Wykorzystanie krzywej Gaussa jako funkcji przynależności rozmytych argumentów liniowego równania różnicowego

Pełen tekst

(1)Zeszyty Naukowe nr 764. 2007. Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie. Jacek Wo∏oszyn Katedra Informatyki. Wit Urban Katedra Informatyki. Wykorzystanie krzywej Gaussa jako funkcji przynale˝noÊci rozmytych argumentów liniowego równania ró˝nicowego Streszczenie: Artykuł przedstawia problemy związane z próbą przezwyciężenia trudności wynikających z wykorzystania danych rozmytych o funkcji przynależności w postaci krzywej Gaussa w przetwarzaniu liniowych równań różnicowych. Taką próbę stanowi proponowany algorytm. Jego zasady zostały oparte na własnościach dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej rozmytej równania różnicowego w rozmytym szeregu czasowym, wygenerowanym przy pomocy takiej zależności. Słowa kluczowe: teoria zbiorów rozmytych, liczby rozmyte, arytmetyka rozmyta, symulacja komputerowa.. 1. Wst´p Istotnym problemem związanym z wykorzystaniem metod teorii zbiorów rozmytych w modelowaniu zjawisk społeczno-ekonomicznych jest postać funkcji przynależności wielkości rozmytych. Ograniczenia algorytmów numerycznych działań arytmetyki rozmytej wymagają, aby była ona z reguły aproksymowana przez złożenie funkcji liniowych z określonym poziomem dokładności, abstrahując od jej postaci wyjściowej. Pewne możliwości przezwyciężenia tych trudności, przynajmniej w odniesieniu do liniowych równań różnicowych, daje analiza dynamiki skalarnego wskaźnika, opartego na polu pod wykresem funkcji przynależności ich zmiennych rozmytych. Pozwala mianowicie sformułować propozycję algorytmu.

(2) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 40. przetwarzania wielkości o funkcjach przynależności w postaci krzywej Gaussa przy pomocy wskazanej klasy równań. Prezentacja tego algorytmu jest właśnie celem artykułu. W kolejnych jego częściach zostały przedstawione odpowiednio: założenia algorytmu, symulacyjnie określone własności dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności w rozmytym szeregu czasowym wygenerowanym przy pomocy równania różnicowego oraz opis samej procedury numerycznej. Opracowanie podsumowują wnioski. 2. Zało˝enia algorytmu Jak zostało to zaznaczone we wstępie, proponowany algorytm operacji numerycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych o gaussopodobnych funkcjach przynależności, znajduje zastosowanie w odniesieniu przede wszystkim do równania różnicowego. Warunkiem wykorzystania jego procedur jest znajomość matematycznego opisu dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej takiego równania. Można symulacyjnie wykazać, że jest to możliwe w przypadku, gdy wykorzystuje ono przekształcenie liniowe. Dlatego też dalsze rozważania dotyczące proponowanego algorytmu zostały ukierunkowane na tego typu postać równań różnicowych. Można ją przedstawić przy pomocy ogólnego modelu zgodnego z poniższym wzorem: xt + 1 = axt + b. (1). Podstawowa różnica pomiędzy znaną z analizy skalarnej postacią funkcji liniowej wiąże się z zastąpieniem zmiennych i parametrów przez rzeczywiste wartości rozmyte zdefiniowane zgodnie z następującą definicją: Definicja 1. [Kaufmann, Gupta 1985] Rozmyta liczba rzeczywista jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R mającym ciągłą funkcję przynależności μα oraz spełniającym warunek wypukłości: α ( y) ≥. α (w ) ∧. α (z). ∀w, y, z ∈ R, y ∈ [ w; z ]. (2). Klasę rozmytych liczb rzeczywistych oznacza się często jako N(R). Tak więc dla równania danego wzorem (1): xt, a, b ∈ N(R). (3). Dodatkowo w odniesieniu do zmiennej x0 jak też parametrów a i b przyjęto założenie o funkcji przynależności tych wielkości, zgodnie z którym odpowiadają one ogólnej postaci krzywej Gaussa: μx(y) = αe –βy. 2. (4).

(3) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 41. Taki wzór tej funkcji pozwala na aproksymację odpowiadającej jej klasy rzeczywistych liczb rozmytych przy pomocy tzw. trójkątnych liczb rozmytych [Kaufmann, Gupta 1985]. W tym celu należy wykorzystać wiedzę o monotoniczności funkcji (4) oraz wyznaczyć pole pod jej wykresem. . Px ( y ) e. y 2. . dy e(. y )2. dy. . (5). y, d dy . . Px ( y ) e. 2. . 1 d e d . 2. . Uwzględniając zmodyfikowaną postać wzoru (4): μx(y) = αe –b(y –y0 ) 2. (6). można stwierdzić, że tak zdefiniowana funkcja przynależności osiąga maksimum równe α, w y0. Wartość ta zgodnie z definicją liczby rozmytej musi być mniejsza lub równa jeden. Najczęściej przyjmuje się ten drugi wariant. Jak to już zostało wspomniane, rzeczywistą liczbę rozmytą o funkcji przynależności opisanej zależnością (6) można aproksymować przy pomocy liczby trójkątnej zdefiniowanej w następujący sposób: z ∈ N ( R). z. 0 a1z + b1 = α a2 z + b2 0. z ʺ za za ʺ z ʺ y0 z = y0 ∧ zb − y0 = y0 − za. (7). y0 ʺ z ʺ zb zb ʺ z. Z powyższego wzoru wynika, że dla wyznaczenia nieznanych jego parametrów: za, zb, a1, b1, a2, b2. (8). wystarczy znajomość dwóch pierwszych wielkości. Te zaś można obliczyć korzystając z warunku, który musi spełniać trójkątna liczba rozmyta, aby można ją było uznać za aproksymację liczby wyjściowej o gaussopodobnej funkcji przynależności tzn.: xG ∈ N ( R ) ∧ P. Z. (z). =Px. ( y) G. xG ( y ) = α. e− b ( y − y ) 0. 2. ∧ z ⊕ xG. (9).

(4) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 42. Można zauważyć, że: P. Z. (z). = α( zb − y0 ). (10). Z. (z). = α( y0 − za ). (11). lub P. Tak więc zależność (9) można przekształcić uwzględniając także wyniki obliczeń ze wzoru (5), otrzymując w rezultacie zależność: α( zb − y0 ) =. α ≠ β. (12). ≠ β. (13). Należy ją obustronnie podzielić przez α: ( zb − y0 ) =. Po odpowiednim przekształceniu uwzględniającym równania (10) i (11) otrzymujemy wzory na szukane dwie wielkości: zb = y0 +. ≠ β. (14). ≠ za = y0 − β. Przykładem dla powyższej procedury może być aproksymacja rzeczywistej liczby rozmytej xG o następującej funkcji przynależności: xG ( y ) =. e−0,1( y−1). 2. (15). Można w tym celu wykorzystać następującą liczbę: z ∈ N ( R). z. z ʺ -4,60499 0 0,178412z + 0,821588 -4,660499 ʺ z ʺ 1 = 1 z =1 -0,178412z + 1,1784124 1 ʺ z ʺ 6,604991 0 6,604991 ʺ z. Wykresy funkcji przynależności obu liczb przedstawia rys. 1.. (16).

(5) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 43. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 –10. –5. 0. 5. 10. –0,2 x. z. Rys. 1. Wykres krzywej Gaussa funkcji przynależności rzeczywistej zmiennej rozmytej xG oraz funkcji przynależności aproksymacji tej wielkości przy pomocy trójkątnej liczby rozmytej z∆ Źródło: opracowanie własne.. Zastosowanie opisanego algorytmu aproksymacji funkcji przynależności wiąże się z modelowaniem dynamiki pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej rozmytej, w klasie liniowych równań różnicowych. Wykorzystana w opracowaniu procedura służąca realizacji tego celu wymaga wierzchołkowej notacji rzeczywistej liczby rozmytej, zaproponowanej w pracy [Urban 1999]. Przyjmuje ona następującą postać: n. A ∈ N ( R). A=•. ~. A ( xi ) /. xi. xi ,. A ( xi ). ∈R. (17). i =1. gdzie μA(x) oznacza funkcję przynależności liczby A. Ze względu na liniową postać tej funkcji dla trójkątnych rzeczywistych liczb rozmytych pomiędzy wierzchołkami jej wykresu, wzór ten można przekształcić do następującej postaci: 2. A ∈ N ( R). A=•. ~. ( mi xi + ni ) / xi m i , ni , xi ∈ R. (18). i =1. W przetwarzaniu określonych zgodnie z przyjętymi założeniami rzeczywistych danych rozmytych znajdują zastosowanie działania arytmetyki rozmytej zgodnie z definicjami podanymi w pracy [Kaufmann, Gupta 1985]..

(6) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 44. Definicja 2. Zakładając, że A i B ∈ N(R) oraz przyjmując: a) f (x1, x2) = x1 + x2 dla operacji dodawania A + B ∈ N(R) A+ B ( y ) =. sup min( x1 , x2 ∈ R y = x1 + x2. A ( x1 ),. B ( x2 )). ∀y ∈ R. (19). b) f (x1, x2) = x1 – x2 dla operacji odejmowania A – B ∈ N(R) A− B ( y ) =. sup min( x1 , x2 ∈ R y = x1 – x2. A ( x1 ),. B ( x2 )). ∀y ∈ R. (20). c) f (x1, x2 ) = x1 · x2 dla operacji mnożenia A · B ∈ N(R) A ⋅ B ( y) =. sup min( x1 , x2 ∈ R y = x1 ⋅ x2. A ( x1 ),. B ( x2 )). ∀y ∈ R. (21). d) f (x1, x2) = x1/x2, x2 ≠ 0 dla operacji dzielenia A/B ∈ N(R) A/ B ( y) =. sup x1 ∈ R , x2 ∈ R – {0} y = x1 / x2. min(. A ( x1 ),. B ( x2 )). ∀y ∈ R. (22). Wykorzystanie tak zdefiniowanych na poziomie teorii działań na rzeczywistych liczbach rozmytych wiąże się w prezentowanym algorytmie z wygenerowaniem w oparciu o konkretną postać modelu (1) rozmytego szeregu czasowego dla jego zmiennej. Celem tej operacji, realizowanej poprzez eksperyment symulacyjny jest wspomniana wcześniej aproksymacja dynamiki pola pod wykresem jej funkcji przynależności. W związku z zaakceptowaną właśnie na taką potrzebę wierzchołkowo-liniową reprezentacją takiej funkcji do praktycznej realizacji wspomnianych działań można zastosować algorytmy numeryczne arytmetyki rozmytej zaprezentowane w artykule [Urban 1999]. 3. Modelowanie dynamiki pola pod wykresem funkcji przynale˝noÊci zmiennej równania ró˝nicowego Wygenerowany w oparciu o równanie różnicowe, przy wskazanych w poprzedniej części założeniach rozmyty szereg czasowy dla zmiennej takiego modelu, stanowi podstawę matematycznej aproksymacji zmienności pola pod wykresem jej funkcji przynależności W tym celu wyznaczone w wyniku obliczeń kolejne elementy składowe takiego szeregu należy poddać zabiegowi wyostrzania w oparciu o wskaźnik pola pod wykresem funkcji przynależności. Wskaźnik ten powinien zostać każdorazowo obliczony z następującego wzoru:.

(7) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 45. . x N ( R ) Px . x ( xx )dxx. (23). . który w przypadku przyjętej wcześniej zasady aproksymacji wyjściowej postaci rzeczywistej zmiennej rozmytej przy pomocy liczby trójkątnej można sprowadzić do poniższej postaci: . Px . 2. yi 1. x ( xx )dxx ( (mi xx ni ) dxx ) i 1. . (24). yi. Wielkości α i β oznaczają końce przedziału wartości, dla których funkcja przynależności trójkątnej rzeczywistej liczby rozmytej przyjmuje wielkości nieujemne oraz poza którym jest równa zero. Na podstawie uzyskanych rezultatów eksperymentów symulacyjnych z modelami opierającymi się na wykorzystaniu liniowych równań różnicowych zgodnych ze wzorem (1) wynika, że dynamikę wskaźnika (24) można w takim przypadku przedstawić przy pomocy następującej zależności matematycznej: Px , t (t ) =. 1 αt + β e + Cz + D α2. t∈R. (25). Powyższa notacja ulega upraszczającej modyfikacji w przypadku wykorzystania do aproksymacji zmienności pola pod wykresem funkcji przynależności zmiennej równania wartości empirycznych pierwszej pochodnej tego pola zamiast drugiej. Podstawę obliczenia tych wielkości powinien stanowić wspomniany wcześniej, wyostrzony na podstawie wskaźnika (24) rozmyty szereg czasowy dla tej zmiennej. Wówczas wzór (25) przekształca się do poniższej postaci: Px , t (t ) =. 1 αt + β e +D α. t∈R. (26). Wykorzystanie szeregu empirycznych wartości pierwszych pochodnych wskaźnika pola wiąże się jednak ze zmniejszeniem stopnia dopasowania uzyskanego matematycznego modelu jego dynamiki do danych rzeczywistych pochodzących z eksperymentu symulacyjnego. Dane te, jak to już było wspominane, powinny stanowić podstawę estymacji parametrów takiej zależności. 4. Opis algorytmu W celu lepszej prezentacji algorytmu numerycznego przetwarzania liniowych równań różnicowych przy przyjętych w pierwszej części założeniach zostanie on przedstawiony w odniesieniu do konkretnej postaci modelu (1)..

(8) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 46. xt +1 = axt + b xt ∈ N ( R), t = 0, 1, ⊃ , n a, b ∈ N ( R) x0 ( x x0 ) =. e. (27). −314,1593(x X0 −1)2. a ( xa ) =. e−314,1593(x −1). b ( xb ) =. e−3,141593(x –2). 2. a. 2. Wykresy przebiegu funkcji przynależności dla wielkości x0, a oraz b przedstawiają rys. 2–4. Wymienione wielkości mogą być aproksymowane zgodnie z zaproponowaną procedurą przez trójkątne liczby rozmyte. x0 = ~ 0 / 0, 9 + ~ 1 / 1 + ~ 0 / 1,1 a = ~ 0 / 0, 9 + ~ 1 / 1 + ~ 0 / 1,1 ~. ~. (28). ~. b = 0 / 0+ 1/ 2+ 0 / 3. Dla powyższych wartości należy przeprowadzić eksperymenty symulacyjne z modelem (27). Następnie otrzymany szereg rozmyty {x t} powinien zostać wyostrzony przy pomocy wskaźnika pola pod wykresem funkcji przynależności zgodnie ze wzorem (24). Otrzymany zostaje w ten sposób szereg skalarny pól {Px }. t. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,6. 0,7. 0,8. 0,9. 1. 1,1. 1,2. 1,3. 1,4. –0,2. Rys. 2. Przebieg funkcji przynależności rzeczywistej zmiennej rozmytej x0 modelu (27) Źródło: opracowanie własne..

(9) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 47. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,6. 0,7. 0,8. 0,9. 1. 1,1. 1,2. 1,3. 1,4. –0,2. Rys. 3. Przebieg funkcji przynależności rzeczywistego parametru rozmytego a modelu (27) Źródło: opracowanie własne.. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,5. 1. 1,5. 2. 2,5. 3. 3,5. Rys. 4. Przebieg funkcji przynależności rzeczywistego parametru rozmytego b modelu (27) Źródło: opracowanie własne.. Elementy tego szeregu mogą być aproksymowane zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami przy pomocy funkcji wykładniczej oraz w oparciu o szereg empirycznych wartości pierwszej albo drugiej pochodnej. W odniesieniu do modelu (27) zastosowano drugą opcję. Uzyskano w ten sposób aproksymację danych empirycznych opisaną poniższym równaniem: Px , e ≈ Px (t) = 142,7476e–0,083698t–1,76767 –1,02152t – 24,2245 t. t. (29). Wykres dopasowania szeregu pól {Px } otrzymanych z eksperymentu symulacyjt nego oraz wyliczonych na podstawie wzoru (29) przedstawiony został na rys. 5..

(10) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 48. 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0. 5. 10. dane empiryczne. 15. 20. dane teoretyczne. Rys. 5. Wykres zbieżności empirycznych i teoretycznych wartości pola pod wykresem funkcji przynależności otrzymany dla modelu (27) Źródło: opracowanie własne.. Wzór ten można zastosować do wyznaczania wielkości pola dla dowolnego momentu t w przebiegu symulacji z modelem (27) przy wartościach parametrów a, b oraz startowej wielkości zmiennej x określonych przez zestawienie (28). Oczywiście uzyskane w taki sposób dane odnoszą się do trójkątnej postaci rzeczywistych liczb rozmytych wykorzystywanych w eksperymentach dla wspomnianego modelu. Są one jednak aproksymacją wyjściowej postaci tych wielkości o funkcji przynależności wyrażonej krzywą Gaussa. Dlatego dla wyznaczonej przy pomocy wzoru (29) wartości pola pod wykresem funkcji przynależności można próbować zastosować postępowanie odwrotne, zmierzające do ustalenia postaci wspomnianej krzywej, dla której wyliczona wielkość stanowi charakterystykę jej aproksymacji trójkątnej. W tym celu niezbędna jest jednak znajomość miejsca maksimum funkcji przynależności przetwarzanych danych rozmytych oraz samego maksimum. Co do pierwszej z wielkości zarówno z postaci trójkątnej funkcji przynależności, jak też własności krzywej Gaussa oraz działań arytmetyki rozmytej wynika następująca zależność: *x. ºy. max{ x. ( x )}, º y xºy. *x max{ x ( x x )}, *y max{ y ( x y )}. x º y ( x x º y ) *x º y x ( x x ) *x y ( x y ) *y. º {, ,*, /} N ( R ). (30).

(11) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 49. Pozwala ona zastosować bezpośrednio model (27) do opisu dynamiki zmiany miejsca maksimum funkcji przynależności zmiennej x. Przyjmuje on wówczas postać: * * * xt = max{ xt ( x x )} ∧ xt ( x xt ) = x t. x *xt+1 = x *xt + 2. (31). x *x = 1 0. Tym samym dla dowolnego momentu t w symulacjach dynamiki zmiennej rozmytej x opisanej modelem (27) można już podać dwa parametry jej funkcji przynależności w postaci krzywej Gaussa. Podobnie jest zresztą także jeśli chodzi o wynikową wartość maksimum tej funkcji, która jest łatwa do wyznaczenia w oparciu o własność opisaną wzorem (30), jak też wynika z definicji działań arytmetyki rozmytej. Należy przy tej okazji dodać, że wielkość maksimum funkcji przynależności najczęściej przyjmuje się w danych rozmytych na poziomie jeden. Dzięki temu otrzymana w wyniku przetwarzania liczba rozmyta również ma funkcję o tej samej wartości tego parametru. Przedstawiona sytuacja ma miejsce także w odniesieniu do modelu (27). W oparciu o tak wyznaczone charakterystyki krzywej Gaussa funkcji przynależności można wyznaczyć jej wzór matematyczny: * xt. = max{. P x ( y) = t. xt ( x xt. * xt. β. )} ∧. ≠. β=. * xt ( x xt. )=. *2 xt. P x ( y )2. * xt. ∧ y = x xt − x *xt. ≠. t. (32). * 2. xt. xt ( y ) =. − ≠y P x ( y )2 * t xt e. 2. * 2. − xt ( x xt. )=. * xt e. xt. Px. 2. ≠ ( x x t − x*x t )2. t (y). W przypadku gdy: * xt. =1. (33). powyższą zależność można przekształcić do następującej postaci: − xt ( x xt. )=e. ≠ ( x x − x*xt )2 P x ( y )2 t t. (34). Dla modelu (27) opisaną procedurę zastosowano dla t = 1 otrzymując dane wyjściowe do estymacji gaussopodobnej funkcji przynależności:.

(12) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 50. P x ( xx ) = 1,252942 1. 1. x *x1. =3. * x1. =1. (35). Na ich podstawie można wyznaczyć matematyczny wzór tej funkcji. x1 ( x x1 ) =. e. −2,001188(xx 1 – 3) 2. (36). W celu weryfikacji uzyskanych rezultatów dokonano sprawdzenia jej wartości dla wybranych wielkości xx. Wiązało się to z wykorzystaniem algorytmów numerycznych dla operacji arytmetyki rozmytej zaproponowanych przez A. Kaufmanna [1985]. Zakładają one spełnienie przez rzeczywistą liczbę rozmytą warunków wypukłości oraz normalności. W takim bowiem przypadku można dla liczby rozmytej A wyznaczyć przedziały odpowiadające poziomom dopuszczalności α wartości funkcji przynależności, tej liczby. Definicja 3. [Kaufmann, Gupta 1985] Jeżeli A ∈ N(R), to poziom dopuszczalności wartości funkcji przynależności A, nazywany krótko poziomem dopuszczalności, α ∈ [0; 1] pozwala wyznaczyć przedział: Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α. (37). Uwzględniając własność wypukłości liczby rozmytej A, można stwierdzić, że przedział A α jest malejącą funkcją poziomu dopuszczalności α. Wynika z tego następująca definicja. Definicja 4. [Kaufmann, Głupta 1985] Jeżeli A ∈ N(R) oraz A spełnia warunek wypukłości, to dla każdych α, α’ ∈ [0; 1] takich, że α’ > α jeżeli: Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α}. (38). Aα ' = [ a1(α ') ; a2(α ') ] = { x A ∈ R |. A ( x) ≥. α '}. (39). wówczas lub inaczej. Aα' ⊂ Aα [ a1(α ') ; a2(α ') ]. [ a1(α ) ; a2(α ) ]. (40) (41). Na podstawie dwóch przedstawionych definicji można podać określenia podstawowych działań na liczbach rozmytych..

(13) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 51. Definicja 5. [Kaufmann, Gupta 1985] Jeżeli liczby rozmyte A i B ∈ N(R) oraz Aα i Bα oznaczają przedziały przy dopuszczalnym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R |. A (x) ≥. α}. (42). Bα = [b1(α ) ; b2(α ) ] = { x B ∈ R |. B (x) ≥. α}. (43). wówczas ∀ α ∈ [0;1] A + B = [ a1(α ) ; a2(α ) ] + [b1(α ) ; b2(α ) ] = [ a1(α ) + b1(α)) ; a2(α ) + b2(α ) ]. (44). A – B = [ a1(α ) ; a2(α ) ] − [b1(α ) ; b2(α ) ] = [ a1(α ) − b1(α)) ; a2(α ) − b2(α ) ]. (45). oraz Ze względu na problemy z jednoznacznym zdefiniowaniem dwóch pozostałych działań, tj. mnożenia i dzielenia przy pomocy podejścia opartego na poziomach dopuszczalności, przestrzeń, w której są określane argumenty tych operacji zawęża się do rzeczywistych liczb dodatnich R+. Definicja 6. [Kaufmann, Gupta 1985] Jeżeli liczby rozmyte A i B ∈ N(R+) oraz Aα i Bα oznaczają przedziały przy dopuszczalnym poziomie α dla tych liczb wyznaczone wzorami: Aα = [ a1(α ) ; a2(α ) ] = { x A ∈ R + |. A (x) ≥. α}. (46). Bα = [b1(α ) ; b2(α ) ] = { x B ∈ R + |. B (x) ≥. α}. (47). wówczas ∀ α ∈ [0;1] A * B = [ a1(α ) ; a2(α ) ]*[b1(α ) ; b2(α ) ] = [ a1(α ) * b1(α)) ; a2(α ) * b2(α ) ]. (48). A / B = [ a1(α ) ; a2(α ) ] / [b1(α ) ; b2(α ) ] = [ a1(α ) / b1(α)) ; a2(α ) / b2(α ) ]. (49). oraz Zgodnie z przedstawionymi definicjami można dla argumentów działań arytmetyki rozmytej modelu (27) wyznaczyć przedziały odpowiadające wybranym poziomom dopuszczalności ich funkcji przynależności. W odniesieniu do rozważanego przypadku wykorzystano następujące wielkości takich poziomów: 0,4, 07, 0,9. (50). Odpowiadają im przedziały dla zmiennej i parametrów zestawione w tabeli 1. Stanowią one podstawę wyznaczenia przedziałów przedstawionych w tabeli 2, wyniku pierwszego przebiegu symulacji dla modelu (27)..

(14) Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 52. Tabela 1. Zestawienie przedziałów odpowiadających wybranym poziomom funkcji przynależności zmiennej x0 oraz parametrów a i b modelu (27). Wybrane poziomy funkcji przynależności. Zmienne a. 0,4. 0,7. 0,9. <0,945994; 1,054006> <0,966305; 1,033695>. b. <1,45994; 2,54006>. x0. <0,981687; 1,018313>. <1,663053; 2,336947>. <1,816868; 2,183132>. <0,945994; 1,054006> <0,966305; 1,033695>. <0,981687; 1,018313>. Źródło: opracowanie własne.. Tabela 2. Zestawienie przedziałów odpowiadających wybranym poziomom funkcji przynależności zmiennej x1 wyniku pierwszego przebiegu symulacji modelu (27). Wybrane poziomy funkcji przynależności. Zmienna x1. 0,4. 0,7. 0,9. <2,354845; 3,650988> <2,596799; 3,405472> <2,780577; 3,220094>. Źródło: opracowanie własne.. Odnoszą się one do tych samych poziomów funkcji przynależności, określonych w zestawieniu (50). Odpowiadają więc one zgodnie z definicjami (1)–(5) poziomom właściwych przedziałów argumentów operacji rozmytych składających się na badany model. Tabela 3. Zestawienie wartości funkcji przynależności wyznaczonych przy pomocy wzoru (36) dla granic przedziałów zmiennej x1 wyniku pierwszego przebiegu symulacji modelu (27) otrzymanych przy pomocy algorytmów opartych na definicjach (1)–(5). Granica przedziału. Wartość funkcji przynależności wyznaczona przy pomocy wzoru (36). 2,354845. 0,434767. 2,596799. 0,722285. 2,780577. 0,908146. 3,220094. 0,90761. 3,405472. 0,719636. 3,650988. 0,428239. Źródło: opracowanie własne.. Dla granic przedziałów wynikowych można wyznaczyć wartości funkcji przynależności przy pomocy wzoru (36) i porównać z wielkościami, którym odpowiadają zgodnie z przedstawioną procedurą. Zestawienie takie zawiera tabela 3. Jej uzupełnieniem jest natomiast wykres na rys. 6. Prezentuje on graficznie aproksymację funkcji przynależności zmiennej x w pierwszym przebiegu symulacji.

(15) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 53. przy pomocy wartości poziomów (50) odpowiadających granicom wyznaczonych przedziałów oraz wspomnianych wielkości tej funkcji obliczonych przy użyciu proponowanego w opracowaniu algorytmu.. 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 2. 2,5. 3 (4,23). 3,5. 4. (4,9). Rys. 6. Wykres aproksymacji fragmentu funkcji przynależności zmiennej x w pierwszym przebiegu symulacji modelu (27) przy pomocy granic przedziałów z tabeli 2 oraz odpowiadających im wartości funkcji z zestawienia (50) oraz wyznaczonych przy pomocy wzoru (36) Źródło: opracowanie własne.. 5. Wnioski Oczywiście przy analizie zarówno danych w tabelach, jak też wykresu nie należy zapominać, że przedstawiona procedura numeryczna umożliwia uzyskanie pewnej aproksymacji funkcji przynależności w postaci krzywej Gaussa, zmiennej rozmytej liniowego równania różnicowego o ogólnej postaci określonej wzorem (1). Uzyskany poziom dopasowania wydaje się być jednak stosunkowo wysoki. Wniosek taki można wyciągnąć zarówno na podstawie przedstawionego przykładu, jak też rezultatów eksperymentów nie ujętych w artykule. Ponadto zastosowana metoda postępowania pozwala operować wzorem matematycznym krzywej Gaussa funkcji przynależności zmiennej rozmytej w działaniach arytmetyki rozmytej liniowego równania różnicowego. Poszerza się tym samym możliwości wykorzystania metod teorii zbiorów rozmytych m.in. w technikach symulacji komputerowej. Teza taka wynika ze znaczenia funkcji gaussopodobnych w opisie zjawisk ekonomiczno-społecznych, w kategoriach rachunku prawdopodobieństwa, jak też wspomnianej teorii. Można zresztą wskazać związki pomiędzy systemem probabilistycznym a rozmytym, jak to zostało zrobione w pracy [Drakopoulos.

(16) 54. Jacek Wołoszyn, Wit Urban. 1995]. Krzywa Gaussa wydaje się szczególnie predestynowana do opisu badanych problemów badawczych, zwłaszcza poprzez pryzmat rozkładów wybranych wielkości. Taka też sytuacja występuje w omawianym przypadku modelu (14), gdzie krzywa ta spełnia funkcję swoistego rozkładu przynależności dla zmiennej rozmytej. Ponadto ze względu na opisane przekształcenia związane z aproksymacją trójkątną gaussopodobnej funkcji przynależności oraz odwrotnie, można uogólnić problematykę analizy z wykorzystaniem liczb trójkątnych także na klasę tych liczb o funkcji przynależności w postaci krzywej Gaussa. Literatura Anile A.M., Deodato S., Privitera G. [1994], Implementing Fuzzy Arithmetic, Dipartimento Di Matematica, Universit’a Degli Studi Di Catania, Italy. Chang W.K., Chów L.R., Chang S.K. [1984], Arithmetic Operations on Level Sets of Convex Fuzzy Numbers, Fuzzy Sets and Systems. Forrester J.W. [1961, 1968], Principles of Systems, Industrial Dynamics (MIT Press, Cambridge Mass.). Hanczar P. [1998], Symulowane wyżarzanie – optymalizacja procesów logistycznych, Ekonometria czasu transformacji, red. A.S. Barczak, WU AE, Katowice. Homer J.B. [1996], Why we Iterate: Scientific Modeling in Theory and Practice, System Dynamics Review, vol. 12, Spring 1996. Kaufmann A., Gupta M.M. [1985], Introduction to Fuzzy Arithmetic, Theory and Applications New York: Van Nostrand. Klir G.J., Pan Y. [1998], Constrained Fuzzy Arithmetic: Basic Questions and Some Answers. Soft Computing 2 (1998), no 2. Munakata Y. [1994], Fuzzy Systems: Ań Overview Communications of the ACM, vol. 37, no 3, March. Navara M., Zabokrtsk’y, Z. [2000], Computational problems of constrained fuzzy arithmetic [w:] The State of the Art in Computational Intelligence, P. Sinc’ak, J. Vasc’ak, V. Kvasnicka, R. Mesiar (eds.), Physica-Verlag, Heidelberg–New York. Resnick R., Halliday D. [1973], Fizyka, PWN, Warszawa. Schuster H.G. [1995], Chaos deterministyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa. Song Q., Leland R.P., Chissom B.S. [1995], A new Fuzzy Time-series Model of Fuzzy Number Observations, Fuzzy Sets and Systems, vol. 73, August. Turksen L.B. [1988], Stochastic Fuzzy Sets. A Survey Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Series, vol. 310, Springer. Urban W. [1999], Podstawy rozmytej dynamiki systemowej, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 522, Kraków. Urban W. [2001], Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deterministycznego w przestrzeni rozmytych liczb rzeczywistych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków. Urban W. [2004], Wykorzystanie teorii grawitacji w analizie funkcjonowania systemów społeczno-ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 641, Kraków. Urban W. [2006], Wybrane wskaźniki skalarnej analizy rozmytych szeregów czasowych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, nr 724, Kraków..

(17) Wykorzystanie krzywej Gaussa…. 55. Wołoszyn J., Urban W. [2002], Koncepcja filtru aproksymująco – przeskalowującego w działaniach arytmetyki rozmytej, AE w Krakowie, Kraków, nr 604. Wołoszyn J., Urban W. [2004], Symulacyjna aproksymacja uwarunkowań numerycznych wykorzystania ogólnej teorii grawitacji do opisu relacji społeczno-ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 641. Wołoszyn J., Urban W. [2006], Symulacyjna analiza zbieżności szeregów czasowych skalarnych wskaźników dla rzeczywistych liczb rozmytych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 724. Wołoszyn J. [1990], Grafy rozmyte i możliwości ich wykorzystania w ekonomii, Zeszyty Naukowe AE, Seria Specjalna: Monografie, nr 90, Kraków. Wołoszyn J. [2000], Elementy teorii chaosu deterministycznego w badaniach systemów ekonomicznych, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Kraków, nr 551. Zadeh L.A. [1996], Fuzzy Logic, Computing with Words, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 4, May. Utilization of the Gauss Curve as a Membership Function for Fuzzy Arguments of Discrete Linear Differential Equation The study presents problems connected with an attempt of overcoming difficulties that are results of application of fuzzy data with Gaussian membership function to the processing of discrete linear differential equations. The algorithm proposed in the paper is such an attempt. Its rules have been based on features of dynamics of the area located under the chart of membership function for fuzzy variable of differential equation in a fuzzy time series that has been created by such equation. Key words: fuzzy sets theory, fuzzy numbers, fuzzy arithmetic, computer simulation..

(18)