartości współczynnika α 0n . Jego maksymalna wartość wynosi ok. 0,1953, co oznacza, że dobroć Q (2.7) tego obwodu musi być większa od ok. 2,6085. Przy większej wartości tego współczynnika napięcie na kondensatorze w drugim takcie nie osiąga przy żadnym sterowaniu wartości równej napięciu zasilania i nie jest możliwe miękkie załączanie tranzystora. Ze wzrostem współczynnika α 0 n rosną: maksymalna wartość prądu ITmax płynącego przez tranzystor, maksymalna wartość występującego na nim napięcia UTmax oraz moc P pobierana przez falownik. Względne wartości tych wielkości (2.11) przedstawiono na rys. 2.5. Uwzględniając równość w (2.7) wszystkie wielkości podane na rysunkach 2.4 i 2.5 można przedstawić w funkcji dobroci Q obwodu szeregowego R0L0C zamiast w zależności od zmiennej α 0n . U Twmax =. U T max Ud. ;. I Twmax = I T max. Z0 Ud. ;. Pw = P. Z0 U d2. (2.11). Teoretyczne przebiegi prądów i napięć w falowniku przy pracy optymalnej dla obwodów o różnych wartościach tłumienia przedstawiono na rys. 2.6 i 2.7. Widoczny jest znaczny wzrost odkształcenia prądu odbiornika przy zwiększaniu tłumienia obwodu.. Rys. 2.6 Przebiegi dla obwodu o mniejszym tłumieniu: α 0 n = 0,0507 (Q = 9,87), Dopt = 0,1486, ωsn_opt = 0,9696. Rys. 2.7 Przebiegi dla obwodu o większym tłumieniu: α 0 n = 0,1780 (Q = 2,8531), Dopt = 0,5050, ωsn_opt = 0,6275. 20.

(21) Na rysunkach 2.8 i 2.9 przedstawiono przebiegi prądów i napięć w falowniku przy pracy optymalnej dla przykładowych obwodów o parametrach odpowiednio z rys. 2.6 i 2.7 uzyskane drogą symulacji w programie IsSpice.. Rys. 2.8 Przebiegi dla przykładowego obwodu o parametrach z rys. 2.6 przy napięciu zasilania Ud = 40 V; fs = 361 kHz. Rys. 2.9 Przebiegi dla przykładowego obwodu o parametrach z rys. 2.7 przy napięciu zasilania Ud = 40 V; fs = 222 kHz. 2.6 Właściwości regulacyjne falownika napięcia ZVS – 1S klasy E 2.6.1 Regulacja mocy wyjściowej Możliwe są trzy sposoby regulacji mocy wyjściwej w układzie falownika napięcia ZVS – 1S klasy E: I. Regulacja poprzez zmianę napięcia Ud. zasilającego falownik pracujący. optymalnie. Zwiększenie napięcia zasilającego falownik, spowoduje zwiększenie mocy wyjściowej. II. Alternatywą jest odejście od pracy optymalnej w obszar pracy suboptymalnej, przez odpowiednie zwiększenie czasu przewodzenia tranzystora (takt I-szy cyklu pracy) i okresu jego przełączania, co skutkuje zwiększeniem mocy falownika przy zachowaniu przełączania ZVS. Dobór takiego sterowania tranzystorem, aby na końcu przeładowania (koniec II-go taktu pracy), wartość napięcia kondensatora uC była odpowiednio większa niż Ud, pozwoli skompensować ubytki energii ulegającej rozproszeniu na rezystancjach obwodu oscylacyjnego podczas następującego po takcie I-szym samoczynnego przeładowania w obwodzie R0L0C i regulować moc wyjściową falownika bezpośrednio w układzie. Należy jednak pamiętać, że z punktu widzenia energetycznego, dostarczenie większej ilości energii ponad energię rozpraszaną na rezystancjach obwodu. 21.

(22) oscylacyjnego, spowoduje konieczność wydłużenia czasu załączenia tranzystora T (większe straty przewodzenia) oraz przejęcie prądu odbiornika na końcu drugiego taktu pracy przez diodę zwrotną tranzystora, co również będzie skutkowało stratami mocy na przewodzącej diodzie. Dodatkowo przejęcie prądu odbiornika przez diodę, spowoduje oscylacje w obwodzie pomiędzy indukcyjnością główną L0 i pojemnością złączową tranzystora. W układzie rzyczywistym należy jeszcze uwzględnić indukcyjności pasożytnicze, które zwiększą oscylacje i tym samym jeszcze pogorszą sprawność układu. Wydaje się zatem, że układ mógłby pracować na granicy pracy suboptymalnej, w której pojawienie się minimalnego prądu diody zwrotnej może być informacją dla układu sterowania, że proces przeładowania pojemności C zakończył się i wartość energii zgromadzona w układzie zapewni załączenie tranzystora T w warunkach ZVS. Natomiast realizacja regulacji mocy za pomocą wejścia w stan pracy suboptymalnej może okazać się nieoptymalna ze względu na sprawność układu. III. Istnieje potencjalna możliwość regulacji mocy wyjściowej falownika poprzez dopuszczenie do większej ilości swobodnych przeładowań w obwodzie drgającym R0L0C (zwłaszcza przy małym tłumieniu obwodu). Taki sposób regulacji pozwala wyłącznie na obniżenie mocy wyjściowej urządzenia. Wymaga on wydłużenia czasu przewodzenia łącznika w II-gim takcie pracy oraz użycia tranzystora bez wewnętrznej diody zwrotnej. W omawianym przypadku możliwa jest także praca optymalna – załączanie tranzystora przy zerowych wartościach napięcia i jego pochodnej na tranzystorze. Napięcie uC osiąga przy wcześniejszej oscylacji (lub wcześniejszych oscylacjach) wartości większe od Ud – dlatego wymienionym warunkiem takiej pracy jest brak diody zwrotnej. Próba takiego sposobu regulacji w układzie z użyciem łącznika z wewnetrzną diodą zwrotną, spowoduje, że napięcie osiągane przez uC nie będzie większe od Ud i wskutek jakiejkolwiek istniejącej wartości tłumienia w obwodzie R0L0C, ponowne rozpoczęcie I taktu pracy wiazałoby się z załączaniem tranzystora przy niezerowym napięciu (NZVS) i znacznym udarem prądu iT, niekorzystnym dla tranzystora i obniżającym sprawność układu (praca nieoptymalna). 2.6.2. Regulacja częstotliwości. Ze względu na charakter układu (falownik rezonansowy) oraz duże wartości prądów w obwodzie wyjściowym R0L0C, nieuzasadniona lub przypadkowa zmiana częstotliwości. 23.

(23) sterującej układem: ω s = ω 0 1 − 2α 0. 2. w stosunku do częstotliwości własnej obwodu,. spowoduje odejście od warunków pracy optymalnej i znaczny wzrost strat w układzie, czyli obniżenie sprawności urządzenia. Dlatego w przypadku potrzeby zmiany częstotliwości pracy układu, wynikającej z potrzeb technologicznych, należy zmienić wartość pojemności C.. 24.

(24) Rozdział 3 Obliczenia parametrów falownika 3.1 Prezentacja wzbudnika Wykonany wzbudnik nagrzewnicy indukcyjnej przedstawiono na rys. 3.1. Obliczenia zostały prowadzone pod kątem wyznaczenia parametrów schematu zastępczego tego układu do celów analizy matematycznej, symulacyjnej, doboru optymalnego pod względem częstotliwości prądu odbiornika i0(t) oraz skonstruowania optymalnego modelu pod względem możliwości regulacyjnych, sprawności procesu nagrzewania, kompaktowości urządzenia i jego dalszych możliwości aplikacyjnych, kosztów wykonania oraz możliwości rozbudowy w kierunku integracji z systemem lub systemami nadrzędnymi.. 6 cm. 1 cm Rys. 3.1. Widok ogólny wzbudnika nagrzewnicy indukcyjnej wraz ze wsadem stalowym. 3.2 Pomiary elektryczne wzbudnika W celu oszacowania rezystancji samego wzbudnika wykonano serię pomiarów miernikiem firmy Megger: Digital Low Resistance Meter DLRO 10. Wartość średniej arytmetycznej serii 10 pomiarów rezystancji przy wymuszeniu prądowym: 10A DC (z metalowym wsadem i bez wsadu otrzymano taki sam wynik) wyniosła: 890,7 µΩ. Jest to. 25.

(25) wielkość oporu elektrycznego materiału wzbudnika (miedź) i styków pomiędzy samym wzbudnikiem, a końcówkami montażowymi dla prądu stałego. Rezystancja wzbudnika podczas pracy falownika z wielką częstotliwością i obciążonego nagrzewanym wsadem, jest dużo większa, m.in. ze względu na impedancję wnoszoną przez wsad i szczelinę powietrzną pomiędzy wzbudnikiem, a wsadem oraz zjawisko naskórkowoci – przytoczony pomiar wykonano w celu porównania z rezystancją dla wielkiej częstotliwości i zademonstrowania wpływu częstotliwości na parametry układu. Dla wstępnego oszacowania indukcyjności wzbudnika L0 (w stanie jałowym, bez wsadu) zmierzono również wartość indukcyjności miernikiem MIC-40700 LCR Meter. Otrzymano wartość: 0,45 µH.. 3.3 Definicja parametrów wejściowych i wyjściowych falownika oraz założenia upraszczające Przyjęto następujące parametry projektowanego falownika: 1. Częstotliwość pracy falownika (minimalna) – fs = 200 kHz 2. Nominalne napięcie zasilania falownika – Ud = 30 ÷ 60 V W celu optymalizacji pracy układu falownika przyjęto założenia upraszczające [2], [5]: - sinusoidalny prąd obciążenia – co się wiąże z założeniem dużej dobroci układu, - elementy bierne obwodu są idealne, - obciążeniem falownika jest odbiornik R0L0, - pojemność wyjściowa tranzystora MOSFET jest zwarta podczas przewodzenia tranzystora.. 3.4 Założenia dotyczące mocy wyjściowej falownika Jako obciążenie analizowanego układu falownika przyjęto końcówkę grzejną w postaci wzbudnika z nagrzewanym wsadem. Wsad stanowi stalowy pręt w kształcie walca o wymiarach: - długość całkowita wsadu l2 = 13 cm, - średnica Ø: 10 mm. Przyjęcie takiego wymiaru wsadu (długość l2 wsadu znacznie większa od długości całkowitej l1 wzbudnika) niesie ze sobą dodatkową trudność obliczeniową, ponieważ generacja ciepła nastąpi głównie na długości wsadu wewnątrz wzbudnika (wskutek koncentracji indukowanych prądów bezpośrednio pod wzbudnikiem).. 26.

(26) W rozważaniach teoretycznych przyjmuje się, że natężenie pola magnetycznego wewnątrz nieskończenie długiego wzbudnika ma wartość stałą (skończoną długość koryguje się za pomocą tzw. współczynnika Nagaoki, mniejszego od jedności), natomiast na zewnątrz jest równe zeru [28]. Jest to przypadek tzw. nagrzewania miejscowego, w którym długość wsadu jest znacznie większa od długości wzbudnika. Dopuszczalne jest wtedy przyjęcie do obliczeń równości długości wsadu i długości całkowitej wzbudnika: l2 = l1 [28]. W związku z tym część wystająca poza wzbudnik została uwzględniona przy obliczaniu ilości ciepła koniecznego do rozgrzania wsadu o zadany gradient temperatury (uwzględniono bardzo dobrą przewodność cieplną stali), co wydłuży czas nagrzewania wsadu lub będzie wymagało dostarczenia odpowiednio większej mocy użytkowej dla zachowania szybkości nagrzewania. Przyjęto również, jako cel, rozgrzanie środkowej części wsadu na długości 6 cm do temperatury 850 ºC, kiedy to stal żarzy się w kolorze pełnym czerwonym [29], w czasie 2 minut. Ilość ciepła potrzebna do podniesienia temperatury wsadu od temperatury pokojowej, tzn. od 20 ºC do temperatury 850 ºC: Q = m ⋅ c w ⋅ (t k − t p ) gdzie: m – masa wsadu, cw - ciepło właściwe stali = 460 [J/(kg⋅K)], tk - temperatura końcowa wsadu, tp - temperatura początkowa wsadu. Gęstość stali ≈ 7,86 g/cm3 [30], objętość walca dla przyjętych wymiarów: 10,21 cm3. Wobec tego, masa wsadu wynosi: 80,25 g. Zatem: Q = 80,25 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,46 ⋅ (850 − 20) = 30,64 kJ Oznacza to, że wyjściowa moc użyteczna falownika (moc po uwzględnieniu strat w obwodzie siłowym układu, na rezystancji wzbudnika oraz strat związanych ze sprzężeniem wzbudnika ze wsadem) powinna więc wynosić:. PUŻ =. Q 30640 = = 255,33 W t 120. 27.

(27) 3.5 Wyznaczanie parametrów schematu zastępczego układu wzbudnik – wsad dla zbudowanej końcówki grzejnej i przyjętego wsadu Indukcyjny układ grzejny składający się ze wzbudnika i wsadu, jest odbiornikiem energii elektrycznej, a tym samym może być rozpatrywany jako szeregowe połączenie rezystancji R0 i reaktancji X0 (rys. 3.2). Do prowadzenia dalszych analiz i symulacji komputerowych,. obliczono. kilkoma. metodami. wartości. zastępczych. parametrów. elektrycznych Rz i reaktancji Xz, które mogą reprezentować wykonaną końcówkę grzejną (wzbudnik ze wsadem).. Rys. 3.2. Szeregowy schemat zastępczy indukcyjnego układu wzbudnik-wsad. Wyznaczono parametry elektryczne schematu zastępczego indukcyjnego układu wzbudnik-wsad, którego wzbudnik cylindryczny ma wymiary (symbole z dolnym indeksem 1 dotyczą wzbudnika): •. długość całkowita wzbudnika l1= 6 cm,. •. liczba zwojów w1 =10,. •. średnica zewnętrzna rurki, z której wykonano wzbudnik drz = 5 mm,. •. grubość ścianki rurki gr = 1 mm,. •. średnica wewnętrzna wzbudnika d1w = 13 mm.. Pozostałe parametry układu nagrzewnicy to: •. częstotliwość prądu zasilającego f = 470 kHz,. •. temperatura otoczenia (stan początkowy) υ =20 °C,. •. konduktywność miedzi σ = 56⋅106 S/m.. Obliczenia parametrów schematu zastępczego indukcyjnego układu grzejnego przeprowadzono najpierw dla wzbudnika w stanie jałowym, tzn. nieobciążonego wsadem (rezystancja wzbudnika R1 oraz reaktancje X10w), a następnie uwzględniono elementy impedancji wnoszone do układu przez wsad (rezystancja odpowiadająca mocy czynnej wydzielanej we wsadzie Rw i reaktancja odpowiadająca mocy biernej pobieranej przez wsad Xw) oraz reaktancję rozproszenia układu wzbudnik – wsad: X∆. Jest to tzw. metoda oporów wniesionych [28].. 28.

(28) Tablica 3.1 zawiera dane dotyczące stanu jałowego. R1 oznacza rezystancję uzwojenia wzbudnika, X10w – reaktancję wewnętrzną wzbudnika, związaną ze strumieniem magnetycznym przenikającym wzbudnik, zaś X∆0 – reaktancję zewnętrzną wzbudnika, związaną ze strumieniem magnetycznym przenikającym przestrzeń wewnątrz wzbudnika. Rz i Xz to odpowiednio rezystancja i reaktancja zastępcza wzbudnika zgodnie z rys. 3.2., Z0 jest impedancją wzbudnika, zaś L0 – jego indukcyjnością. Istotne znacznie w nagrzewaniu indukcyjnym ma głębokość wnikania pola elektromagnetycznego do wzbudnika (wsadu) dana zależnością:. δ=. 2 ω µ 0 µ rσ. Głębokość wnikania pola elektromagnetycznego do miedzi przy zakładanej częstotliwości f = 470 kHz prądu zasilającego (podana w paragrafie 3.3 minimalna częstotliwość pracy falownika f = 200 kHz jest założeniem konstrukcyjnym dla wykonanego wzbudnika i oznacza, że będzie pracował z częstotliwością 200 kHz lub wyższą) , wynosi: δ1= 0,098 mm. Wyrażenia opisujące wymienione wielkości zawierają pewne współczynniki, również zamieszczone w tabeli. Fr i Fx to tzw. współczynniki kształtu, zaś kN – to współczynnik d1w [28], a wprowadzany jest do wzoru na reaktancję l1. Nagaoki, będący funkcją stosunku. zewnętrzną, związaną ze strumieniem magnetycznym, przenikającym przestrzeń wewnątrz wzbudnika z uwagi na skończoną długość czynną wzbudnika. Współczynniki kształtu odczytane dla stosunku: gr. δ1. =. 0,001 = 10,204 0,000098. odczytano z tabeli w [32]: Fr = 1 i Fx = 1. Rezystancja wzbudnika zależy także od współczynika wypełnienia uzwojenia kw: kw =. w1 ⋅ d rz 10 ⋅ 0,005 = = 0,83 l1 0,06. Wszystkie zależności oraz wartości współczynników zamieszczone w Tab. T1 ÷ Tab. T5 podano na podstawie [28]. Zależności prowadzące do wyliczania parametrów schematu zastępczego zostały wyprowadzone i podane w literaturze dla l1 >> d1w. Dotyczy to przede wszystkim reaktancji wzbudnika. W praktyce warunek l1 > 10 d1w [31], uznaje się za wystarczający, gdyż przy jego spenieniu wpływ zjawisk brzegowych jest znikomy. W przypadku założonego. 29.

(29) wzbudnika warunek ten nie jest spełniony: l1 ≅ 5 d1w, co może stanowić źródło nieznacznego błędu w szacowaniu jego parametrów. Dla przyjętego wzbudnika stosunek wynosi. d1w = 0,217 , co odpowiada kN = 0,9138 l1. [28, tabela IX]. Parametry wzbudnika w stanie jałowym wyznacza się ze wzorów [28]: R1 = w12. 2πr1w 2π ⋅ 0,0065 Fr = 10 2 ⋅ ⋅ 1 = 14,95 ⋅ 10 −3 Ω 6 σ 1δ 1l1k w 56 ⋅ 10 ⋅ 0,000098 ⋅ 0,06 ⋅ 0,83. X 10 w = w12 X ∆0 = w. 2 1. ϖµ 0πr12w l1. 2πr1w 2π ⋅ 0,0065 Fx = 10 2 ⋅ ⋅1 = 12,40 ⋅10 −3 Ω 6 σ 1δ 1l1 56 ⋅10 ⋅ 0,000098 ⋅ 0,06. 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅10 −7 ⋅ π ⋅ (0,0065 2 ) ⋅ k N = 10 ⋅ ⋅ 0,9139 = 750,20 ⋅ 10 −3 Ω 0,06 2. Tabela 3.1. Wyniki obliczeń dla stanu jałowego. Parametr R1 = Rz X1w = X10w. Zależność w12. Wartość, mΩ Ω. π d1w Fr σ 1δ 1l1k w. 14,9. π d1w Fx σ 1δ 1l1. 12,4. w12. X∆0. π d12w w ω µ0 k N1 4l1. 750,2. Xz. X10w + X∆0. 762,6. Z0. R z2 + X z2. 762,7. 2 1. L0. Xz 2 πf. 0,258 µH. Schemat zastępczy indukcyjnego układu grzejnego w stanie obciążenia dla metody oporów wniesionych przedstawia rysunek 3.3, zaś w Tab. 3.2 zawarto wyniki obliczeń. wykonanych tą metodą. Przyjęto, że wsadem jest stalowy walec o średnicy d2 = 10 mm i długości l2 = 130 mm (symbole z dolnym indeksem 2 lub w dotyczą wsadu). Parametry układu wyznaczono dla dwu różnych temperatur:. 30.

(30) 20°C, w której przewodność wsadu σ 2 = 5 ⋅ 10 6 magnetyczna µ 2 r = 16 , 800°C, w której przewodność wsadu σ 2 = 10 6 magnetyczna µ 2r = 1 .. S i jego względna przenikalność m. S i jego względna przenikalność m. Rys. 3.3. Szeregowy schemat zastępczy indukcyjnego układu wzbudnik-wsad dla metody oporów wniesionych. Głębokość wnikania pola elektromagnetycznego do stalowego wsadu wynosi zatem: - przy 20°C: δ2 =. 2. ωµ 0 µ 2 rσ 2. =. 2 = 0,000082m = 0,082mm 2π ⋅ 470000 ⋅ 16 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 5 ⋅ 10 6. =. 2 = 0,00073m = 0,73mm 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 1 ⋅ 10 6. - przy 800°C: δ2 =. 2. ωµ 0 µ 2 rσ 2. Z uwagi na zmianę wartości parametrów elektrycznych wsadu ze zmianą temperatury, zależą od niej także m. in. współczynniki kształtu wsadu cylindrycznego Kr2 i Kx2 oraz parametry schematu zastępczego. Zatem, współczynniki kształtu wsadu cylindrycznego Kr2 i. Kx2, zależne od parametru χ 2 = r2 - przy 20°C i dla χ 2 = r2. 2. δ2 2. δ2. , odczytano z tablicy w [32]:. = 0,005. 2 = 86,23 0,000082. po aproksymacji: Kr2= 1, Kx2= 1 - przy 800°C i dla χ 2 = r2. 2. δ2. = 0,005. 2 = 9,69 0,00073. po aproksymacji: Kr2= 0,9257; Kx2= 1,0015. Pozostałe parametry schematu zastępczego nagrzewnicy w stanie obciążenia oblicza się ze wzorów [28]:. 31.

(31) - przy 20°C.  r2  r2 X ∆ = w12ϖµ 0π  1w k N 1 − 2 Fx 2  = l2  l1  2  0,0065  0,005 2 = 10 2 ⋅ 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅10 −7 ⋅ π ⋅  ⋅ 0,9138 − ⋅ 0,88  = 547,11 ⋅10 −3 Ω 0,13  0,06  Rw = w12. 2πr2 2π ⋅ 0,005 K r 2 = 10 2 ⋅ ⋅1 = 58,89 ⋅10 −3 Ω 6 σ 2δ 2 l 2 5 ⋅ 10 ⋅ 0,000082 ⋅ 0,13. (3.1). X w = w12. 2πr2 2π ⋅ 0,005 K x 2 = 10 2 ⋅ ⋅ 1 = 58,89 ⋅10 −3 Ω 6 σ 2δ 2 l 2 5 ⋅10 ⋅ 0,000082 ⋅ 0,13. (3.2). - przy 800°C. X ∆ = 547,11 ⋅ 10 −3 Ω Rw = w12. 2πr2 2π ⋅ 0,005 K r 2 = 10 2 ⋅ ⋅ 0,9257 = 30,65 ⋅ 10 −3 Ω 6 σ 2δ 2 l 2 1 ⋅ 10 ⋅ 0,00073 ⋅ 0,13. (3.3). X w = w12. 2πr2 2π ⋅ 0,005 K x 2 = 10 2 ⋅ ⋅ 1,0015 = 33,14 ⋅ 10 −3 Ω 6 σ 2δ 2 l 2 1 ⋅10 ⋅ 0,00073 ⋅ 0,13. (3.4). Ostatecznie dla temperatury 20°C, wartości rezystancji i reaktacji schematu zastępczego układu wzbudnik – wsad wynoszą:. Rz= R1+Rw =14,95·10-3+58,89·10-3 = 73,84·10-3 Ω Xz= X1w+X∆+ Xw =12,40·10-3+ 547,11·10-3+58,89·10-3 = 618,40·10-3 Ω a dla temperatury 800°C:. Rz = 14,95·10-3+ 30,65·10-3 = 45,60·10-3 Ω Xz = X1w+X∆+ Xw =12,40·10-3+ 547,11·10-3+33,14·10-3 = 592,65·10-3 Ω W stosunku do stanu jałowego rezystancja zastępcza układu w stanie obciążenia znacznie się zwiększyła, co jest związane z tłumieniem jaki wnosi do układu wsad. Reaktancja zastępcza układu zmniejszyła się, co jest spowodowane zmniejszeniem strumienia magnetycznego wzbudnika na skutek oddziaływania wsadu. Z wartości reaktancji układu (3.2) i (3.4) wyliczono wartość jego indukcyjności: dla 20°C: stąd: i odpowiednio dla 800°C:. XL. 20° C. = ω ⋅ L20°C. L20°C =. 618,40 ⋅ 10 −3 = 0,21 µH 2π ⋅ 470000. L800°C =. 592,65 ⋅10 −3 = 0,2 µH 2π ⋅ 470000. 32.

(32) Tabela 3.2. Wyniki obliczeń metodą oporów wniesionych. Wartość, mΩ Ω Parametr. Zależność. R1. (Tabl. 3.1). 14,9. X1w. (Tabl. 3.1). 12,4. X∆.  r2  r2 w12ω µ 0 π 1w k N 1 − 2 Fx 2  l2  l1 . 547,11. t2 = 20°°C. t2 = 800°°C. Rw. w12. 2πr2 Fr 2 K r 2 σ 2δ 2 l 2. 58,9. 30,65. Xw. w12. 2πr2 Fx 2 K x 2 σ 2δ 2 l 2. 58,9. 33,14. Rz. R1+Rw. 73,8. 45,6. Xz. X1w+X∆+ Xw. 618,4. 592,65. Z0. R z2 + X z2. 628,5. 600,0. 0,21 µH. 0,20 µH. Xz 2 πf. L0. W celu weryfikacji otrzymanych wyników zastosowano następnie metodę oporów magnetycznych [28]. Podstawą do budowy schematu zastępczego jest analiza rozpływu. strumieni magnetycznych w układzie wzbudnik – wsad. Dla uproszczenia wprowadza się kilka założeń : wszystkie zwoje wzbudnika obejmuje ten sam strumień główny Φ, wewnątrz wzbudnika wszystkie linie pola są równoległe do osi układu, pole zewnętrzne (linie zamykajace się poza wzbudnikiem), jest takie samo jak dla wzbudnika w stanie jałowym. Schemat zastępczy indukcyjnego układu grzejnego dla tej metody przedstawiono na rys. 3.4, zaś wyniki obliczeń w Tab. 3.3. Nie podano w niej wartości współczynników, gdyż są one takie same jak w Tab. 3.2.. 33.

(33) Rys. 3.4. Schemat zastępczy dla metody oporów magnetycznych. Rezystancję oraz reaktancję wewnętrzną wzbudnika reprezentują wielkości R1 i X1w: R1 = w12. 2πr1w 2π ⋅ 0,0065 Fr = 10 2 ⋅ ⋅ 1 = 14,95 ⋅ 10 −3 Ω 6 σ 1δ 1l1k w 56 ⋅ 10 ⋅ 0,000098 ⋅ 0,06 ⋅ 0,83. X 1w = w12. 2πr1w 2π ⋅ 0,0065 Fx = 10 2 ⋅ ⋅ 0,9998 = 12,40 ⋅ 10 −3 Ω 6 σ 1δ 1l1k w 56 ⋅ 10 ⋅ 0,000098 ⋅ 0,06. Wielkości X∆ i X2 reprezentują reluktancje związanie odpowiednio ze strumieniem rozproszenia Φ∆ przenikającym szczelinę powietrzną pomiedzy wsadem a wzbudnikiem oraz strumieniem Φ2 przenikającym wsad. Rezystancja R2 to rezystancja wnoszona przez wsad, zaś reaktancja X0 jest związana z głównym strumieniem magnetycznym Φ. Przy l2 ≥ l1 nie ma wewnątrz wzbudnika żadnego odcinka, przez który cały strumień główny mógłby przenikać poza wsadem (na całej długości wzbudnika jego część przenika przez wsad). Uzasadnia to wstawienie do zależności określającej X0 wartości l2 = l1 = 0,06 m – wstawienie l2 = 0,13 m nie miałoby sensu fizycznego. Zatem: X ∆ = w12. ϖµ 0π (d12w − d 22 ) 2(l1 + l 2 ). = 10 2 ⋅. 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅10 −7 ⋅ π ⋅ (0,013 2 − 0,012 ) = 211,37 ⋅10 −3 Ω 2 ⋅ (0,06 + 0,13). - przy 20°C 2.  l  2πr2 2π ⋅ 0,005  0,13  X 2 = w  2  K x 2 = 10 2 ⋅  ⋅1 = 276,53 ⋅ 10 −3 Ω  ⋅ 6  0,06  5 ⋅ 10 ⋅ 0,000082 ⋅ 0,13  l1  σ 2δ 2 l 2 2. 2 1. - przy 800°C 2.  l  2πr2 2π ⋅ 0,005  0,13  X 2 = w  2  K x 2 = 10 2 ⋅  ⋅ 1,0015 = 154,8 ⋅ 10 −3 Ω  ⋅ 6  0,06  1 ⋅10 ⋅ 0,00073 ⋅ 0,13  l1  σ 2δ 2 l 2 2. 2 1. Rezystancja R2 wnoszona przez wsad: - przy 20°C 2.  l  2πr2 2π ⋅ 0,005  0,13  R2 = w  2  K r 2 = 10 2 ⋅  ⋅ 1 = 276,53 ⋅10 −3 Ω  ⋅ 6  0,06  5 ⋅10 ⋅ 0,000082 ⋅ 0,13  l1  σ 2δ 2 l 2 2. 2 1. - przy 800°C. 34.

(34) 2.  l  2πr2 2π ⋅ 0,005  0,13  R2 = w  2  K r 2 = 10 2 ⋅  ⋅ 0,9257 = 143,1 ⋅ 10 −3 Ω  ⋅ 6  0,06  1 ⋅10 ⋅ 0,00073 ⋅ 0,13  l1  σ 2δ 2 l 2 2. 2 1. Reaktancja X0, związana z głównym strumieniem magnetycznym Φ: X 0 = w12ωµ 0. πr1w 2 (l1 − k N 1l 2 ). k N 1 = 10 2 ⋅. 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅10 −7 ⋅ π ⋅ (0,0065) 2 ⋅ 0,9138 = 8,703Ω (0,06 − 0,9138 ⋅ 0,06). Ponieważ w praktyce wygodniej jest się posługiwać zredukowanym schematem zastępczym układu, w którym sprowadzono wszystkie wielkości do szeregowo połączonej rezystancji zastępczej Rz i reaktancji Xz, więc:. Rz = R1 + R2 ' X z = X 1w + X 2 ' przy czym:. R2 ' = p12 R2  ( X + X 2 ) 2 + R22  X 2 ' = p12  X ∆ + X 2 + ∆  X0   gdzie p12: - przy 20°C. p12 =. 1 2. 2. =. 2. =.  R2   X + X2    + 1 + ∆  X 0   X0  . 1 2.  276,53 ⋅ 10 −3   211,37 ⋅ 10 −3 + 276,53 ⋅ 10 −3    + 1 +  5,14 5,14    . 2. = 0,90. - przy 800°C p12 =. 1 2.  R2   X ∆ + X 2    + 1 +  X 0   X0  . 1  143,79 ⋅ 10  5,14 . −3. 2.   211,37 ⋅10 −3 + 155,6 ⋅ 10 −3   + 1 +  5,14   . 2. = 0,92. Ostatecznie więc: - przy 20°C R z = 262,7 ⋅ 10 −3 Ω X z = 482,5 ⋅ 10 −3 Ω - przy 800°C Rz = 146,6 ⋅10 −3 Ω X z = 366,2 ⋅10 −3 Ω Co przy przyjętej częstotliwości prądu wzbudnika odpowiada indukcyjności:. 35.

(35) - przy 20°C L20°C. 469,24 ⋅10 −3 = = 0,163µH 2π ⋅ 470000. - przy 800°C L800°C =. 357,96 ⋅10 −3 = 0,124 µH 2π ⋅ 470000. Tabela 3.3. Wyniki obliczeń metodą oporów magnetycznych. Wartość, mΩ Ω. Paramet r. Zależność. R1. (Tab. 3.1). 14,95. X1w. (Tab. 3.1). 12,40. t2 = 20°°C. ϖµ 0π (d12w − d 22 ). X∆. w12. R2.  l  2πr2 w  2  Kr2  l1  σ 2δ 2 l 2. X2.  l  2πr2 w  2  K x2  l1  σ 2δ 2l 2. X0. w12ωµ 0. t2 = 800°°C. 211,37. 2(l1 + l 2 ) 2. 2 1. 276,5. 143,1. 276,5. 154,8. 2. 2 1. πr1w 2 (l1 − k N 1l 2 ). k N1. 8703. 1 2. p12.  R2   X ∆ + X 2    + 1 +  X 0   X0  . Rz. 2. 0,90. 0,92. R1 + p12 R2. 262,7. 146,6. Xz.  ( X + X 2 ) 2 + R22  X 1w + p12  X ∆ + X 2 + ∆  X0  . 482,5. 366,2. Z0. R z2 + X z2. 549,4. 394,5. 0,163 µH. 0,124 µH. L0. Xz 2 πf. 36.

(36) Ponieważ obliczenia dotyczące prarametrów schematu zastępczego znacznie się różnią w przypadku dwóch użytych metod (zwłaszcza wartość rezystancji zastępczej układu), do dalszej weryfikacji zastosowano trzecią metodę transformatora powietrznego [28]. W metodzie tej wsad zastępowany jest zwojem zwartym o wysokości równej rzeczywistej wysokości wsadu, o grubości równej głębokości wnikania pola elektromagnetycznego do wsadu: gz = δ2 i średnicy równej: dz2 = d2 – δ2. Średnica zastępcza wsadu wynika z przyjętego założenia stosowalności metody, gdy spełniony jest warunek: d2 >> δ2. Uzwojenia wzbudnika oraz zwój zwarty tworzą wówczas transformator powietrzny w stanie zwarcia, przy czym liczba zwojów uzwojenia wtórnego wynosi: w2 = 1. Schematy zastępcze układu grzejnego wzbudnik-wsad dla metody transformatora powietrznego przedstawiono na rys. 3.5, zestawienie zależności i wyniki obliczeń podano w Tab. 3.4, zaś zastosowane wartości współczynników – w Tab. 3.5.. Rys. 3.5. Schematy zastępcze układu grzejnego wzbudnik-wsad dla metody transformatora powietrznego. Rezystancję oraz reaktancję wewnętrzną wzbudnika reprezentują wielkości R1 i X1: R1 = w12. π ( d1w + δ 1 ) π ⋅ (0,013 + 0,000098) = 10 2 ⋅ = 15,05 ⋅10 −3 Ω σ 1δ 1l1k w 56 ⋅ 10 6 ⋅ 0,000098 ⋅ 0,06 ⋅ 0,83 X1 = w. 2 1. ωµ 0π (d1w + δ 1 ) 2 4l1. k N1 =. 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅10 −7 ⋅ π ⋅ (0,013 + 0.000098) 2 = 10 ⋅ ⋅ 0,9138 = 760,37 ⋅10 −3 Ω 4 ⋅ 0,06 2. Wsad reprezentują wartości wnoszonej rezystancji R2 i reaktancji X2: - przy 20°C R2 = X2 =. 2πr2 2π ⋅ 0,005 K r 2Yd2 = ⋅ 1 ⋅1,00014 2 = 0,589 ⋅10 −3 Ω 6 σ 2δ 2 l 2 5 ⋅10 ⋅ 0,000082 ⋅ 0,13. ωµ 0π (d 2 K d ) 2 4l 2. kN2 =. 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ π ⋅ (0,01 ⋅ 0,9919) 2 ⋅ 0,968 = 2,132 ⋅ 10 −3 Ω 4 ⋅ 0,13. 37.

(37) podczas gdy współczynniki Kd, Yd, Kr2, kN2, korygujące średnice zastępcze współosiowych walców w przyjętym modelu metody transformatora powietrznego [33,34] wynoszą odpowiednio: K d = Yd 1 −. 2. χ2. ⋅ K x 2 = 1,00014 1 −. 2 ⋅ 1 = 0,9919 86,23. 2. 2.     2 2   ⋅ Kr2  ⋅1   χ2   86,23  Yd = 1 +  = 1+    = 1,00014 2 2 1−  1 − ⋅ K x 2  ⋅ 1   χ2  86,23    gdzie:. K r 2 = f (χ 2 ) , K x 2 = f (χ 2 ) – współczynniki kształtu wsadu (tabl.V w [28]). - przy 800°C R2 = X2 =. 2πr2 2π ⋅ 0,005 K r 2Yd2 = ⋅ 0,9257 ⋅ 1,0124 2 = 0,31 ⋅ 10 −3 Ω 6 σ 2δ 2 l 2 1 ⋅10 ⋅ 0,00073 ⋅ 0,13. ωµ 0π (d 2 K d ) 2. kN2 =. 4l 2. 2π ⋅ 470000 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ π ⋅ (0,01 ⋅ 0,9357) 2 ⋅ 0,968 = 1,9 ⋅ 10 −3 Ω 4 ⋅ 0,13. gdzie: K d = Yd 1 −. 2. χ2. ⋅ K x 2 = 1,0124 1 −. 2 ⋅ 1,0015 = 0,9357 9.69. 2. 2.     2 2   ⋅ Kr2  ⋅ 0,9257   χ2   9,69  Yd = 1 +  = 1+    = 1,0124 2 2 1−  1 − ⋅ K x 2  ⋅ 1,0015   χ 9 , 69    2  Współczynnik transformacji p12: - przy 20°C 2. 2. w2  k  100  0,966  p 12 = 12  m  = ⋅  = 99,56 2 Yd  k N 2  1,00014  0,968  2. - przy 800°C 2. 2. w2  k  100  0,966  ⋅ p 12 = 12  m  =  = 97,16 Yd  k N 2  1,0124 2  0,968  2. Współczynnik km dobrano z tabeli X w [28]:. 38.

(38) k m = 0,966 Ostatecznie wartości szeregowo połączonej rezystancji zastępczej Rz i reaktancji zastępczej Xz schematu zastępczego wzbudnik – wsad obliczonego metodą transformatora powietrznego wynoszą: Rz = R1 + p122 ⋅ R2 2 X z = X 1 − p12 ⋅ X2. czyli: - przy 20°C Rz = 73,7 ⋅ 10 −3 Ω X z = 548,1 ⋅10 −3 Ω - przy 800°C Rz = 45,55 ⋅10 −3 Ω X z = 575,8 ⋅10 −3 Ω Dla przyjętej częstotliwości prądu wzbudnika w temperaturze 20°C, odpowiada to indukcyjności: L20°C =. 549 ⋅ 10 −3 = 0,186 µH 2π ⋅ 470000. i odpowiednio dla 800°C:. L800°C =. 577,2 ⋅ 10 −3 = 0,195µH 2π ⋅ 470000. 39.

(39) Tabela 3.4. Wyniki obliczeń metodą transformatora powietrznego. Wartość, mΩ Ω Parametr. Zależność. w12. R1. π ( d 1w + δ 1 ) σ 1δ1l1k w. X1. π ( d1w + δ 1 ) 2 w ω µ0 k N1 4l1. R2. πd 2 K r 2Yd2 σ 2δ 2l 2. X2. t2 = 20°°C. 15,05. 2 1. ω µ0. π(d 2 K d ) 2 kN 2 4l 2. t2 = 800°°C. 760,4. 589. 310. 2,132. 1,9. 99,56. 97,16. 2. p. w12  k m    Yd2  k N 2 . Rz. Rz = R1 + p122 ⋅ R2. 73,7. 45,45. Xz. 2 X z = X 1 − p12 ⋅ X2. 548,1. 575,8. 553,03. 577,59. 0,186 µH. 0,195 µH. 2 12. Z0 L0. R z2 + X z2 Xz 2 πf. 40.

(40) Tabela 3.5. Zestawienie wykorzystywanych współczynników. Użyty w:. Wartości Współczynnik. Kr2. t2 = 20°°C. t2 = 800°°C. g  Fr = f  r   δ1 . δ1= 0,098 mm;. g  Fx = f  r   δ1 . j.w.;. gr. δ1. = 10,2 ;. Fr = 1. Tab. T1. Fx = 1. d  k N1 = f  1w   l1 . d1w = 0,217 ; l1. kN1 = 0,9138. d  k N2 = f  2   l2 . d z2 = 0,0763 ; l2. kN2 = 0,968. j.w.;. Kx2 = 1. d l  Fr 2 = f  1w , 2   d2 d2 . d1w = 1,3 ; d2. d l  Fx 2 = f  1w , 2   d2 d2 . j.w.;. d d l  k m = f  z1 , z 2 , 1   l1 l 2 l 2 . K d = Yd 1 −. 2. χ2. ⋅ K x2. Tab. T1 - Tab.T4. Tab.T4. Tab.T2 - Tab.T4. χ 2 = 9,69 ;. χ 2 = 86,2 ; Kr2 = 1.  r  K x 2 = f  χ 2 = 2 2  δ2  .       . δ 2 = 0,73mm. δ 2 = 0,082mm.  r  = f  χ 2 = 2 2  δ2  .  2  ⋅ K r2  χ2 Yd = 1 +  1 − 2 ⋅ K x2  χ2 . Tab. T1. Kr2 = 0,9257 j.w.; Kx2 = 1,0015. l2 = 13 ; d2. Fr 2 = 0,94. Fx 2 = 0,96. przyjęto dla l1 = l2: k m = 0,966. Tab.T2 - Tab.T4 Tab.T2. Tab.T2. Tab.T4. 2. Yd = 1,00014. Yd = 1,0124. Tab.T4. Kd = 0,9919. Kd = 0,9357. Tab.T4. Obliczenie parametrów wykonanego wzbudnika na podstawie jego gabarytów zewnętrznych nie jest proste, a otrzymane wyniki w zależności od użytej metody bardzo się. 41.

(41) od siebie różnią. Konieczne jest jednak wstępne przyjęcie wartości wyjściowych takiej konstrukcji w celu symulacji układu zmierzającej do weryfikacji jego warunków pracy i wypracowania metod, które pozwolą optymalnie sterować urządzeniem. Metoda oporów wniesionych jest wystarczająco dokładna dla wsadów długich. Zależności określające wielkości parametrów zostały wyprowadzone dla układu o nieskończonej długości, a ich skończoną długość koryguje się następnie za pomocą współczynników korekcyjnych. Niedokładność metody jest związana z założeniami, iż linie pola elektromagnetycznego są prostopadłe do wsadu (pomija się warunki brzegowe), co w przypadku układów relatywnie krótkich wyraźnie pogarsza wiarygodność obliczeń, nawet pomimo zastosowania współczynników korekcyjnych. Metoda oporów magnetycznych ma zastosowanie przede wszystkim do obliczania układów grzejnych z wsadami magnetycznymi. Jednocześnie jest stosowana do obliczeń układów grzejnych o skończonych wymiarach. Należy do najczęściej stosowanych sposobów obliczeniowych, dając zwykle dobre przybliżenia wartości rzeczywistych. Natomiast metoda transformatora powietrznego jest stosowana przede wszystkim do obliczeń układów grzejnych z wsadami niemagnetycznymi o skończonych wymiarach. Należy do najczęściej stosowanych metod, dając również dobre przybliżenia parametrów rzeczywistych układu wzbudnik – wsad. Należy przy tym pamiętać, że w analizowanym przypadku: wzbudnik wykonano z okrągłej rurki, a obliczenia są dokładniejsze dla rurki o przekroju prostokątnym, wsad wystaje poza wzbudnik, ale nie jest wielokrotnie dłuższy od wzbudnika, jak podaje [28, str. 128], mówiąc o nagrzewaniu miejscowym, głębokość wnikania pola elektromagnetycznego do wsadu jest bardzo mała i nie jest to częstotliwość właściwa dla nagrzewania skrośnego tego wsadu; przykładowo współczynnik χ2 dla wsadu zimnego wynosi ok. 80, a w [28, tabl. V] jego zakres jest tylko do 20, ogromną trudność sprawia dokładne określenie przenikalności magnetycznej względnej µ r stali z której wykonany jest wsad, a który ma kluczowe znaczenie dla tłumienia w układzie oscylacyjnym i tym samym generacji ciepła; wartości przenikalności µ r dla stali mogą się wahać w granicach: od jedności (µ r dla stali zwykłej w temperaturze 800°C; µ r = 16 dla tej samej stali zwykłej w temperaturze. 20°C),. do. wartości. wielu. tysięcy. (izotropowa. stal. 42.

(42) elektrotechniczna (Fe96Si4) – 7000; anizotropowa stal elektrotechniczna (Fe97Si3) – 100000). W związku z tymi właściwościami metod obliczeniowych oraz mając na uwadze wymienione nieścisłości, do dalszych rozważań i symulacji, przyjęto wstępnie uśrednione wartości obliczonych parametrów rezystancji zastępczej odbiornika R0, reaktancji zastępczej odbiornika X0 i indukcyjności zastępczej odbiornika L0 dla temperatur: 20°C i 800°C, przy założonej częstotliwości prądu odbiornika równej f = 470kHz: Tabela 3.6. Zestawienie wyników obliczeń. 20°°C. Metoda oporów wniesionych oporów magnetycznych transformatora powietrznego Wartości średnie parametrów:. 800°°C. Rz = R0. Xz = X0. L0. Rz = R0. Xz = X0. L0. 73,84 mΩ. 618,4 mΩ. 0,21 µH. 45,6 mΩ. 592,65 mΩ. 0,2 µH. 262,7mΩ. 482,5 mΩ. 0,163 µH. 146,6 mΩ. 366,2 mΩ. 0,124 µH. 73,7 mΩ. 547,09 mΩ. 0,186 µH. 45,55 mΩ. 566,92 mΩ. 0,195 µH. 136,75 mΩ. 549,33 mΩ. 0,185 µH. 79,25 mΩ. 508,59 mΩ. 0,17 µH. 3.6 Drgania w obwodzie oscylacyjnym RLC 3.6.1 Częstotliwość własna W obwodzie R0L0C (rys.3.6) bez wymuszenia zewnętrznego, w którym rezystancja R0 = 0 oraz występują niezerowe warunki początkowe wartość pulsacji oscylacji prądu wynosi:. ω0 =. 1 LC. i jest określana jako częstotliwość własna obwodu LC.. Rys.3.6. Szeregowy obwód RLC bez wymuszenia zewnętrznego i z niezerowymi warunkami początkowymi. 43.

(43) 3.6.2 Częstotliwość drgań własnych Przyjmując R > 0, oraz niezerowe warunki początkowe w obwodzie, można wyznaczyć częstotliwość drgań własnych obwodu RLC bez wymuszenia zewnętrznego. Na podstawie prawa Ohma można zapisać: U = I ⋅ ( R + Ls +. 1 ) Cs. Stąd:. I=. U R + Ls +. 1 Cs. =. U ⋅ Cs LCs + RCs + 1 2. Częstotliwość drgań własnych wynika z wartości urojonej pierwiastków mianownika: LCs 2 + RCs + 1 = 0 Część rzeczywista pierwiastka mianownika funkcji przejścia, określa tłumienie obwodu, a część urojona pulsację drgań tłumionych. Zatem po przekształceniu (podzieleniu obustronnie równania przez L0C): 1 R s+ =0 L LC. s2 + Dokonując podstawienia:. 1 2 = ω0 LC Otrzymano: s2 +. R 2 s + ω0 = 0 L. Czyli: R2 2 ∆ = 2 − 4ω 0 L A bieguny równania:. s1, 2 =. −. R R2 2 ± j 4ω 0 − 2 2 L L = − R ± jω 1 − R C 0 2 2L 4L. Jeśli wprowadzimy do równania wyrażenie na impedancję falową ρ:. ρ=. R + jωL G + jω C. W której dla obwodów o małych stratach można pominąć rezystancję R0 i kondunktancję G0, czyli:. 44.

(44) L C. ρ= Bieguny równania przyjmą postać: s1, 2.  R  R  =− ± jω 0 1 −  2L  2ρ . 2. Pulsacja drgań własnych obwodu wynosi więc:. ω = ω0.  R   1 −   2ρ . 2. A po oznaczeniu względnego współczynnika tłumienia obwodu jako:. α0 =. R 2ρ. Ostatecznie:. ω = ω0 1 − α 0 2 co oznacza, że częstotliwość drgań tłumionych jest nieco mniejsza od nietłumionych (ωo). Ponadto wartość wyróżnika równania różniczkowego (∆) opisującego zachowanie obwodu determinuje charakter drgań w obwodzie (Rys.3.7).. Rys. 3.7. Przebieg oscylacji prądu w obwodzie RLC w zależności tłumienia. Warunkiem wystąpienia oscylacji w układzie jest ∆ < 0. W przeciwnym wypadku tłumienie powoduje zanik drgań w sposób aperiodyczny. Zatem: R2 2 ∆ = 2 − 4ω 0 < 0 L. 45.

(45) czyli:. ω0. 2. R2 < 2 4L. Uwzględniając, że pulsacja własna obwodu: ω 0 = 2. 1 i dokonując podstawienia otrzymuje LC. się wartość Rkrytyczna, która jest wartością krytyczną dla tego obwodu: Rkrytyczna = 2. 4 L2 LC. A odnosząc ją do impedancji falowej obwodu: ρ =. L , ostatecznie rezystancja obwodu C. musi być mniejsza od dwóch długości falowych: Rkrytyczna < 2 ρ W przypadku wykonanego wzbudnika, jego rezystancja R0 uwzględniająca obciążenie go stalowym wsadem wynosi: - w temperaturze 20°C R0 = 130·10-3 Ω, a podwójna impedancja falowa obwodu 2ρ = 1,50 - w temperaturze 800°C R0 = 77·10-3 Ω, a podwójna impedancja falowa obwodu 2ρ = 1,44 Oznacza to, że obwód jest silnie oscylacyjny dla obydwu przypadków temperaturowych. W przypadku zastosowania układów oscylacyjnych na potrzeby grzejnictwa indukcyjnego, zbyt mała wartość rezystancji R0 odbiornika, jakim jest wzbudnik obciążony wsadem nie jest wartością optymalną dla sprawności układu i procesu, gdyż powoduje oscylacje energii w obwodzie siłowym, co zawsze łączy się ze stratami energii. Natomiast głównym celem urządzenia jest generacja ciepła, czyli jej rozpraszanie właśnie na R0. Zbyt duża wartość rezystancji R0 odbiornika (jednak wartość wciąż poniżej wartości krytycznej, która zapewnia oscylacje w układzie), powoduje natomiast straty energii podczas komutacji zaworów elektronicznych i trudności dla układu sterowania.. 3.6.3 Częstotliwość rezonansowa obwodu RLC falownika Jeśli drgania obwodu RLC są wymuszane za pomocą zewnętrznego źródła (rys. 3.8):. 46.

(46) Rys. 3.8. Szeregowy obwód RLC z wymuszeniem zewnętrznym. to przyjmując R > 0, można zapisać transmitancję układu jako:. G ( jω s ) =. Uwzględniając, że: ω 0 = 2. 1 1 R s2 + s + L LC. 1 R R , α0 = , czyli: = 2α to po podstawieniu otrzymano: 2L L LC. G ( jω s ) =. 1 s 2 + 2α 0 ⋅ ω 0 ⋅ s + ω 0. 2. Zastępując: s = j ⋅ ω s , transmitancja przyjmie postać:. G ( jω s ) =. 1 2 − ω s + j ⋅ ω s ⋅ 2α 0 ⋅ ω 0 + ω 0 2. Natomiast moduł transmitancji będzie wynosił:. G ( jω ) =. 1 (ω 0 − ω s ) 2 + 4α 0 ⋅ ω s ⋅ ω 0 2. 2. 2. 2. 2. Wartość modułu transmitancji określa wzmocnienie układu, które będzie największe dla określonego współczynnika tłumienia α 0 = względnej. R , przy jednej, określonej wartości pulsacji 2ρ. ωs (rys. 3.9). W celu wyznaczenia tej wartości zostanie obliczone wyrażenie ω0. pochodnej mianownika modułu transmitancji po ωs, a następnie przyrównane do zera, aby określić maksimum (zerową pochodną) tej zależności. Czyli:. Χ = (ω 0 − ω s ) 2 + 4α 0 ⋅ ω s ⋅ ω 0 2. 2. 2. 2. 2. A zatem:. 47.