Rachunek kwantyfikatorów

Rachunek kwantykatorów A. Mróz

1. Które z poni»szych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe?

(a) ∀_x∈R x2 ≥ 0 (b) ∃_x∈R x2 ≤ 0 (c) ∃_x∈R x2+ x + 1 = 0 (d) ∀_n∈N∃_k∈N n = 2k (e) ∀_x∈R∃_n∈N x < n (f) ∃_n∈N∀_m∈N n ≤ m

(g) ∃_n∈N∀_m∈N m ≤ n (h) ∀_x∈R∀_y∈R x2+ y2 > 0 (i) ∀_x∈R∀_y∈R∃_z∈Rx2+ y > z 2. Zilustruj gracznie (na pªaszczy¹nie R2_{) zbiory tych warto±ci x, y ∈ R, dla których poni»sze}

funkcje zdaniowe ϕ(x, y) tworz¡ zdania faªszywe.

(a) (x + 1)(y − 1) = 0 (b) x2_{+ y}2 _{< 1 ∧ x < 0 (c) x}2_{+ y}2 _{≤ 1 ∧ y ≥ 1}

(d) y > x2 ∨ y < 0 (e) xy ≥ 1 ∧ y > −x (f) y > |x| ∧ y < −x2+ 2 3. Poni»sze funkcje zdaniowe o zakresie zmiennej x ∈ R (lub zmiennych x, y ∈ R) poprzed¹

(o ile to mo»liwe!) odpowiednimi kwantykatorami tak, by otrzyma¢ zdania prawdziwe. (a) x + 5 = 10 (b) x2 < 1 ∧ x > 10 (c) x2+ 2x + 1 = 0 ∨ x > 7

(d) y > x4 (e) x2 < 0 ∨ y > x (f) x3+ y4= 2 ∧ x ≤ y 4. Zapisz zaprzeczenie zdania

∀_x∈R∃_y∈R (xy > 0 ⇒ x > 0) tak, by nie wyst¦powaªy w nim inne symbole logiczne ni» ∧ i ∼. 5. Podaj zaprzeczenia poni»szych zda«.

(a) Ka»dy kwadrat jest rombem.

(b) Ka»da funkcja ró»niczkowalna jest ci¡gªa.

(c) Istnieje trójk¡t równoramienny, który jest prostok¡tny lub rozwartok¡tny.

(d) Istnieje gura geometryczna, która jest kwadratem lub trójk¡tem, oraz nie mo»na jej wpisa¢ w okr¡g.

6. Za pomoc¡ kwantykatorów, symboli logicznych i operacji arytmetycznych zapisz poni»sze zdania. Oce« ich prawdziwo±¢.

(a) Nie istnieje liczba wymierna, której kwadrat jest równy 2. (b) Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

(c) Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ci¡gu (xn)s¡ mniejsze od 1.

(d) Dla dowolnej liczby naturalnej istnieje liczba naturalna od niej wi¦ksza. (e) Istnieje najwi¦ksza liczba naturalna.

(f) Dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y fakt, »e ich iloczyn jest dodatni implikuje, »e obie s¡ dodatnie.

(g) Je±li n jest liczb¡ naturaln¡, to dowolna jej pot¦ga naturalna jest liczb¡ naturaln¡. (h) Dla ka»dej niezerowej liczby rzeczywistej istnieje liczba do niej odwrotna.

(i) Istnieje element neutralny mno»enia liczb rzeczywistych. (j) Ka»da liczba nieujemna jest wi¦ksza od ka»dej liczby ujemnej.

(k) Ka»dy niepusty podzbiór liczb rzeczywistych zawiera element najmniejszy. (l) Dla ka»dej pary liczb naturalnych a i b albo a dzieli b albo b dzieli a.

2 (m) Ka»da liczba naturalna wi¦ksza od 1 jest podzielna przez liczb¦ pierwsz¡.

(n) Ka»da liczba naturalna wi¦ksza od 1 jest iloczynem liczb pierwszych. (o) Dla ka»dej pary liczb naturalnych istnieje ich najwi¦kszy wspólny dzielnik. (p) Dla ka»dej pary liczb naturalnych istnieje ich najmniejsza wspólna wielokrotno±¢. 7. Wyka», »e poni»sze wyra»enia nie s¡ prawami rachunku kwantykatorów.

(a) [ (∃x∈X ϕ(x)) ∧ (∃x∈X ψ(x)) ] ⇒ [ ∃x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ]

(b) [ ∀x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ] ⇒ [ (∀x∈X ϕ(x)) ∨ (∀x∈X ψ(x)) ]

(c) [ ∃x∈X (ϕ(x) ⇒ ψ(x)) ] ⇒ [ ∃x∈X ϕ(x) ⇒ ∃x∈X ψ(x) ]

(d) [ ∀x∈X ϕ(x) ⇒ ∀x∈X ψ(x) ] ⇒ [ ∀x∈X (ϕ(x) ⇒ ψ(x)) ]

(e) [ ∃x∈X ϕ(x) ⇒ ∃x∈X ψ(x) ] ⇒ [ ∀x∈X (ϕ(x) ⇒ ψ(x)) ]

8. Wyka», »e poni»sze wyra»enia nie s¡ prawami rachunku kwantykatorów. (a) ( ∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y) ) ⇒ ( ∃x∈X∀y∈Y ϕ(x, y) )

(b) ( ∃y∈Y ∀x∈X ϕ(x, y) ) ⇒ ( ∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y) )

9. Wyka», »e poni»sze wyra»enia nie s¡ prawami rachunku kwantykatorów. (a) ∃x∈X∃y∈Y ϕ(x, y) ⇒ ∃x∈X ϕ(x, x)