9. Planimetria - teoria.pdf 

S α α α 2 α

9. PLANIMETRIA

9.1.

Okrąg i koło

a) Odcinki w okręgu i kole

Cięciwa okręgu (koła) – odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu

Średnica okręgu (koła) – odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu przechodzący przez środek okręgu (koła)

Promień okręgu ( koła) – kaŜdy odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem na okręgu.

r

d

2

1

=

b) Kąty w okręgu

Kąt środkowy α w okręgu (kole) – kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu.

kąt środkowy ASB jest oparty na łuku ACB

A C B

W

β Kąt wpisany β w okrąg (koło) – kąt , którego wierzchołek leŜy na okręgu, a ramiona są półprostymi

zawierającymi cięciwy okręgu . A B

C kąt wpisany AWB jest oparty na łuku ACB

Twierdzenia dotyczące kątów środkowych i wpisanych

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe

α

α

Kąt wpisany w okrąg jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku

d

r

S•

•S

S•

c) Pole i obwód koła

Wzór na pole koła

P

=

π

⋅

r

2

Wzór na obwód koła ( długość okręgu)

Ob

=

2

π

⋅

r

d) Pole wycinka koła i długość łuku

Wzór na pole wycinka koła 2

360

r

P

⋅

°

=

α

π

Wzór na długość łuku

l

⋅

r

°

=

α

2

π

360

e) Styczna do okręgu

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności

·

9

.2.

Trójkąty

a) Klasyfikacja trójkątów

Podział trójkątów ze względu na boki

róŜnoboczny równoramienny równoboczny

o st ro k ą tn y a b

c

b b a

a a a p ro st o k ą tn y

c

a

·

b

a b

·

a P o d zi ał tr ó jk ą tó w z e w zg lę d u n a k ą ty ro zw ar to k ą tn y

c a

b

b b a

b)

Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa

180

°

r

•

α

l

r

S

c) Odcinki i linie w trójkącie

wysokość trójkąta

h

– odcinek łączący wierzchołek trójkąta z

przeciwległym bokiem, prostopadły do

h

niego.

r s

d

dwusieczna kąta

d

– półprosta , która dzieli kąt na pół

· ·

S- środek boku środkowa trójkąta r

– odcinek łączący wierzchołek trójkąta

ze środkiem przeciwległego boku.

Twierdzenie o środkowych trójkąta: Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie, który nazywamy środkiem cięŜkości trójkąta. Punkt ten dzieli kaŜdą ze środkowych w stosunku 2 : 1 licząc do wierzchołków.

symetralna boku trójkąta

s –

prosta prostopadła do boku i przechodząca przez jego środek

d) Przystawanie trójkątów C α Cechy przystawania trójkątów c b Cecha BBB :

<

ABC

≡

<

A

'

B

'

C

'

⇔

a

=

a

'

∧

b

=

b

'

∧

c

=

c

'

β γ Cecha BKB :

_<

ABC <

≡

A

'

B

'

C

'

⇔

a

=

a

'

∧

b

=

b

'

∧

γ

=

γ

'

A a B Cecha KBK :

<

_{ABC <}

≡

A

'

B

'

C

'

⇔

a

=

a

'

∧

β

=

β

'

∧

γ

=

γ

'

C’ α‘

c’ b’ Przystające trójkąty - trójkąty, które mają równe boki i kąty β‘ γ’ A’ a‘ B’ e) Podobieństwo trójkątów C Cechy podobieństwa trójkątów c α b Cecha BBB:

<

ABC

~

'

'

'

'

'

'

c

c

b

b

a

a

C

B

A

⇔

=

=

<

A β a γ B Cecha BKB :

<

ABC

~

'

'

'

'

'

'

⇔

=

∧

γ

=

γ

b

b

a

a

C

B

A

<

Cecha KKK:

<

ABC

~

<

A

'

B

'

C

'

⇔

α

=

α

'

∧

β

=

β

'

C’ α'

Podobne trójkąty - trójkąty, które mają równe kąty c’ b’ i proporcjonalne boki

β’ γ’ skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A’B’C’:

'

'

'

c

c

b

b

a

a

k

=

=

=

A’ a’ B’

Jeśli k jest skalą podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A’B’C’ , to 2

' ' '

k

P

P

C B A ABC

₌

S

h

·

f) Pole trójkąta

P

=

a

⋅

h

2

1

· a

sin

α

2

1

_⋅

_⋅

=

a

b

P

b α a a b

P

=

p

(

p

−

a

)(

p

−

b

)(

p

−

c

)

gdzie

p

=

(

a

+

b

+

c

)

2

1

c g) Okrąg wpisany w trójkąt

- środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia a b dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta.

- wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt c

c

b

a

P

r

+

+

=

2

gdzie P – pole trójkąta

h) Okrąg opisany na trójkącie

- środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta

S

– środek okręgu

okrąg opisany na trójkącie okrąg opisany na trójkącie okrąg opisany na trójkącie ostrokątnym prostokątnym rozwartokątnym

·

S

r

· S

·S

a

R

b

c γ

- wzory na promień okręgu opisanego na trójkącie β α

P

c

b

a

R

4

⋅

⋅

=

gdzie P – pole trójkąta

γ

β

α

2

sin

2

sin

sin

2

c

b

a

R

=

=

=

i) Trójkąt równoramienny a- podstawa trójkąta b- ramię trójkąta

- kąty przy podstawie są równe, - wysokość dzieli podstawę na połowę

- wysokość dzieli kąt między ramionami na połowę b b α α a j) Trójkąt równoboczny

- w trójkącie równobocznym wszystkie kąty maja po

60

°

.

- w trójkącie równobocznym środkowe, symetralne, wysokości, a a dwusieczne przecinają się w tym samym punkcie, który jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt, jak i 60 okręgu opisanego na tym trójkącie.

a wzór na pole trójkąta równobocznego

4

3

2

a

P

=

wzór na wysokość trójkąta równobocznego

2

3

a

h

=

wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny

r

h

3

1

=

6

3

a

r

=

wzory na promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym

R

h

3

2

=

3

3

a

R

=

h r R

k) Trójkąt prostokątny

a

– przyprostokątna naprzeciw α

c b-

przyprostokątna przy α

a c -

przeciwprostokątna

· α

b

- twierdzenie Pitagorasa

a

2

+

b

2

=

c

2 - funkcje trygonometryczne kąta ostrego

c

a

=

α

sin

c

b

=

α

cos

b

a

tg

α

=

a

b

ctg

α

=

- wzór na pole trójkąta prostokątnego:

P

=

a

⋅

b

2

1

- wzór na promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym:

R

c

2

1

=

9.3.

Czworokąty

a) Klasyfikacja czworokątów

czworokąt wypukły

czworokąt niewypukły

trapezoid

trapez

deltoid

b) Suma kątów wewnętrznych czworokąta jest równa

360

°

równoległobok

prostokąt

romb

c) Trapez

b w trapezie przynamniej jedna para boków jest równoległa δ γ a , b – podstawy trapezu c h d c, d - ramiona trapezu α β h – wysokość trapezu a

α

+

δ

=

180

°

β

+

γ

=

180

°

`Odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw i wyraŜa się wzorem

2

b

a

x

=

+

a a Wzór na pole trapezu :

P

=

(

a

+

b

)

⋅

h

2

1

h b Trapez równoramienny b

β β - kąty wewnętrzne trapezu równoramiennego przy tej samej c c podstawie są równe,

α α - przekątne trapezu równoramiennego są równe i dzielą się e e samym stosunku, a - wzór na e w trapezie równoramiennym:

2

b

a

e

=

−

Trapez prostokątny - wzór na e w trapezie prostokątnym :

e

=

a

−

b

b h h c

·

e a d) Równoległobok a

β α - w równoległoboku przeciwległe boki są równe b b i równoległe,

- w równoległoboku przeciwległe kąty są równe, α β - w równoległoboku

α

+

β

=

180

°

a - w równoległoboku przekątne przecinają się w połowie

b

x

Wzory na pole równoległoboku: h

P

=

a

⋅

h

a b

P

=

a

⋅

b

⋅

sin

α

α a e) Romb a

β α - w rombie wszystkie boki są równe, a a - w rombie przeciwległe kąty są równe, - w rombie

α

+

β

=

180

°

α β -

a

Przekątne w rombie: - dzielą się na połowę,

· · - przecina ją się pod kątem prostym,

₂ 2 1 d ₁ 2 1

d - dzielą kąty wewnętrzne na połowę

α 2 1 β 2 1

Okrąg wpisany w romb:

- środek okręgu wpisanego w romb jest punktem przecięcia przekątnych rombu

r - wzór na promień okręgu wpisanego w romb

r

h

2

1

=

Wzory na pole rombu

h

P

=

a

⋅

h

a a

P

=

a

2

⋅

sin

α

α a

d

_{1 1 2}

2

1

d

d

P

=

⋅

2

d

f) Prostokąt b

- przekątne w prostokącie są równe i dzielą się na połowy

a a - wzór na pole prostokąta:

P

=

a

⋅

b

b

Okrąg opisany na prostokącie:

R - środkiem okręgu opisanego na prostokącie jest punkt przecięcia przekątnych prostokąta

- wzór na promień okręgu opisanego na prostokącie

R

d

2

1

=

d – przekątna prostokąta g) Kwadrat a

- przekątne kwadratu są równe, przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy

a

d - wzór na przekątną kwadratu:

d

=

a

2

- wzór na pole kwadratu:

P

=

a

2

Okrąg wpisany w kwadrat i okrąg opisany na kwadracie

- punkt przecięcia przekątnych kwadratu jest środkiem okręgu

wpisanego w kwadrat i środkiem okręgu opisanego na

kwadracie.

- wzór na promień okręgu wpisanego w kwadrat :

a

r

2

1

=

- wzór na promień okręgu opisanego na kwadracie:

R

d

2

1

=

R r