Elementy klasycznej geometrii euklidesowej
Maciej Czarnecki
Katedra Geometrii Uniwersytetu Łódzkiego maczar@math.uni.lodz.pl
Spis treści
1 Geometria euklidesowa 2
1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa . . . 2
1.2 Norma, odległość, kąt . . . 2
1.3 Podprzestrzenie afiniczne . . . 3
1.4 Figury wypukłe . . . 4
1.5 Przekształcenia afiniczne . . . 5
1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego . . . 6
2 Wielokąty 8 2.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta . . . 8
2.2 Własności miarowe w trójkącie . . . 8
2.3 Twierdzenia Cevy i Menelausa . . . 10
2.4 Czworokąty . . . 13
2.5 Wielokąty foremne . . . 15
3 Wielościany 16 3.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu . . . 16
3.2 Wielościany foremne . . . 16
4 Izometrie płaszczyzny 18 4.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe . . . 18
4.2 Izometrie parzyste . . . 18
4.3 Izometrie nieparzyste . . . 19
4.4 Klasyfikacja izometrii płaszczyzny . . . 21
1 Geometria euklidesowa
1.1 Przestrzeń liniowa, afiniczna i euklidesowa
Rozważamy przestrzeń liniową Rn, n 2, czyli zbiór
{x = (x1, . . . , xn) ; x1 ∈ R, . . . , xn∈ R}
z działaniami: dodawania wektorów
x + y = (x1+ y1, . . . , y1+ yn) dla x, y ∈ Rn oraz mnożenia wektora przez skalar
a · x = (ax1, . . . , axn) dla x ∈ Rn, a ∈ R.
Działanie dodawania wektorów jest więc łączne i przemienne oraz ma element neutralny θ = (0, . . . , 0) oraz każdy wektor x ma wektor przeciwny −x = (−x1, . . . , −xn). Ponadto mnożenie wektora przez skalar jest rozdzielne względem dodawania wektorach i względem dodawania skalarów, ma własność mieszanej łączności (czyli a · (b · x) = (ab) · x) oraz 1 · x = x dla x ∈ Rn.
W przestrzeni Rn określony jest (standardowy) iloczyn skalarny hx, yi = x1y1+ . . . + xnyn.
Rozważamy także strukturę punktów i wektorów zwaną przestrzenią afiniczną En, w której zbio- rem punktów jest zbiór n–tek liczb rzeczywistych, funkcję przestrzeni liniowej pełni Rn, a operacja przypisana dwóm punktom wektora jest dana wzorem
−
→pq = q − p = (q1− p1, . . . , qn− pn).
Wówczas dla każdego punktu p ∈ En oraz każdego wektora v ∈ Rn istnieje dokładnie jeden taki punkt q ∈ En, że −→pq = v oraz spełniona jest dla dowolnych punktów równość trójkąta −→pq + −→qr = −→pr.
Definicja 1.1.1. (Standardową) n–wymiarową przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afi- niczną En wraz z określonym w przestrzeni jej wektorów Rn standardowym iloczynem skalarnym.
1.2 Norma, odległość, kąt
Definicja 1.2.1. Normą (lub długością) wektora v nazywamy liczbę (nieujemną) kvk =qhv, vi.
Kątem pomiędzy niezerowymi wektorami v, w nazywamy liczbę
^(v, w) = arc cos hv, wi kvk kwk.
Mówimy także, że dwa wektory są prostopadłe, gdy mają zerowy iloczyn skalarny (o ile są niezerowe tworzą wtedy kąt π2).
Definicja 1.2.2. Odległością punktów p, q nazywamy liczbę (nieujemną)
|pq| = k−→pqk = kq − pk.
Twierdzenie 1.2.3 (nierówność Schwarza). Dla dowolnych wektorów v, w spełniony jest warunek
|hv, wi| ¬ kvk kwk,
a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory są równoległe (czyli jeden jest iloczynem drugiego przez skalar).
Wniosek 1.2.4 (nierówność trójkąta). Dla dowolnych punktów p, q, r:
|pr| ¬ |pq| + |qr|,
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy punkt q leży na odcinku pr (czyli gdy dla pewnej liczby a ∈ [0, 1] zachodzi równość −→pq = a · −→pr).
Twierdzenie 1.2.5 (twierdzenie cosinusów). Dla dowolnych niezerowych wektorów v, w:
kv + wk2 = kvk2+ kwk2+ 2kvk kwk cos^(v, w).
Wniosek 1.2.6 (twierdzenie Pitagorasa). Równość
kv + wk2 = kvk2+ kwk2 spełniona jest wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v, w są prostopadłe.
1.3 Podprzestrzenie afiniczne
Definicja 1.3.1. Podprzestrzenią afiniczną przestrzeni afinicznej En nazywamy zbiór postaci p + U = {p + u ; u ∈ U },
gdzie p jest punktem, a U podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej Rn.
Prosta (odpowiednio płaszczyzna, hiperpłaszczyzna) jest podprzestrzenią afiniczną wymiaru 1 (od- powiednio 2, n − 1).
Przykład 1.3.2. Podprzestrzeń afiniczna 0–wymiarowa jest pojedynczym punktem, prostą można zapisać jako p, p + v = p + lin (v), gdzie v 6= θ, zaś płaszczyznę w postaci p, p + v, p + w = p + lin (v, w), gdzie v, w są wektorami liniowo niezależnymi.
Hiperpłaszczyznę można określić przez jej dopełnienie ortogonalne pisząc p + u⊥, gdzie u jest nieze- rowym (często po prostu jednostkowym) wektorem prostopadłym do wszystkich wektorów tej hiper- płaszczyzny.
Definicja 1.3.3. Podprzestrzenie afiniczne H1 = p1+ U1, H2 = p2+ U2 są równoległe, co zapisujemy H1 k H2, gdy U1 ⊂ U2 lub U2 ⊂ U1.
Definicja 1.3.4. Załóżmy, że podprzestrzenie afiniczne H1 = p1+U1, H2 = p2+U2 mają co najwyżej jeden punkt wspólny. Wówczas kątem pomiędzy podprzestrzeniami H1, H2 nazywamy liczbę
^(H1, H2) = min{^(u1, u2) ; u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}.
Uwaga 1.3.5. Określa się także w nieco inny sposób kąt pomiędzy dwiema hiperpłaszczyznami jako kąt pomiędzy ich wektorami normalnymi (czyli prostopadłymi do tych hiperpłaszczyzn).
1.4 Figury wypukłe
Definicja 1.4.1. Odcinkiem o końcach p, q ∈ En, gdzie p 6= q, nazywamy zbiór pq = {p + a −→pq ; a ∈ [0, 1]} = {αp + βq ; α, β 0, α + β = 1}.
Trójkątem o wierzchołkach p, q, r ∈ En, gdzie punkty p, q, r są niewspółliniowe, nazywamy zbiór 4pqr = {p + a −→pq + b −→pr ; a, b 0, a + b ¬ 1} = {αp + βq + γr ; α, β, γ 0, α + β + γ = 1}.
Analogicznie czworościan (odpowiednio sympleks k–wymiarowy) jest zbiorem wszystkich środków ciężkości o nieujemnych wagach swoich czterech niewspółpłaszczyznowych (odpowiednio k + 1 nie leżących na żadnej k–wymiarowej podprzestrzeni afinicznej) wierzchołków.
Definicja 1.4.2. Dla danej prostej L oraz punktów p, q ∈ L, p 6= q. Półprostą o początku p wyzna- czoną na L przez punkt q nazywamy zbiór
pq→= {p + a −→pq ; a 0}.
Półpłaszczyznę na płaszczyźnie P o krawędzi L = p + lin (v) wyznaczoną przez punkt q ∈ P \ L określamy jako
Lq→ = {p + a −→
pq + bv ; a 0, b ∈ R} = {p + a−→pq + w ; a 0, w k L}.
Analogicznie określamy półprzestrzeń wyznaczoną przez płaszczyznę w E3 i punkt nie należący do tej płaszczyzny.
Definicja 1.4.3. Kąt płaski o wierzchołku p i ramionach wyznaczonych przez wektory nierównoległe u, v jest zbiorem
^p + u, p, p + v = ^upv = {p + au + bv ; a, b 0}.
Jeżeli dane są trzy (odpowiednio n 4) wektory niewspółpłaszczyznowe można określić kąt trój- ścienny (odpowiednio kąt n–ścienny) o wierzchołku p i wyznaczonych przez te wektory krawędziach jako
^(p; u, v, w) = {p + au + bv + cw ; a, b, c 0}
(odpowiednio przez nieujemne kombinacje liniowe danych wektorów).
Uwaga 1.4.4. Można określić kąt dwuścienny pomiędzy płaszczyznami P1, P2 przecinającymi się wzdłuż prostej L wskazując wybranym punktem jeden z czterech obszarów ograniczonych tymi dwie- ma płaszczyznami.
Definicja 1.4.5. Kulą (odpowiednio sferą) o środku w punkcie p i promieniu R > 0 nazywamy zbiór B(p, R) (odpowiednio S(p, r)) wszystkich punktów przestrzeni odległych od p o co najwyżej R (odpowiednio: o R).
Koło (odpowiednio okrąg) jest kulą (odpowiednio sferą) na płaszczyźnie E2.
Definicja 1.4.6. Mówimy, że podzbiór A ⊂ En jest wypukły, jeżeli dla dowolnych punktów p, q ∈ A zbiór A zawiera odcinek pq.
Przykład 1.4.7. Wszystkie sympleksy, kąty n–ścienne i kule są wypukłe, a żadna ze sfer nie jest wypukła.
Aby określić niewypukły kąt płaski (odpowiednio n–ścienny) należy rozważyć dopełnienie kąta wraz z jego ramionami (ścianami).
1.5 Przekształcenia afiniczne
Definicja 1.5.1. Przekształcenie f przestrzeni En na siebie spełniające warunek
|f (x) f (y)| = |xy| dla x, y ∈ En nazywamy izometrią.
Podobieństwem o skali k > 0 jest przekształcenie En na siebie takie, że
|f (x) f (y)| = k |xy| dla x, y ∈ En.
Definicja 1.5.2. Niech H = p + U oraz K = q + W będą podprzestrzenia mi afinicznymi przestrzeni En takimi, że U ⊕ W = Rn. Dla dowolnego punktu x ∈ Enjego rzutem równoległym na podprzestrzeń H w kierunku podprzestrzeni K nazywamy jedyny punkt πKH(x) ∈ H ∩ (x + W ).
Rzut prostopadły na podprzestrzeń H jest rzutem równoległym na H w kierunku U⊥; oznaczamy go przez πH.
Definicja 1.5.3. Translacją o wektor v ∈ Rn nazywamy przekształcenie Tv : En→ En dane wzorem Tv(x) = x + v dla x ∈ En.
Definicja 1.5.4. Symetrią względem podprzestrzeni afinicznej H ⊂ En nazywamy przekształcenie sH : En→ En dane wzorem
sH(x) = x + 2−−−−−→
x πH(x) dla x ∈ En. Gdy H = {p} mówimy o symetrii środkowej względem punktu p, wtedy
sp(x) = 2p − x,
natomiast gdy H = p + u⊥ jest hiperpłaszczyzną i kuk = 1, to symetria hiperpłaszczyznowa wyraża się wzorem
sH(x) = x − 2hx − p, uiu.
Twierdzenie 1.5.5. Niech H ⊂ En będzie przestrzenią afiniczną. Wówczas 1. sH ◦ sH = idEn,
2. sH jest izometrią,
3. sH(x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ H.
Definicja 1.5.6. Obrotem płaszczyzny E2 dookoła początku układu o kąt α nazywamy przekształce- nie Rα dane macierzą
"
cos α − sin α sin α cos α
#
. Obrót Rαp dookoła punktu p ∈ E2 określamy przez złożenie Tp◦ Rα◦ T−p.
Przekształcenie ortogonalne jest dane macierzą ortogonalną, czyli należącą do zbioru O(n) = {A ∈ Mnn ; AAT = ATA = I}.
Definicja 1.5.7. Jednokładnością o środku p i skali s 6= 0 nazywamy przekształcenie Jps : En→ En dane wzorem
Jps(x) = p + s −px = (1 − s)p + sx→ dla x ∈ En.
Twierdzenie 1.5.8 (Mazura—Ulama). Każda izometria przestrzeni En jest złożeniem przekształce- nia ortogonalnego z translacją.
Wniosek 1.5.9. Każde podobieństwo przestrzeni En jest złożeniem jednokładności, przekształcenia ortogonalnego i translacji.
Przykład 1.5.10. Każda izometria płaszczyzny E2 jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamo- ści z obrotem i translacją, a każde podobieństwo płaszczyzny jest złożeniem symetrii osiowej lub tozsamości z obrotem, jednokładnością i translacją.
1.6 Symetralna odcinka i dwusieczna kąta płaskiego
Definicja 1.6.1. Symetralną odcinka pq, gdzie p 6= q, nazywamy hiperpłaszczyznę
sympq = 1 2p + 1
2q + (−→pq)⊥
Stwierdzenie 1.6.2. Symetralna odcinka jest jego hiperpłaszczyną symetrii, tzn. jeżeli H = sym pq, to sH(pq) = pq.
Dowód. Z nierówności trójkąta i inwolutywności symetrii wynika, że wystarczy wykazać równość sH(p) = q. Zauważmy, że hieprpłaszczyzna H przechodzi przez punkt 12p + 12q i jej jednostkowym wektorem normalnym jest u = kq−pkq−p . Ze wzoru na symetrię hiperpłaszczyznową mamy więc
sH(p) =p − 2
*
p − 1 2p − 1
2q, q − p kq − pk
+ q − p
kq − pk = p − hp − q, q − pi q − p
kq − pk2 = p + q − p = q.
Stwierdzenie 1.6.3. Symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów równo odległych od końców tego odcinka.
Dowód. Niech H będzie symetralną odcinka pq, zaś E = {x ∈ En ; |xp| = |xq|}.
Aby pokazać zawieranie H ⊂ E zauważmy, że punkt x ∈ H można przedstawić w postaci x =
1
2p + 12q + v, gdzie v ⊥ q − p. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy
|xp|2 =
1
2(p − q) − v
2
=
1
2(p − q)
2
+ k − vk2 =
1
2(q − p)
2
+ k − vk2 ==
1
2(q − p) − v
2
= |xq|2, czyli x ∈ E .
Niech teraz x ∈ E . Wówczas kp − xk2 = kq − xk2, co pociąga za sobą kpk2− kqk2 = 2hp − q, xi. Stąd rzutem prostopadłym punktu x na prostą pq jest punkt
πpq(x) = p+hx − p, q − pi
kq − pk2 (q −p) = p+
1
2kqk2− 12kpk2− hp, qi + kpk2
kq − pk2 (q −p) = p+1
2(q −p) = 1 2p+1
2q.
Tym samym x ∈ 12p + 12q + (−→pq)⊥= H.
Definicja 1.6.4. Dwusieczną kąta płaskiego ^upv nazywamy półprostą pw~, gdzie w = kuku +kvkv . Stwierdzenie 1.6.5. Na płaszczyźnie E2 dwusieczna kąta płaskiego jest zawarta w jego osi symetrii.
Dowód. Przyjmijmy od razu, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski ^upv są jednostkowe; wtedy wektorem wyznaczajacym dwusieczną tego kąta jest jest wektor w = u + v, zaś wektorem normalnym do prostej L = p + lin (w) jest v − u. Z założeń i nierówności Schwarza wynika także dodatniość liczby t = kv − uk2 = 2(1 − hu, vi).
Dowolny punkt kąta jest postaci x = p + au + bv, gdzie a, b 0. Ze wzoru na symetrię hiperpłasz- czyznową (dim L = 1 = dim E2− 1) otrzymujemy
sL(x) =p + au + bv − 2
*
au + bv, v − u kv − uk
+ v − u kv − uk
=p + au + bv − 2
t (−a + b + ahu, vi − bhu, vi) (v − u)
=p + au + bv − 2
t (b − a) t
2(v − u) = p + bu + av, skąd sL(x) ∈^upv.
Stwierdzenie 1.6.6. Na płaszczyźnie E2 dwusieczna kąta płaskiego jest zbiorem wszystkich punktów tego kąta równo odległych od ramion tego kąta.
Dowód. Załóżmy, że wektory u i v wyznaczajace kąt płaski ^upv są jednostkowe; wiemy wtedy, że v +w wyznacza dwusieczną, zatem punkt kąta postaci x = p+au+bv, a, b 0, nalezy do dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy a = b.
Obliczymy odległość punktu kąta od ramienia pu→. Dla x = p + au + bv, a, b 0, jest to długość składowej wektora −→
px prostopadłej do wektora u. Ponieważ kierunek prostopadły do u w E2wyznacza wektor u0 = v − hu, viu o długości ku0k =q1 − hu, vi2 > 0, więc
d (x, pu→) = |hx − p, u0i|
ku0k2 = |hau + bv, v − hu, viui|
1 − hu, vi2 = |b − bhu, vi|
1 − hu, vi2 = b.
Podobnie d (x, pv→) = a. Zatem x jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylko wtedy, gdy a = b, czyli gdy należy do dwusiecznej.
2 Wielokąty
2.1 Definicja i podstawowe własności wielokąta
Definicja 2.1.1. Wielokątem nazywamy spójny podzbiór płaszczyzny, który jest sumą mnogościo- wą takiej rodziny trójkątów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólnym bokiem lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielokąta nazywamy triangulacją.
Definicja 2.1.2. Punkt danego wielokąta, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem trój- kąta triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielokąta.
Bok wielokąta to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera bok pewnego trójkąta tej triangulacji.
Definicja 2.1.3. Wielokąt o spójnym wnętrzu i n bokach (lub, co na jedno wychodzi, n wierzchoł- kach), n 3, nazywamy n–kątem.
Kątem wewnętrznym n–kąta nazywamy miarę kąta płaskiego, o wierzchołku w wierzchołku wielokąta, wyznaczonego przez jedyne dwa boki, których wspólnym końcem jest ten wierzchołek.
Definicja 2.1.4. Okrąg zawierający wszystkie wierzchołki danego wielokąta nazywamy okręgiem opisanym na tym wielokącie, zaś okrąg zawarty w wielokącie i styczny do wszystkich prostych zawie- rających boki tego wielokąta nosi nazwę okręgu wpisanego w tenże wielokąt.
Uwaga 2.1.5. Istnienie okręgu opisanego na n–kącie lub wpisanego w n–kąt zależy od rozważanego wielokąta i jest pewnego tylko dla n = 3.
Definicja 2.1.6. Polem wielokąta P nazywamy liczbę P (P) równą sumie pól trójkątów pewnej trian- gulacji wielokąta P.
Uwaga 2.1.7. Pole trójkąta rozpiętego na wektorach v, w określamy jako P (4(p, p + v, p + w)) = 1
2
q
det G(v, w) = 1 2
qkvk2kwk2 − hv, wi2, a pole wielokąta nie zależy od wyboru triangulacji.
2.2 Własności miarowe w trójkącie
Definicja 2.2.1. W trójkącie 4ABC oznaczamy standardowo:
długości boków : a = |BC|, b = |CA|, c = |AB|, miary kątów wewnętrzmnych: α =^−→
AB,−→
AC, β =^−→
BA,−−→
BC, γ =^−→
CA,−−→ CB, obwód : 2p = a + b + c,
pole: P ,
promień okręgu opisanego: R, promień okręgu wpisanego: r.
Twierdzenie 2.2.2 (cosinusów). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:
c2 = a2+ b2− 2ab cos γ.
Twierdzenie 2.2.3 (sinusów). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:
a
sin α = b
sin β = c
sin γ = 2R.
Twierdzenie 2.2.4 (suma kątów w trójkącie). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:
α + β + γ = π.
Definicja 2.2.5. W danym trójkącie określamy:
symetralną boku jako symetralna odcinka będącego bokiem trójkąta,
dwusieczną kąta wewnętrznego jako dwusieczną kąta płaskiego wyznaczonego przez wektory prowadzące od ustalonego wierzchołka trójkąta do pozostałych wierzchołków,
środkową — odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku,
wysokość — odcinek łączący wierzchołek z jego rzutem prostopadłym na prostą zawierającą przeciwległy bok.
Twierdzenie 2.2.6 (wzory na pole trójkąta). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC:
1. P = 12aha, gdzie ha = d(A, BC), 2. P = 12ab sin γ,
3. P =qp(p − a)(p − b)(p − c), 4. P = pr,
5. P = abc4R,
6. P = 2R2sin α sin β sin γ.
Stwierdzenie 2.2.7 (długość środkowej). Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC środkowa boku a ma długość:
ma=
√2b2+ 2c2− a2 2
Dowód. Niech A1 będzie środkiem boku BC, wtedy |BA1| = |CA1| = a2. Oznaczmy ϕ = |^AA1B|, wówczas |^AA1C| = π − ϕ. Oznaczając ma = |AA1| i stosując twierdzenie cosinusów do trójkątów 4ADB i 4ADC otrzymujemy:
c2 =
a 2
2
+ m2a− amacos ϕ, b2 =
a 2
2
+ m2a− amacos(π − ϕ).
Dodając stronami i pamiętając, że cos(π − ϕ) = − cos ϕ dostajemy równość b2 + c2 = 1
2a2+ 2m2a równoważną tezie.
Twierdzenie 2.2.8 (o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie). Dwusieczna kąta wewnętrznego w trójkącie dzieli bok przeciwległy na odcinki proporcjonalne do boków odpowiednio przyległych do tego kąta.
Przy oznaczeniach standardowych w 4ABC, jeżeli D jest punktem przecięcia boku BC dwusieczną kąta płaskiego ^BAC oraz |BD| = a1, |CD| = a2, to
a1 a2
= c
b, skąd także a1 = ac
b + c, a2 = ab b + c.
Dowód. Oznaczmy ϕ = |^ADB|, wówczas |^ADC| = π − ϕ. Stosując twierdzenie sinusów do trój- kątów 4ADB i 4ADC otrzymujemy:
a1
sinα2 = c
sin ϕ, a2
sinα2 = b sin(π − ϕ), skąd aa1
2 = cb, bo sin(π − ϕ) = sin ϕ. Druga cześć tezy wynika z pierwszej i równości a1+ a2 = a.
2.3 Twierdzenia Cevy i Menelausa
Twierdzenie 2.3.1 (Cevy). Dla danego trójkąta 4ABC niech punkty D, E, F /∈ {A, B, C} leżą na prostych odpowiednio BC, CA, AB w taki sposób, że
−−→BD = k−−→
DC, −−→
CE = l−→
EA, −→
AF = m−−→ F B.
Wówczas proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie lub są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1.
Dowód. Z założenia wynika, że k, l, m 6= −1 (bo wtedy B = C lub C = A lub A = B) oraz
D = 1
k + 1B + k
k + 1C, E = 1
l + 1C + l
l + 1A, F = 1
m + 1A + m m + 1B.
⇒) Załóżmy najpierw, że proste AD, BE, CF przecinają się w punkcie O. Wówczas istnieją liczby rzeczywiste d, e, f takie, że
O = (1 − d)A + dD = (1 − e)B + eE = (1 − f )C + f F.
Podstawiając za D, E, F widzimy, że O = (1 − d)A + d
k + 1B + dk
k + 1C = el
l + 1A + (1 − e)B + e
l + 1C = f
m + 1A + f m
m + 1B + (1 − f )C.
Przedstawienie punktu O jako środka ciężkości trzech niewspółliniowych punktów A, B, C jest jed- noznaczne, otrzymujemy więc mnożąc współczynniki przy A, B, C w różnych postaciach, że
def
(k + 1)(l + 1)(m + 1) = def klm
(k + 1)(l + 1)(m + 1),
skąd klm = 1 (bo gdyby np. d = 0, mielibyśmy O = A, a więc także e = f = 1 i A = O = E = F sprzecznie z założeniem).
Gdy proste AD, BE, CF są parami równoległe, to podobnie parami równoległe są wyznaczające je wektory:
−−→ AD = 1
k + 1
−→AB + k k + 1
−→AC
−−→ BE = 1
l + 1
−−→ BC + l
l + 1
−→BA = −−→
AB + 1 l + 1
−→AC
−→CF = 1 m + 1
−→CA + m m + 1
−−→
CB = m
m + 1
−→AB −−→
AC
Pary wektorów równoległych mają zerowe wyznaczniki złożone z ich współrzędnych w bazie−→
AB,−→
AC:
1 k+1
k k+1
−1 l+11
= 0,
−1 l+11
m
m+1 −1
= 0, skąd k = −l+11 oraz m = −l+1l . Tym samym klm = 1.
⇐) Załóżmy, że klm = 1, czyli m = kl1.
Dowolny punkt prostej AD, odpowiednio BE, ma postać (1 − d)A + d
k + 1B + dk
k + 1C, el
l + 1A + (1 − e)B + e
l + 1C, gdzie d, e ∈ R Zatem punkt wspólny prostych AD i BE istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy układ
1 − d = el
l + 1, d
k + 1 = 1 − e, dk
k + 1 = e l + 1 o niewiadomych d, e oraz macierzy uzupełnionej
M =
1 l+1l 1
1
k+1 1 1
k
k+1 −l+11 0
posiada rozwiązanie, to zaś — ze względu na niezerowy minor powstały przez skreślenie pierwszego wiersza i pierwszej kolumny oraz det M = 0 — zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nie wszystkie minory powstałe przez skreślanie ostatniej kolumny są równe 0, to zaś równoważne jest warunkowi kl + k + 1 6= 0.
Niech więc najpierw kl + k + 1 6= 0. Wówczas ze wzorów Cramera otrzymujemy d = k + 1
kl + k + 1, e = k(l + 1) kl + k + 1 i punktem współnym prostych AD, BE jest
O = kl
kl + k + 1A + 1
kl + k + 1B + k
kl + k + 1C.
Z założenia mamy, że F = kl+1kl A + kl+11 B i wystarczy przyjąć f = kl+k+1kl+1 , aby zauważyć, że (1 − f )C + f F = O. Tym samym proste AD, BE, CF przecinają się w punkcie O.
Jeżeli zaś kl + k + 1 = 0, to l = −k+1k = −1 − 1k i m = kl1 = −k+11 , skąd E = −kC + (k + 1)A, F = k + 1
k A − 1 kB.
Zatem wektory
−−→
BE = (k + 1)A − B − kC, −→
CF = k + 1 k A − 1
kB − C są równoległe do wektora −−→
AD = −A +k+11 B +k+1k C, co oznacza równoległość prostych AD, BE, CF .
Twierdzenie 2.3.2 (Menelausa). Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy punkty D, E, F są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy klm = −1.
Dowód. ⇐) Z założenia więc, że D 6= E 6= F 6= D oraz klm = −1, czyli m = −kl1. Wówczas
D = 1
k + 1B + k
k + 1C, E = 1
l + 1C + l
l + 1A, F = kl
kl − 1A − 1 kl − 1B.
Wyrażając za pomocą k, l wektory
−−→DE = l
l + 1A − 1
k + 1B + 1
l + 1 − k k + 1
!
C = l
l + 1A − 1
k + 1B − kl − 1 (k + 1)(l + 1)C
−−→ DF = kl
kl − 1A +
− 1
kl − 1 − 1 k + 1
B − k
k + 1C = kl
kl − 1A − k(l + 1)
(kl − 1)(k + 1)B − k k + 1C widzimy, że przyjmując α = k(l+1)kl−1 otrzymujemy −−→
DF = α−−→
DE, co oznacza współliniowość punktów D, E, F .
⇒) Jeżeli punkty D, E, F są współliniowe i parami różne, to istnieje liczba α taka, że −−→
DF = α−−→
DE.
Zatem
αl
l + 1A − α
k + 1B − α(kl − 1)
(k + 1)(l + 1)C = 1
m + 1A + km − 1
(k + 1)(m + 1)B − k k + 1C i α = l(m+1)l+1 = k(l+1)kl−1 , co upraszcza się do klm = −1.
Wniosek 2.3.3. Przy oznaczeniach i założeniach jak w twierdzeniu Cevy oraz dodatkowym założeniu, że punkty D, E, F leżą odpowiednio na bokach BC, CA, AB proste AD, BE, CF przecinają się w dokładnie jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy klm = 1.
Dowód. Dodatkowe założenie oznacza dodatniość liczb k, l, m, co powoduje, że proste AD, BE, CF nie mogą być równoległe.
Wniosek 2.3.4. Środkowe w trójkącie przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środ- kiem ciężkości tego trójkąta.
Dowód. Ponieważ D, E, F są środkami odcinków, więc k = l = m = 1.
Wniosek 2.3.5. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punk- cie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Dowód. Z twierdzenia o dwusiecznej wynika (oznaczenia standardowe), że k = c
b, l = a
c, m = b a, skąd klm = 1.
Wniosek 2.3.6. Proste zawierające wysokości trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest ortocentrum tego trójkąta.
Dowód. Dla trójkąta prostokątnego teza jest oczywista, ponieważ przyprostokatne są wysokościami, a trzecia z wysokości zawiera także wierzchołek kąta prostego. Możemy więc dalej założyć, że trójkąt nie jest prostokątny.
Jeżeli D jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu A oraz dodatkowo D ∈ BC, to |BD| = c cos β oraz |DC| = b cos γ (oznaczenia standardowe), skąd k = c cos βb cos γ. Równość ta pozostaje w mocy, gdy punkt D leży poza odcinkiem BC, wtedy jeden z kątów β, γ jest rozwarty.
Analogicznie l = a cos γc cos α, m = b cos αa cos β, co daje klm = 1.
Symetralne boków trójkąta na ogół nie przechodzą przez przeciwległy wierzchołek, ale mają własność analogiczną do powyższych.
Wniosek 2.3.7. Symetralne boków trójkąta przecinają się w dokładnie jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.
Dowód. Zauważmy, że z nierównoległości boków trójkąta wynika nierównoległość ich symetralnych, bo są do boków prostopadłe. Niech O bedzie punktem przecięcia symetralnym boków BC i CA.
Wówczas z 1.6.3 mamy, że |OB| = |OC| i |OC| = |OA|, co razem daje |OA| = |OB|. Korzystając ponownie z 1.6.3 widzimy, że punkt O należy także do symetralnej boku AB.
2.4 Czworokąty
Definicja 2.4.1. Równoległobokiem o wierzchołku p rozpiętym na nierównoległych wektorach u, v nazywamy zbiór
P(p; u, v) = {p + au + bv ; a, b ∈ [0, 1]}.
Równoległoobok P(p; u, v) jest rombem, gdy kuk = kvk, a kwadratem, gdy ponadto u ⊥ v; sam ostatni warunek określa prostokąt.
Definicja 2.4.2. Trapezem nazywamy czworokąt, w którym pewną parę boków opisują wektory rów- noległe. Trapez równoramienny to trapez nie będący równoległobokiem, w którym boki nierównoległe mają równe długości.
Twierdzenie 2.4.3 (o kątach w kole). Kąt środkowy w kole jest dwa razy większy niż kąt wpisany w to koło oparty na tym samym łuku.
Dokładniej, jeżeli parami różne punkty A, B, C, D leżą na ustalonym okręgu o środku O oraz C ∈ ABO→, D 6∈ ABO→, to
2 |^ACB| = |^AOB| = 2π − 2 |^ADB|, przy czym |^AOB| oznacza miarę kąta wypukłego ^AOB.
Twierdzenie 2.4.4 (warunek opisania okręgu na czworokącie). Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe.
Dowód. W czworokącie ABCD oznaczmy przez α, β, γ, δ miary kątów wewnętrznych odpowiednio przy wierzchołkach A, B, C, D.
⇒) Załóżmy, że wierzchołki czworokąta leżą na okręgu o środku O i promieniu R. Wynika stąd, że każdy kąt wewnętrzny tego czworokąta ma miarę mniejszą niż π, gdyż w przeciwnym wypadku jeden z wierzchołków leżałby wewnątrz koła. Kąty wewnętrzne o wierzchołkach A, C oparte są na dopełniających się łukach BD, a kąty środkowe oparte na tych łukach tworzą kąt pełny o mierze 2π, więc z twierdzenia o kątach w kole α + γ = 12 · 2π = π. Analogicznie β + δ = π = α + γ.
⇐) Załóżmy, że α + γ = β + δ. Ponieważ pewna triangulacja dowolnego czworokąta zawiera dwa trójkąty, więc suma kątów wewnetrznych czworokąta wynosi 2π. Zatem α + γ = β + δ = π, skąd na mocy twierdzenia sinusów promienie okręgów opisanych na trójkątach 4ABC i 4ADC są równe sobie, bo równe R = 2 sin β|AC| = 2 sin δ|AC| .
Jeżeli O1, O2 są odpowiednio środkami wspomnianych okręgów, to O1, O2 ∈ l = sym AC. Na prostej l są dwa punkty odległe od punktu A o R, gdy R > |AC|2 , lub jeden gdy R = |AC|2 , punkty O1, O2 mogą być więc równe (co już kończy dowód) lub symetryczne względem prostej AC. Wtedy jednak trójkąty 4ABC i 4ADC są przystające, co daje β = δ. Z założenia otrzymujemy β = δ = π2, ale wówczas środki okręgów opisanych na trójkątach prostokatnych 4ABC i 4ADC leżą na środku wspólnej przeciwprostokatnej AC, czyli także O1 = O2.
Twierdzenie 2.4.5 (warunek wpisania okręgu w czworokąt). W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe.
W czworokąt niewypukły nie można wpisać okręgu.
Dowód. Jeżeli czworokąt jest niewypukły, to jeden z jego kątów wewnętrznych, np. przy wierzchołku A ma miarę większą niż π i z jego dwusiecznej jest zawsze bliżej do wierzchołka niż któregokolwiek z boków AB, AD. Tym samym okrag styczny do dwóch pozostałych boków CB, CD po przekroczeniu przez promień wartości |OA| przecina już boki AB, AD i nie może być do nich styczny.
W czworokącie wypukłym ABCD oznaczmy przez a, b, c, d długości boków odpowiednio AB, BC, CD, DA.
⇒) Załóżmy, że okrąg o środku O i promieniu r jest wpisany w czworokąt ABCD. Jeżeli okrąg ten jest styczny do boków AB, BC, CD, DA odpowiednio w punktach K, L, M, N , to
|AK| = |AN |, |BK| = |BL|, |CL| = |CM |, |DM | = |DN |,
bo trójkąty prostokątne 4AKO i 4AN O są przystające jako posidające wspólną przyprostokatną AO oraz |OK| = |ON | = r itd. Zatem
a + c = |AK| + |KB| + |CM | + |M D| = |AN | + |LB| + |CL| + |N D| = d + b.
⇐) Załóżmy, że a + c = b + d. Niech O będzie punktem przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrz- nych czworokąta ABCD przy wierzchołkach A i B (dwusieczne te nie są równoległe, bo AD 6k BC).
Oznaczmy przez K, L, M, N rzuty prostopadłe punktu O na proste odpowiednio AB, BC, CD, DA.
Z własności dwusiecznej wynika, że |OK| = |OL| = |ON |; oznaczmy tę wspólną wartość przez r.
Z wypukłości czworokąta ABCD mamy, że kąty^BAO i ^ABO są ostre i K leży na boku AB.
Z własności dwusiecznej wynika, że tylko punkt O może być środkiem okręgu wpisanego w czworokąt ABCD. Gdyby punkt L nie leżał na odcinku BC, to a + c > b + d i podobnie dla punktu D. Zatem punkt O leży wewnątrz czworokąta i M ∈ CD.
Oznaczając x = |OM | oraz
a1 = |AK|, a2 = |KB|, b1 = |BL|, b2 = |LC|, c1 = |CM |, c2 = |M D|, d1 = |DN |, d2 = |N A|
otrzymujemy
|OD|2 = x2+ c22 = r2+ d21, |OC|2 = x2+ c21 = r2 + b22, skąd po odjęciu stronami
c21− c22 = b22− d21
lub inaczej c(c1− c2) = (b2+ d1)(b2− d1), co jednak wraz z założeniem daje
(b + d − a)(c1− c2) = (b2+ d1)(b2 − d1), awięc (b2+ d1)((c1− c2) − (b2− d1)) = 0.
Ostatecznie
c1+ c2 = b2 − d1, c1− c2 = b2− d1,
skąd c1 = b2, c2 = d1, ale wtedy r = x, czyli okrąg o środku O i promieniu r jest także styczny do boku CD.
Przykład 2.4.6. Dla równoległoboku warunkiem równoważnym opisania na nim okręgu jest bycie prostokątem, wpisania w ten równoległobok okręgu — bycie rombem.
Na każdym trapezie równoramiennym można opisać okrąg.
2.5 Wielokąty foremne
Definicja 2.5.1. Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach wewnętrznych równych.
Twierdzenie 2.5.2. Dla dowolnego n 3 i dowolnego a > 0 istnieje (z dokładnością do izometrii) dokładnie jeden n–kąt foremny o boku długości a.
Dowód. Dla ustalonego b > 0 i n 3 rozważmy pierwiastki stopnia n–tego z liczby b na płaszczyźnie zespolonej, czyli punkty
wk= √n
b cos2πk
n + i sin2πk n
!
, k = 0, 1, . . . , n − 1.
Zauważmy, że dla dowolnego k spełniony jest warunek |^wk−10wk| = 2πn jak również |^wk−1wkwk+1| =
n−2
n π, czyli wielokąt w0w1. . . wn−1 ma wszystkie katy wewnętrzne równe.
Trójkat 4wk−10wkma ramiona o długości √n
b, więc z twierdzenia cosinusów otrzymujemy długość podstawy
|wk−1wk| = 2√n b
s1 − cos2πn
2 = 2√n b sinπ
n Dla b =
a 2 sinπn
n
wielokąt w0w1. . . wn−1 ma wszystkie boki długości a.
Jedyność takiego wielokąta z dokładnością do izometrii wynika z możliwości opisania odległości pomiędzy dowolnymi wierzchołkami tylko w zależności od a i n.
Wniosek 2.5.3. n–kąt foremny o boku długości a ma wszystkie kąty wewnętrzne równe n−2n π, a promień R okręgu opisanego i promień r okręgu wpisanego w ten wielokąt wyrażają się przez
R = a
2 sinπn, r = a 2 tgπn.
Dowód. Określając n–kąt foremny jak w dowodzie twierdzenia 2.5.2 widzimy, że R = √n
b = 2 sina π n
, a r jest wysokością trójkąta 4wk−10wk, a stąd 2ra = tgπn.
Przykład 2.5.4. Trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny o kątach równych π3, czworokątem foremnym — kwadrat o wszystkich kątach prostych, zaś pięciokąt foremny ma kąty wewnętrzne 3π5 .
3 Wielościany
3.1 Definicja i podstawowe własności wielościanu
Definicja 3.1.1. Wielościanem nazywamy spójny podzbiór przestrzeni trójwymiarowej, który jest sumą mnogościową takiej rodziny czworościanów, że część wspólna dowolnych dwóch spośród nich jest ich wspólną ścianą, wspólną krawędzią lub wspólnym wierzchołkiem lub zbiorem pustym. Każdy taki podział wielościanu nazywamy triangulacją.
Definicja 3.1.2. Punkt danego wielościanu, który przy dowolnej triangulacji jest wierzchołkiem czworościanu triangulacji nazywamy wierzchołkiem wielościanu.
Krawędź wielościanu to odcinek łączący jego wierzchołki, który przy dowolnej triangulacji zawiera krawędź pewnego czworościanu tej triangulacji, zaś ścianą wielościanu jest wielokąt, którego wszyst- kimi bokami są krawędzie wielościanu, a wielokąt ten w dowolnej triangulacji zawiera ścianę czworo- ścianu tejże triangulacji.
Definicja 3.1.3. Charakterystyką Eulera wielościanu P nazywamy liczbę χ(P) = F − E + V,
gdzie F oznacza liczbę ścian, E — liczbę krawędzi, a V — liczbę wierzchołków wielościanu P.
Twierdzenie 3.1.4. Charakterystyka Eulera wielościanu wypukłego wynosi 2.
Uwaga 3.1.5. Charakterystykę Eulera równą 2 mają wszystkie wielościany, których suma mnogo- ściowa ścian (z topologią indukowaną) jest homeomorficzna ze sferą S2.
Inną charakterystykę mają np. wielościany, których suma ścian jest homeomorficzna z torusem T2 = S1× S1 (prostopadłościan z wydrążoną na wylot prostopadłościenną dziurą itp.); wówczas χ = 0.
Stwierdzenie 3.1.6. Dla dowolnego wierzchołka wielościanu wypukłego suma miar kątów wewnętrz- nych ścian, dla których ten wierzchołek jest wierzchołkiem ściany, jest mniejsza niż 2π.
3.2 Wielościany foremne
Definicja 3.2.1. Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego ściany są przy- stającycmi wielokątami foremnymi, każdy wierzchołek należy do tej samej liczby ścian. Przez Kn,k oznaczamy wielościan foremny o ścianach będących n–kątami foremnymi stykającymi się po k w każdym wierzchołku.
Twierdzenie 3.2.2. Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) co najwyżej pięć wielościanów forem- nych:
K3,3, K3,4, K3,5, K4,3, K5,3.
Dowód. Przypuśćmy, że wielościan foremny ma ściany będące n–kątami foremnymi i w każdym wierz- chełek tego wielościanu należy do dokładnie k ścian. Wówczas k 3, a suma kątów płaskich przy każdym wierzchołku wynosi kn−2n π i jest mniejsza od 2π na mocy stwierdzenia 3.1.6, bo wielościan foremny jest wypukły. Stąd 31 −n2< 2 lub inaczej n < 6. Ponadto w takim wielościanie
E = nF
2 , V = nF k .
Charakterystyka Eulera wielościanu foremnego, jako wypukłego jest więc równa F −nF
2 +nF k = 2.
Rozważmy przypadki:
n = 3) −F2 +3Fk = 2, czyli F = 6−k4k , skąd k < 6. Dla k = 3 otrzymujemy F = 4, dla k = 4 wielościan ma 8 ścian, a dla k = 5 — 20 ścian.
n = 4) −F + 4Fk = 2, czyli F = 4−k2k , co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 6.
n = 5) −3F2 +5Fk = 2, czyli F = 10−3k4k , co jest możliwe tylko dla k = 3 i wówczas F = 12.
Twierdzenie 3.2.3. Istnieje (z dokładnością do podobieństwa) dokładnie pięć wielościanów forem- nych. Każdy z nich można określić podając wierzchołki w trójwymiarowym prostokątnym układzie współrzędnych:
K3,3: (1, 0, 0), −12,
√3
2 , 0, −12, −
√3
2 , 0, (0, 0,√ 2) K3,4: (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1);
K3,5: (0, ±1, ±ϕ), (±1, 0, ±ϕ), (±1, ±ϕ, 0);
K4,3: (±1, ±1, ±1);
K5,3: (±1, ±1, ±1), (0, ±ϕ1, ±ϕ), (±ϕ1, 0, ±ϕ), (±ϕ1, ±ϕ, 0).
gdzie ϕ =
√ 5+1
2 i tym samym ϕ1 =
√ 5−1
2 . Dowód. Dla K3,3 krawędź ma długość √
3, a każda z 4 ścian powstaje przez wybór dowolnych trzech wierzchołków.
Określony w tezie wielościan K3,4 ma krawędź długości √
2, a trójkątne ściany mają po jednym wierzchołku z każdej serii.
Podany przykład wielościanu K4,3 ma krawędź długości 2, a każda z 6 kwadratowych ścian ma wierzchołki o ustalonej jednej współrzędnej.
Obliczenia dla K3,5 i K5,3 są nieco bardziej skomplikowane.
Przykład 3.2.4. Wielościany foremne mają następujace nazwy oraz liczby ścian, krawędzi i wierz- chołków:
K3,3: czworościan foremny, F = 4, E = 6, V = 4, K3,4: ośmiościan foremny, F = 8, E = 12, V = 6,
K3,5: dwudziestościan foremny, F = 20, E = 30, V = 12, K4,3: sześcian, F = 6, E = 12, V = 8,
K5,3: dwunastościan foremny, F = 12, E = 30, V = 20.
4 Izometrie płaszczyzny
4.1 Rozkład izometrii na symetrie osiowe
Stwierdzenie 4.1.1. Jeżeli izometria f płaszczyzny E2 spełnia dla pewnych trzech niewspółliniowych punktów A, B, C ∈ E2 warunki: f (A) = A, f (B) = B, f (C) = C, to f jest tożsamością na E2. Dowód. Jeżeli punkty A, B, C są niewspółliniowe i są punktami stałymi izometrii f , to dla dowolnego punktu X ∈ E2 mamy |f (X)A| = |f (X)f (A)| = |XA|. Przypuśćmy, że f (X) 6= X. Wtedy zgodnie z własnością symetralnej A ∈ sym Xf (X) i podobnie B ∈ sym Xf (X), C ∈ sym Xf (X), co jest sprzeczne z niewspółliniowością punktów A, B, C. Zatem dowolny punkt X ∈ E2jest punktem stałym izometrii f , która tym samym jest tożsamością.
Wniosek 4.1.2. Jeżeli dwie izometrie f, g płaszczyzny E2 spełniają dla pewnych trzech niewspółli- niowych punktów A, B, C ∈ E2 warunki: f (A) = g(A), f (B) = g(B), f (C) = g(C), to f = g.
Dowód. Wystarczy zauważyć, że przy powyższych założeniach izometria h = g◦f−1spełnia założenia poprzedniego stwierdzenia, jest więc tożsamością.
Twierdzenie 4.1.3. Każda różna od tożsamości izometria płaszczyny jest symetrią osiową lub zło- żeniem dwóch symetrii osiowych lub złożeniem trzech symetrii osiowych.
Dowód. Niech f będzie nietożsamościową izometrią płaszczyzny, a A, B, C punktami niewspółlinio- wymi. Oznaczmy A0 = f (A), B0 = f (B), C0 = f (C). Ze stwierdzenia 4.1.1 co najmniej jeden z nich nie przechodzi na siebie, np. A0 6= A. Oznaczmy przez k symetralną odcinka AA0, zaś B1 = sk(B), C1 = sk(C). Jeżeli B1 = B0 i C1 = C0, to na mocy wniosku 4.1.2 f = sk.
Załóżmy teraz, że punkty B, C nie przechodzą w symetrii sk odpowiednio na B0, C0, np. B1 6= B0. Oznaczmy przez l symetralną odcinka B1B0, zaś C2 = sl(C1). Zauważmy, że z izometryczności sk mamy |AB| = |A0B1|, a izometryczności f również |AB| = |A0B0|. Stąd |A0B1| = |A0B0|, co wraz z własnością symetralnej daje A0 ∈ l, a więc także sl(A0) = A0. Tym samym złożenie symetrii osiowych sl◦ sk przekształca A na A0 oraz B na B0. Jeżeli dodatkowo C2 = C0, to na mocy 4.1.2 f = sl◦ sk. Załóżmy wreszcie, że C2 6= C0 i niech m oznacza symetralną odcinka C2C0. Z izometryczności f , sk, sl otrzymujemy kolejno
|AC| = |A0C0|, |BC| = |B0C0|, |AC| = |A0C1|, |BC| = |B1C1|, |A0C1| = |A0C2|, |B1C1| = |B0C2|, skąd |A0C2| = |A0C0| oraz |B0C2| = |B0C0|. Z własności symetralnej mamy więc, że A0, B0 ∈ m, tak więc złożenie symetrii osiowych sm ◦ sl ◦ sk przekształca punkty A, B, C na punkty odpowiednio A0, B0, C0 i na mocy stwierdzenia 4.1.2 f = sm◦ sl◦ sk.
4.2 Izometrie parzyste
Stwierdzenie 4.2.1. Złożenie dwóch symetrii osiowych płaszczyzny o osiach równoległych jest trans- lacją.
Dokładniej, jeżeli l1 k l2 oraz A1 ∈ l1, A2 ∈ l2 są takie, że l1 ⊥ w =−−−→
A1A2 ⊥ l2, to sl2◦ sl1 = T2w. Dowód. Wektor u = kwkw jest jednostkowym wektorem normalnym do prostych l1, l2. Rozważane symetrie można opisać więc wzorami
sli(x) = x − 2hx − Ai, uiu, i = 1, 2.
