3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi
Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci
0
=
+
+
By
C
Ax
,
gdzie
A
,
B
,
C
∈
R
i
A
2+
B
2≠
0
Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi nazywamy parę liczb, które spełniają
dane równanie.
Ilustracją graficzną równania liniowego z dwiema niewiadomymi jest prosta.
Przykład 3.3.1. Sprawdź, która z par
(
−
1
,
6
) ( )
,
5
,
0
jest rozwiązaniem równania
0
5
2
+
=
+
−
x
y
Rozwiązanie
Komentarz
0
5
2
+
=
+
−
x
y
(
−
1
,
6
)
( )
0
18
0
5
12
1
0
5
6
2
1
=
=
+
+
=
+
⋅
+
−
−
Odp.
(
−
1
,
6
)
nie jest rozwiązaniem równania.Sprawdzamy , czy para
(
−
1
,
6
)
jest
rozwiązaniem równania, podstawiając6
,
1
=
−
=
y
x
Po uproszczeniu otrzymujemy równość fałszywą.
Zatem
(
−
1
,
6
)
nie jest rozwiązaniem równania.0
5
2
+
=
+
−
x
y
( )
5
,
0
0
0
0
5
0
2
5
=
=
+
⋅
+
−
Odp.
( )
5
,
0
jest rozwiązaniem równania.Sprawdzamy , czy para
( )
5
,
0
jest
rozwiązaniem równania, podstawiając0
,
5
=
=
y
x
Po uproszczeniu otrzymujemy równość prawdziwą.
Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi
Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi jest układ
=
+
=
+
2 2 2 1 1 1c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi moŜna rozwiązać: metodą podstawiania,
metodą przeciwnych współczynników , metodą graficzną.
Przykład 3.3.2. RozwiąŜ układ równań
=
+
=
−
3
2
8
2
3
y
x
y
x
metodą podstawiania
Rozwiązanie
Komentarz
=
+
=
−
3
2
8
2
3
y
x
y
x
(
)
−
=
=
⋅
−
=
=
−
=
=
−
=
+
=
+
−
=
=
+
−
−
=
=
−
−
−
=
=
−
1
2
2
2
3
2
2
3
7
:
/
14
7
2
3
6
8
4
3
2
3
8
4
6
3
2
3
8
2
3
2
3
2
3
8
2
3
y
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
x
x
x
y
y
x
Odp. Układ ma jedno rozwiązanie
−
=
=
1
2
y
x
Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu
niewiadomej z jednego równania i
podstawieniu jej do drugiego, otrzymujemy wówczas równanie z jedną niewiadomą , które rozwiązujemy.
Z drugiego równania wyznaczamy
niewiadomą y i podstawiamy ją do pierwszego równania.
Drugie równanie przepisujemy, a pierwsze rozwiązujemy.
Znalezioną wartość x podstawiamy do drugiego równania i obliczamy y.
Przykład 3.3.3. RozwiąŜ układ równań metodą
=
+
=
−
1
2
5
4
3
2
y
x
y
x
przeciwnych współczynników
Rozwiązanie
Komentarz
=
+
=
−
1
2
5
4
3
2
y
x
y
x
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
+
−
=
+
−
⋅
=
+
−
⋅
=
−
1
4
10
20
15
10
2
/
1
2
5
5
/
4
3
2
y
x
y
x
y
x
y
x
1
19
:
/
19
19
1
20
4
10
15
10
−
=
−
=
+
−
=
+
+
+
−
y
y
y
x
y
x
( )
2
1
2
:
/
1
2
3
4
2
4
3
2
4
1
3
2
4
3
2
=
=
−
=
=
+
=
−
⋅
−
=
−
x
x
x
x
x
y
x
Odp. . Układ ma jedno rozwiązanie
−
=
=
1
2
1
y
x
Metoda przeciwnych współczynników
polega na pomnoŜeniu równania lub równań przez liczbę lub liczby , w taki sposób , aby otrzymując przy jednej niewiadomej przeciwne współczynniki, wówczas po dodaniu stronami obu równań otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą które rozwiązujemy.
Aby przy niewiadomej x otrzymać przeciwne współczynniki , mnoŜymy pierwsze równanie przez –5 , a drugie przez 2.
Równania dodajemy stronami i rozwiązujemy równanie z niewiadomą y.
Znalezioną wartość y podstawiamy do pierwszego równania i obliczamy x.
Ilustracja graficzna układu równań liniowych
Liczba
rozwiązań
Nazwa układu
Proste przecinają się w jednym
punkcie (x, y ) , którego współrzędne
(x ,y) są rozwiązaniem układu jedno rozwiązanie (x ,y) układ oznaczony lub układ równań niezaleŜnych
Proste są równoległe rozłączne, nie mają punktów wspólnych
nie ma rozwiązania układ sprzeczny lub
układ równań sprzecznych
Proste pokrywają się , kaŜdy punkt leŜący na tych prostych jest rozwiązaniem układu nieskończenie wiele rozwiązań układ nieoznaczony lub układ równań zaleŜnych
Przykład 3.3.4. RozwiąŜ algebraicznie układ równań. Wykonaj ilustrację graficzną układu.
a)
=
−
=
+
−
2
3
5
1
2
y
x
y
x
Rozwiązanie
Komentarz
+
=
−
=
+
−
=
−
⋅
=
+
−
2
3
5
5
10
5
2
3
5
5
/
1
2
y
x
y
x
y
x
y
x
---
1
7
:
/
7
7
2
5
3
5
10
5
=
=
+
=
−
+
+
−
y
y
y
x
y
x
( )
1
1
:
/
1
2
1
1
1
2
1
2
=
−
−
=
−
−
=
−
=
⋅
+
−
=
+
−
x
x
x
x
y
x
Odp. Układ ma jedno rozwiązanie
=
=
1
1
y
x
Rozwiązujemy układ równań algebraicznie metodą przeciwnych współczynników.
=
−
=
+
−
2
3
5
1
2
y
x
y
x
Metoda graficzna (ilustracja graficzna)układu polega na narysowaniu prostych opisanych poszczególnymi równaniami, a następnie odczytaniu z rysunku punktów wspólnych obu prostych.
2
2
1
2
:
/
1
2
1
2
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
=
+
−
x
-1
1
3
2
2
1
x
y
=
+
0
1
2
Z pierwszego równania wyznaczamy y . Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty naleŜące do prostej o równaniu
2
2
1
x
y
=
+
2
3
5
x
−
y
=
( )
3
5
2
3
:
/
5
2
3
−
−
=
−
−
=
−
x
y
x
y
x
-2
1
4
3
5
2
−
−
=
x
y
-4
1
6
Z drugiego równania wyznaczamy y . Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty naleŜące do prostej o równaniu
3
5
2
−
−
=
x
y
Odp. Układ ma jedno rozwiązanie
( )
1
,
1
.Zaznaczając punkty z tabelek rysujemy proste.
Proste przecinają się w jednym punkcie
( )
1
,
1
P
. Współrzędne punktu P są rozwiązaniem układu.b)
(
) (
)
(
) (
)
−
=
−
+
=
−
1
5
2
1
3
2
1
5
1
3
y
x
y
x
Rozwiązanie
Komentarz
(
) (
)
(
) (
)
−
=
−
+
=
−
1
5
2
1
3
2
1
5
1
3
y
x
y
x
=
−
=
−
+
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
=
−
0
10
6
8
5
3
2
2
10
6
3
5
5
3
2
10
2
6
5
5
3
3
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
( )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
−
−
=
+
−
=
−
−
⋅
=
−
0
10
6
16
10
6
0
10
6
2
/
8
5
3
y
x
y
x
y
x
y
x
16
0
0
16
10
6
10
6
−
=
+
−
=
−
+
+
−
x
y
x
y
Odp. Układ nie ma rozwiązania.
Rozwiązujemy układ równań algebraicznie metodą przeciwnych współczynników.
Wyniku przekształceń obie niewiadome się redukują i otrzymujemy sprzeczność.
=
−
=
−
0
10
6
8
5
3
y
x
y
x
Rozwiązujemy układ równań metodągraficzną.
( )
5
3
8
5
:
/
3
8
5
8
5
3
−
−
=
−
−
=
−
=
−
x
y
x
y
y
x
x
1
- 4
5
3
8
−
−
=
x
y
-1
-4
Z pierwszego równania wyznaczamy y . Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty naleŜące do prostej o równaniu
5
3
8
−
−
=
x
y
( )
x
y
x
y
x
y
y
x
5
3
10
6
10
:
/
6
10
0
10
6
=
=
−
−
=
−
=
−
x
0
5
x
y
5
3
=
0
3
Z drugiego równania wyznaczamy y . Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty naleŜące do prostej o równaniu
y
x
5
3
=
Odp. Układ nie ma rozwiązania.
Zaznaczając punkty z tabelek rysujemy proste. Proste nie mają punktów wspólnych.
c)
−
=
+
−
=
+
+
5
2
2
5
5
y
x
y
y
x
Rozwiązanie
Komentarz
⋅
−
=
+
⋅
−
=
+
+
2
/
5
2
5
/
2
5
5
y
x
y
y
x
−
=
+
⋅
−
=
⋅
+
+
⋅
10
2
2
2
10
5
5
5
5
y
x
y
y
x
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
+
10
2
10
2
10
2
10
y
x
y
x
y
x
y
y
x
Porządkujemy układ równań
( )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
−
−
−
=
+
−
⋅
−
=
+
−
=
+
10
2
10
2
1
/
10
2
10
2
y
x
y
x
y
x
y
x
0
0
10
10
2
2
=
+
−
=
−
−
+
y
x
y
x
Odp. Układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań.
Rozwiązujemy układ równań algebraicznie metodą przeciwnych współczynników.
Wyniku przekształceń obie niewiadome się redukują i otrzymujemy toŜsamość.
−
=
+
−
=
+
10
2
10
2
y
x
y
x
Rozwiązujemy układ równań metodągraficzną.
2
5
2
:
/
10
2
10
2
x
y
x
y
y
x
−
−
=
−
−
=
−
=
+
x
-4
-2
0
2
5
x
y
=
−
−
-3
-4
-5
Oba równania są takie same, dlatego przedstawiają dwie jednakowe proste. Z równania wyznaczamy y .
Przy pomocy tabelki wyznaczamy punkty naleŜące do prostej o równaniu
2
5
x
y
=
−
−
Odp. Układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań.
Zaznaczając punkty z tabelki rysujemy prostą.
Proste pokrywają się . Mają nieskończenie punktów wspólnych.
KaŜdy punkt leŜący na prostej jest rozwiązaniem układu.
ĆWICZENIA
Ć
wiczenie 3.3.1. (2pkt.)RozwiąŜ układ równań:
=
−
=
+
8
5
3
0
y
x
y
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie wartości niewiadomej x
1
2 Podanie wartości niewiadomej y
1
Ć
wiczenie 3.3.2. (3pkt.) RozwiąŜ układ równań:
(
) (
)
−
+
=
−
+
−
−
=
−
14
1
5
1
3
2
3
5
5
3
7
y
x
y
x
y
x
y
x
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1 Podanie układu równań uporządkowanego.
1
2 Podanie wartości niewiadomej x
