Temat: Obliczanie pola trójkąta.
Zad 7.46/188
Co mamy dane w zadaniu:
- dwa boki, czyli możemy oznaczyć, że a=42cm, b=20cm, - promień okręgu OPISANEGO na trójkącie, czyli R=21
1
4
cm - pole trójkąta P=336 cm2W zadaniu nie pisze co to za rodzaj trójkąta, więc korzystamy ze wzorów, pasujących do KAŻDEGO rodzaju trójkąta
a) W którym ze wzorów mamy R, P oraz boki trójkąta? We wzorze:
P= abc 4 R
Podstawmy do niego nasze dane:336= 42∙ 20 ∙c 4 ∙ 21 1
4
336= 840 ∙ c 4 ∙ 85
4
skracamy mianownik 4 ze stojącą obok ułamka czwórką
336= 840 ∙ c
85
pozbądźmy się mianownika. Mnożymy obie strony równania przez 8585 ∙336=85 ∙ 840 ∙ c
85
skracamy mianownik 85 ze stojącą obok liczbą 85 28560=840c840c=28560 /:840 c=34 cm.
b)W którym ze wzorów mamy r??? We wzorze: P= rp
W treści zadania mamy pole (P), ale nie mamy p. Co to było? p- to połowa obwodu trójkąta. Zatem:
Obw= 42+20+34=96cm p=48cm
Podstawmy więc nasze dane do wzoru P= RP 336=r∙48
48r=336 /:48 r=7 cm
Zad. 7.54
Wypiszmy dane i zróbmy rysunek:
P=25
√ 2
α=450
a) Znów korzystamy ze wzorów z pomarańczowej ramki (tylko dla trójkąta prostokątnego oraz trójkąta równobocznego mamy specjalne wzory). Wykorzystamy wzór z drugiej linijki wzorów, z tym że dopasujemy w nim oznaczenia do naszego rysunku:
P= 1
2 a ∙ a ∙ sinα
w tym wzorze mnożymy długości dwóch boków i sin kąta między nimi Podstawmy to, co mamy danego w zadaniu do tego wzoru:25
√ 2= 1 2 a ∙ a ∙sin 45°
25
√ 2= 1
2 a ∙ a ∙ √ 2
2
wymnożymy przez siebie ułamki prawej strony równania 25√ 2=a ∙ a ∙ √ 2
4
wymnożymy a przez a; daje to nam a2 25√ 2=a
2∙ √ 2
4 a
2∙ √ 2
4 =25 √ 2
√ 2
4 a
2=25 √ 2
/:√ 2
4 a
2= 25 √ 2 : √ 2
4
a
2= 25 √ 2
1 ∙ 4
√ 2
skracamy pierwiastki z dwócha
2= 25∙ 4
a2=100 /√
a=10
b)Jak policzyć trzeci bok trójkąta? Możemy skorzystać z Twierdzenia cosinusów, które możemy zapisać u nas tak:
b2=a2+a2-2a∙a∙cosα
b2=102+102-2∙10∙10∙cos450 b2=100+100-200∙
√ 2
2
b2=200-200∙
√ 2
2
skracamy mianownik 2 ze stojącą przy ułamku liczbą 200 b2=200-100∙√ 2
/√b=
√ 200−100 ∙ √ 2 możemy pod pierwiastkiem wyłączyć liczbę 100 przed nawias
b=
2 2−√¿
100¿¿
√¿
jak mamy mnożenie 100 i nawiasu, to osobno wyciągamy z nich pierwiastki
b=10
√ 2− √ 2
*** podpunkt b zawiera Twierdzenie cosinusów, więc obowiązuje na rozszerzeniu
Zadanie 7.47
Mamy trójkąt prostokątny! Więc możemy korzystać ze wzorów przypisanych tylko do niego.
(wzory z poprzednich lekcji)
Mamy r, mamy c… więc pasuje nam wzór ostatni:
r= a+b−c 2
Podstawmy do niego tyle, ile mamy:3= a+b−25
2
/∙2 mnożymy przez 2 obie strony równania, żeby pozbyć się mianownika2∙ 3=2∙ a+b−25
2
skracamy mianownik 2 ze stojącą obok dwójką6=a+b−25
6+25 = a+b 31 = a+b
I …. Co teraz? W tych wzorach nie mamy wzoru na pole trójkąta, które autor karze nam policzyć.
Spójrzmy więc na wzory z pomarańczowej ramki. Jest tam wzór P= rp, gdzie p – to połowa obwodu trójkąta.
Obw= a +b +c Obw = 31 +25 Obw= 56 p=28cm Zatem:
P= rp
P= 3∙28=84cm2
