Koncepcja filtru aproksymująco-przeskalowującego w działaniach arytmetyki rozmytej

Pełen tekst

(1)2002. Jacek. Wołoszyn. Katedra Informatyki. Wit Urban Kałędra. Informatyki. Koncepcja filtru aproksymująco. -przeskalowującego w działaniach. arytmetyki rozmytej Streszczenie:. Artykuł. prezentuje podstawowe problemy numeryczne związane z wykorzysta-. niem algorytmów dla rozmytych operacji arytmetycznych przy wierzchołkowej reprezentacji funkcji przynależności. Dotyczą one z reguły brnku mocy obliczeniowej komputerów wykorzystywanych. do obliczCli. Do ich przezwycivżenia można wykorzystać instrumenty matematyczne spełniające role filtrów aproksymująco-przeskalowujących. Propozycja takiej właśnie koncepcji oraz próba jej numerycznej weryfikacji jest celem opracowania. Słowa kluczowe: teoria zbiorów rozmytych, arytmetyka rozmyta, układy nieliniowe.. I.. Wstęp. Teoria zbior6w rozmytych, kt6rej podstawy zostały sformułowane w 1965 r. przez L.A. Zadeha [1965] rozwinęła się do rozmiar6w dziedziny wiedzy określanej jako systemy rozmyte [Munakata 1994]. W ski ad tej dziedziny wiedzy wchodzą obecnie cztery podstawowe działy: - teoria zbior6w rozmytych, - logika rozmyta, - arytmetyka rozmyta, - teoria sterowania systemami rozmytymi. Według l.B. Turksena [1988] systemy rozmyte, stanowiąc klucz do reprezentacji języka naturalnego oraz wnioskowania zgodnego z ludzkim sposobem rozumowania wsp6łokreślają "inteligentny charakter" systemu wspomagającego podejmowanie decyzji..

(2) Jacek. Wit Urban. Inną ważną zaletą systemów rozmytych jest ich przydatność w opisie szczególnie złożonych struktur. LA. Zadeh [1996] uważa, że wraz ze wzrostem stopnia skomplikowania systemu zdolność do wnioskowania precyzyjnego o jego funkcjonowaniu ulega gwałtownej redukcji. Zostało dowiedzione, że systemy rozmyte mogą być wykorzystane do aproksymacji zachowania się takich systemów. Uwzględniając powyższe stwierdzenia, rozwój systemów rozmytych jako dziedziny wiedzy ma istotne znaczenie z punktu widzenia budowy skutecznych narzędzi wspomagających proces podejmowania decyzji. Dotyczy to zwłaszcza metod wykorzystujących matematyczne modele opisu zjawisk ekonomicznych. W tym kontekście szczególne znaczenie mają równania różnicowe i różnicz kowe.Ich układy nieliniowe znane są jako źródło zachowań chaotycznych opisywanych zmiennych modeli o równaniach posiadających tego typu strukturę. Zjawisko to ma swoje istotne znaczenie z punktu widzenia możliwości prognozowania. W przypadku systemów rozmytych badanie tego zjawiska, okreśła nego w literaturze mianem chaosu deterministycznego [Schuster 1995] uzyskuje nowy wymiar. Jednak połączenie i wykorzystanie narzędzi obu teorii generuje także nowe klasy problemów o charakterze numerycznym i analitycznym. Celem niniejszego opracowania jest przedstawienie podstawowych trudności wynikających z przetwarzania rzeczywistych danych rozmytych. Uzupełnia ją propozycja rozwiązania powstałych probłemów.. 2. Badanie zJawiska chaosu w przestrzeni rzeczywistych liczb rozmytych Podstawowy problem numeryczny wynikający z przetwarzania rzeczywistych liczb rozmytych jest związany z generowaniem przez system nieliniowy rozmytego szeregu czasowego zgodnie z definicją: Definicja l. [Song i wsp., 1995] Niech Y(t) E N(R) , gdzie t E T = { ... , O, l, 2, ... } oraz na Y są zdefiniowane zbiory rozmytefi(t) (i = l, 2, ... ) tworzące szereg F(t), wówczas F(t) jest rozmytym szeregiem czasowym dla Y(t), t E T .. Ze względu jednak na własności arytmetyki rozmytej rząd wielkości numerycznych, które są otrzymywane w kolejnych iteracjach systemu nieliniowego przekracza swym zakresem możliwości komputer6w osobistych klasy PC. Wiele prac z zakresu teorii zbiorów rozmytych podejmuje problematykę operacji arytmetycznych w przestrzeni liczb rozmytych [Kaufmann, Gupta 1985], [Wołoszyn 1990]. [Urban 1999]. Zdefiniowane w literaturze algorytmy numeryczne dła operacji arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych wykorzystują wierzchotkową reprezentację takich liczb. Jest ona o tyle wygodna, że pozwala na dosyć dokładną aproksymację rezultatów tych operacji dla rozmytych argument6w. Wynikiem wykorzystywanego podejścia jest także.

(3) uproszczony sposób notacji rzeczywistej liczby rozmytej, odwolujący się do klasycznego zapisu zbioru rozmytego zaproponowanego przez L.A. Zadeha [1977]. (1). W tej formie notacji symbol ).lA(X)!X oznacza rozmyty singleton, czyli element x E X o stopniu przynależności do zbioru rozmytego A równym I1A(x), natomiast symbol całki oznacza sumę mnogościową. Przedstawiony zapis zbioru rozmytego ma charakter uniwersalny i odnosi się do całej klasy zbiorów rozmytych w przestrzeni X, którą przedstawia się jako P(X). Obejmuje więc swym zakresem również zbiory nieprzeliczalne. Przyjęte ogólne zasady notacji dla zbiorów rozmytych mogą też być bez większych zmian stosowane dla liczb rozmytych. W przypadku rozmytych liczb rzeczywistych ich klasa jest symbolizowana poprzez użycie oznaczenia N(R). Ze względów numerycznych przy zapisie takich liczb została uwzględniona przyjęta za opracowaniem [Urban 1999] zasada aproksymacji funkcji przynależności przy pomocy zlożenia funkcji liniowych. Ponadto wykorzystuje się tylko takie przedziały dziedziny funkcji, w których przyjmuje ona wartości różne od zera przynajmniej dla jednej wielkości z wnętrza każdego z nich. Przedzialy takie będą w dalszym ciągu opracowania określane terminem przedziałów zdefiniowania funkcji przynależności. Procedura transformacji rozmytej liczby rzeczywistej do postaci zgodnej ze wspomnianymi zasadami została przedstawiana szczegółowo w [Urban 1999]. Dzięki przyjętemu założeniu notacja rzeczywistej liczby rozmytej ulega istotnemu uproszczeniu poprzez wykorzystanie zbioru punktów połączeń złożenia funkcji liniowych. W dalszym ciągu będą one określane mianem wierzchołków funkcji przynależności. Jak można zauważyć, wierzchołki w takim podejściu przypominają singletony w notacji zbioru rozmytego. Dlatego też do opisu ich współrzędnych będzie używane określenie singletonów rzeczywistej liczby rozmytej lub krótko singletonów. Zawężenie zbioru nieprzeliczalnego do aproksymacji w oparciu o przeliczalny zbiór punktów pozwala n8 zastąpienie oznaczenia sumy mnogościowej symbolem sumowania. /I. xN(R). = .~ -l1xN(R) (XW(R)j) / XXN(R)/. (2). 1= ,. dla Xx. N(R). JER,. 11«. 00,. ~l,. . N(R). (x,. • N(R). j) > O. Przedstawiona zasada wierzchołkowej reprezentacji rozmytej liczby rzeczywistej jest wygodna definicyjnie, a także z punktu widzenia ałgorytmów numerycznych, zwłaszcza dla rozmytych operacji arytmetycznych. W przypadku.

(4) Jacek W%szy/!. Wit Urban równalI różnicowych i różniczkowych. dla których wykonywane są wielokrotne iteracje, jak np. w przypadku modeli chaosu deterministycznego, powstaje jednak problem gwałtownego przyrostu liczby wierzchołków opisujących wyniki tych operacji. Powoduje on trudności związane z przekraczaniem limitów sprzętowych przy wykonywaniu działaJI arytmetyki rozmytej. Ograniczenia te dotyczą dostępnej pamięci oraz modułów odpowiedzialnych za arytmetykę zmiennopozycyjną. W tym drugim przypadku podobieństwa w znaczeniu prostych miar odległości pomiędzy wierzchołkami przyczyniają się do powstawania błędów krytycznych, przerywających wykonywanie obliczeń. Przedstawione aspekty iteracji rozmytych systemów (szczególną uwagę zwrócono zwłaszcza na systemy nieliniowe) wskazują na konieczność wykorzystania odpowiedniego instrumentu matematycznego w charakterze filtru spowalniającego rozwój przedstawionych procesów. Szczegółowe propozycje rozwiązań w tym zakresie zostały sformułowane przy okazji eksperymentów numerycznych z równaniem chaosu deterministycznego następującej postaci: X,+ 1=. 2x,2-1. (3). Przedstawione równanie różnicowe dla wybranych wartości startowych generuje szereg czasowy charakteryzujący się nieregularnością. Inną jego wła ściwością jest rozbieżność wykładnicza początkowo bliskich trajektorii układu w ograniczonym obszarze przestrzeni fazowej. Obie wymienione własności definiują uklad chaotyczny i zjawisko chaosu deterministycznego [Inteligentne ... 2000]. W trakcie badm\ symulacyjnych i analizy numerycznej zostały sformułowane podstawowe założenia i zasady konstrukcji fitru aproksymująco-przeskalowu jącego do wykorzystania w obliczeniach arytmetycznych z rzeczywistymi liczbami rozmytymi. Przedstawiono je w kolejnym rozdziale artykułu.. 3. Konstrukcla filtru aproksymulqco.przeskalowulqcego Przedstawione aspekty iteracji rozmytych systemów nieliniowych wskazują na konieczność wykorzystania odpowiedniego instrumentu matematycznego opartego na następujących założeniach: - w kolejnych iteracjach rozmytego systemu nieliniowego winna następo wać redukcja liczby wierzchołków opisujących funkcje przynależności generowanych elementów rozmytego szeregu czasowego, - ograniczenie zakresu krańców przedziałów zdefiniowania wartości rozmytych powinno następować poprzez zmniejszanie w kolejnych iteracjach modelu matematycznego skali przestrzeni zdefiniowania elementów rozmytego szeregu czasowego..

(5) . filtru anmksw> Jeśli chodzi o pierwsze z założeń, do jego realizacji wykorzystano "zaokrą glenie" uzyskanego w rezultacie iteracji wyniku do trójkątnej liczby rozmytej przy pomocy nas tępującego przekształcenia Fó:. FI>:. N(R) --) x~ + l. X,+ l E. (4). N(R). E. gdzie: II. X. = i~l ~ -11 (x .)Ix . "1+ l,N(R) .\/+ l.N(R)' x + l.N(R)'. I N(R). t+ ,. (5). t. dla. i xt +lN(R)'. E R '. n«. 00,. oraz gdy. :3. l !'i/Sil. 11.,,+ I . N(R). (x,+ lN(R»). oraz 3. x•. '+I,N(R). =. ~. - /: ,.. . (X.ó.. 1=lllx,+I,N(R)'. .) Ix~ , "'+I,N(R)' ',+I,N(R)'. gdzie:. ',+ I,N(R) l =xX,+ I,NU/»)". X.6 dla takiego l:>j:>n,Il·.. "'+I,N(R). (i... . 1)=1" 't:j. "'+I,N(R»)+. ISI<j. k. 1 ~ x. =-,t.,X . X 1 +l,N(R)2 k ;=1 ,\'t+l,N(R)"P. /l.. x'+I,N(R). (i... . 1)<1. x'+I,N(R»)-. {-.',+ I,N(R)'"··:x-x,+ I,N(R)'".. =. d x g y. =x..1:,+ l ,N(R) ,',11...'\:,+ JN(R) (i.Ar+ I,N(R)'.) =l} x.."+ I ,N(R) 3= X" '+I ,N(R»)" dla takiego. 1 <j:> n, /l. l>. x,+I,N(R). (x.1>. . 1) = l ". "+ I,N(R»)-. 't:j. ISI<II-j. 11 ·.. "+I,N(R). (xx". . I) < 1. '+I,N(R»)+. Efekt wykorzystania powyższych zasad zaokrąglania rzeczywistej liczby rozmytej do postaci trójkątnej demonstruje rys. (1). Prostym wnioskiem wynikającym z tego typu zabiegu jest pewna utrata informacji reprezentowanej przez liczbę rozmytą..

(6) Jacek. Wit Urban. Dla zademonstrowania tego zjawiska może poslużyć porównanie pól pod funkcjami przynależności dla przypadku równania:. (6). x 1+ l =2x2-l t dla. 1,2. /. 0,8. j/ j/. 0,6 0,4. , ...... , ...... "'". ",,~ ',,~. ..... ~. //. 0,2. °. ,. ,,. ". V". °. 0,5. 1,5. Rys, I. Zaokrąglenie rzeczywistej liczby rozmytej do postaci. 2. 2,5. trójkątnej. Źródło; opracowanie własne,. Dla celów porównawczych został przeprowadzony dwukrotny eksperyment numeryczny składający się z 20 iteracji takiego rozmytego modeł u nieliniowego. Za pierwszym razem kolejnym przebiegom towarzyszylo zaokrąglanie, zgodnie z opisaną procedurą rozmytych wyników do postaci trójkątnej, W drugiej serii te same rezultaty nie były poddawane żadnemu dodatkowemu przetwarzaniu. Dodać jednak należy, że ze w zględu na problemy natury obliczeniowej na komputerze klasy PC większej liczby przebiegów symulacyjnych nie udalo się uzyskać. W każdym przypadku dla wyniku rozmytego było obliczane pole obszaru pod funkcją przynależności. Uzyskane rezultaty prezentuje tabela l i wykres na rys. 2. Jak z obu form zestawień wynika, działanie filtru jest prawidłowe w sensie powstrzymania gwałtownego przyrostu pola obszaru pod funkcją przynależno ści dla wielkości rozmytych na skutek zwiększania liczby wierzchołków. Z drugiej strony, w otrzymanych szeregach czasowych nie zostały zaobserwowane zasadnicze różnice co do zmian tendencji w kształtowaniu się tej charakterystyki w kolejnych iteracjach modelu. W przypadku zastosowania filtru nastę puje także wzrost wielkości pola. Jest on jednak znacząco wolniejszy. Obrazują to wykresy przekształcenia wykładniczego dla odwrotności obliczonych wartości pól (rys. 3 i 4)..

(7) Tabela l. Zestawienie zmian pola w kolejnych iteracjach modelu 6. przy wykorzystan iu zaokrągleń wyników Pole Iiezby rozmytej. Lp. I 2 3 4 5 6 7 8 9 10. Procent pola. seria 1. seria l. SI/S2. 0.2 0.16 0,448 0.1 3 11 0,3482 0.2086 0.6349 0.9255 0.3125 0.8414. 0.2 0 .16 0,448 0.1311 0,3482 0.2086 0.6349 0.9255 2,4483 12.9653. 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100 .00 100.00 100.00 12.76 6.49. Źródło: opracowanie własne.. ,,. 14. ,, ,, ,,. 12. W. 8 6. ,. 4. ,,,. 2 (). I. o. 2. 4. - - Serie I. 6. 8. , ,, ,. lO. 12. Serie 2. Rys. 2. Wykres zmian pola obszaru pod funkcją przynależności wyników rozmytych w ko lejnych iteracjach modelu 6. przy zaokrąg l an iu liczb rozmy lych do postaci trójkątnej (seria 2) i bez zaokrąglel\ (seria l) Żrócllo: opracowanie własne..

(8) , Wit Urban. Jacek. 2500 A. 2000. /\. 1500. / \ / \ /""-/ \. 1000 500. o. o. 2. 4. 6. 8. 10. 12. Rys. 3. Wykres odwrotności przebiegu pola obszaru pod funkcją przynależności wyników rozmytych IV kolejnych iteracjach modelu 6, przekształconych przy pomocy funkcji wykladniczej, w serii eksperymentu bez wykorzystywania zaokrągleń rzeczywistych liczb rozmytych do postaci trójką1nej Żródło: opracowanie własne.. Tym samym można uznać, że wykorzystanie proponowanej procedury zaokrąglania rzeczywistych liczb rozmytych do określonej postaci trójkątnej spełnia w pewnym zakresie swoje zadanie.. 2500. •. 2000. /\ / \ / \ /~ \. 1500 1000 500. o O. 2. 4. 6. 8. 10. 12. Rys. 4. Wykres odwrolności przebiegu pola obszaru pod funkcją przynależności wyników rozmytych w kolejnych iteracjach modelu 6, przeksztalconych przy pomocy funkcji wykladniczej, w serii eksperymentu z wykorzystywaniem zaokrągleli rzeczywistych liczb Zródlo: opracowanie własne..

(9) Drugie z przedstawionych założeń zostało zrealizowane poprzez zmniejszenie kąta rozchylenia ramion trójkąta tworzącego funkcję przynależności rzeczywistej liczby rozmytej, zaokrąglonej do postaci trójkątnej. W tym celu zostało wykorzystane przekształcenie S.. (7) gdzie:. i= I. oraz. X~~ I =. 3. L. -J.lx~~ I (XX~! li) I X,t~!)i. i= l. dla. " - xt..+ 2-3E<X,a - 12 'X,a ~ X~ .' l:'-13=X 1 1+ t+ 13. > ~ I.I. " (o/; ) O 23> x 1+1 X t+1-. "rx ...t +, 1 (xx.... 3) = sk*"t"'x /;t + I (Xx.1 + I 2 - 3) (+ l sk - współczynnik przeskalowania Wykorzystanie powyższego schematu postępowania, przy założeniu wsp ół czynnika przeskalawującego na poziomie 0,9, przedstawia rys. 5. Podobnie jak w przypadku redukcji liczby wierzchołków w rozmytych wynikach iteracji systemu nieliniowego, tak i tutaj można stwierdzić ograniczenie zawartości informacyjnej liczb rozmytych. Skalę tego zjawiska zbadano przy pomocy podobnego jak poprzednio eksperymentu numerycznego. Wykorzystano to samo równanie i rozmytą wartość startową. W obu jednak seriach eksperymentu wielkości rozmyte zaokrąglane były do postaci trójkątnej. W pierwszej serii zastosowano przeskalowanie po każdej iteracji przy pomocy współczynnika sk = 0,9. Natomiast drugi przebieg eksperymentu był wolny od tego typu przekształceń. Podobnie jak poprzednio analizie porównawczej poddano pola obszarów ograniczonych funkcjami przynależności i osią odciętych odpowiednich wykresów rozmytych wyników rzeczywistych. W tym wypadku uzyskano jednak 50 iteracji dla wybranego modelu nieliniowego. Rezultaty zostały przedstawione w tableli 2 i na wykresie (rys. 6). W celu zaobserwowania.

(10) Jacek. Wit Urban. 1,2. L'. 0,8. /' /'. 0,6 0,4. 0,2. ,,~. ',,~. /:'. "". V/. °o. 0,5. ~ ,,. 1,5. ,,. ~ 2. 2,5. Rys, 5. Przeskalowanie rzeczywistej rozmytej liczby trójkątnej przy wykorzystaniu współczynnika sk = 0,9 . Żródlo: opracowanie własne. istniejących współzałeżności pomiędzy. obu seriami eksperymentu dane w obu wypadkach zostały poddane przekształceniu logarytmicznemu . Widoczna jest reakcja mechanizmu filtrującego na gwałtowny przyrost pola pod funkcją przynależności wywołującego nawet pojawienie s ię tendencji przeciwnej do tej występującej w oryginalnym szeregu czasowym. W celu stwierdzenia w obu wypadkach pewnej ogólnej tendencji, dla odwrotności obliczonych wartości pól w kolejnych iteracjach wyznaczono wartości funkcji wykładniczej (rys. 7 i 8). Zostało to zobrazowane na wykresach osobno dła każdej serii eksperymentu . Widać wyraźnie, że po wygładzeniu obu szeregów czasowych zostały uzyskane wykresy dla identycznych tendencji. Zyskuje więc potwierdzenie teza o przydatności opisanego mechanizmu przeskalowania w analizie rozmytych szeregów czasowych. W ten sposób została, oczywiście w pewnym stopniu, potwierdzona przydatność matematycznego filtru ograniczającego skutki numerycznych trudności przetwarzania nieliniowych systemów rozmytych, Należy jednak stwierdzić, że proponowane podejście do przedstawionych problemów ma charakter wstępnej analizy, Można je porównać w jakim ś sensie do okrojonego modelowania już istniejącego bardziej rozbudowanego modełu, Jednak dotychczasowa praktyka w sytuacji pojawienia się problemów z przetwarzaniem skomplikowanego numerycznie modelu połegała przede wszystkim na upraszczaniu jego struktury, W odniesieniu do systemów rozmytych istnieje jak s ię wydaje pewna możliwość rozwiązywania takich problemów z dość dobrym skutkiem poprzez tworzenie swoistych matematycznych filtrów, porównywalnych do swego rodzaju procesorów programowych. Ich zadaniem jest dostosować przetwarzanie modeli rozmytych do poziomu możliwo ści sprzętowych..

(11) Tabela 2. Zestawienie zmian pola w kolejnych iteracjach modelu 6, przy wykorzystaniu operacji przeskalowywania wyników Pole liczby rozmytej. Procent pola. Lp.. seria 1. seria l. SI/S2. l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23. 0,2 0,16 0,448 0,4239 0,8872 1,5178 1,3125 2,3888 3,0528 2,6709 3,1573 2,5933 3,2352 2,7567 3,1408 1,388 2,7467 1,4008 2,7834 3,3143 2,7318 3,2234 2,6089 3,2522 2,7313 3,1452 1,3883 2,7476 1,4009 2,7835 3,3144 2,7318 3,2235 2,6089 3,2523 2,7613 3,1452 1,3883 2,7476 1,4009 2,7835 3,3144. 0,2 0,16 0,448 0,409 1,2042 2,4756 3,1816 2,9128 3,5563 2,9052 3,7226 3,1304 3,6546 1,4987 2,9074 3,7351 24,1787 830,8386 3,0625 3,7177 2,9507 3,774 3,1471 3,671 1,5 2,9132 3,7433 24,2816 838,1318 3,0625 3,7178 2,9507 3,774 3,1471 3,671 1,5 2,9132 3,7433 24,2816 838,1306 3,0625 3,7178. 100,00 100,00 100,00 103,64 73,68 61,31 41,25 82,01 85,84 91,94 84,81 82,84 88,52 183,94 108,Q3 37,16 11,36 0,17 90,89 89,15 92,58 85,41 82,90 88,59 184,09 107,96 37,09 11,32 0,17 90,89 89,15 92,58 85,41 82,90 88,59 184,09 107,96 37,09 11,32 0,17 90,89 89,15. 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42.

(12) Wit Urban. Jacek cd. tabeli 2 Poje liczby rozmytej. Lp.. seria. 43 44. 45 46 47 48 49. J. seria l. 2.7318 3,2235 2,6089 3,2523 2,7613 3,1452 1,3883. 2,9507 3,774 3,1471 3,671 1,5 2,9132 3,7433. Procent pola SllS2 92,58 85,41 82,90 88,59 184,09. 107,96 37,09. Źródlo: opracowanie własne.. 3,5 3. 2,5 2. 1,5 0,5. h I:;,J -, V' ,,'. ). AAA. u. ,. ..'. o o. \I. ,. 10. v' " iti. I. ". -. I,. \. 20. 30 Serie l. l."A~. I. V'/I/. '. J V""•. 40. 50. ). ". 60. Serie 2. Rys. 6 Wykres przebiegów wartości pól obszarów pod funkcją przynależności wyników rozmylych w kolejnych iteracjach modelu 6, przekształconych przy pomocy funkcji logarytmicznej , dla serii eksperymenlu z wykorzystaniem zaokrągleń liczb. rozmytych do postaci trójkątnej (l) oraz serii z zastosowanym pelnym filtrem aproksymująco-przesknlowującym (2) Źródło: opracowanie własne..

(13) 600 500 400 300 200 100 O O. W. 20. 30. 40. 50. 60. Rys. 7 Wykładnicze przekształcen ie odwrotności połob s znr6w pod funkcją przynależ ności rozmytych wyników w kolejnych ileracjach modelu 6, dla serii eksperymen tu wykorzys tującej wyłącznie zaokrąglanie rzeczywislych liczb rozmytych do postaci trójkątnej. Zródło:. opracowanie własne .. 600 500 400 300 200 100 O O. 10. 20. 30. 40. 50. 60. Wykładnicze przeksztalcenie odwrolności p61 obszarów pod funkcją przynależności rozmylych wyników w kolejnych iteracjach modelu 6, dla serii eksperymentu wykorzystuj ącej pełną postać fillru aproksymująco-przesknlow ującego. Rys. 8.. Żródło:. opracowanie własne..

(14) Jacek. 4.. Wit Urban. Zakończenie. Przedstawione zagadnienie konstrukcji filtru aproksymująco-przeskalowu stanowi przyczynek do dyskusji na temat rozwiązywania problemów numerycznych związanych z praktyką zastosowań teorii zbiorów rozmytych. Ich znaczenie polega na ograniczaniu lub spowalnianiu rozwoju narzędzi analitycznych wykorzystywanych w interpretowaniu rzeczywistości opisywanej przy pomocy danych rozmytych. Oc zywiście koncepcja filtru przyjąć musi założenie utraty części informacji zawartych w przekształcanych przy jego pomocy wartościach. Jest to rozwiązanie dostosowane do istniejących algorytmów numerycznych rozmytych operacji arytmetycznych oraz rozpowszechnione,jeśli chodzi o wykorzystanie formuły trójkątnych rozmytych liczb rzeczywistych . Istotnym w omawianym kontekście pozostaje jednak problem analizy porównawczej efektywności filtrów zastosowanych dla generowania rozmytych szeregów czasowych względem szeregu pozbawionego tego typu zakłó ceń. Jego rozwiązanie wymaga wykorzystania komputerów o dużej mocy obliczeniowej. Tak więc problemy numeryczne związane z przetwarzaniem operacji rozmytych na komputerach o nie dostosowanej do zadań tego typu mocy obliczeniowej mogą zostać wyeliminowane przez zastosowanie odpowiedniego instrumentu filtrującego. Powinien być on jednak zweryfikowany przy pomocy maszyny o większych możliwościach. Alternatywą takiego rozwiązania może być podejście oparte na zastąpieniu wierzchołkowego opisu funkcji przynależności odpowiednio dobranym zapisem funkcyjnym. Funkcja taka powinna się jednak charakteryzować własnością polegającą na względnie latwej konstrukcji algorytmów tworzenia jej zlożeń, dla aproksymacji funkcji przynależności wyników podstawowych operacji arytmetycznych na rzeczywistych liczbach rozmytych. Taka koncepcja wymaga jednak dalszych badań.. jącego. Literatura Chang W.K., Chow L.R., Chang S .K. [1984], Arithllletie Operafiolis Oli Level Sets oj COllvex Fuzzy Numbers, "Fl1zzy Sets and Systems". lllteligelltlle systemy w zarządzani". Teoria i praktyka, [2000], pod red. 1.S. Zielińskiego, PWN, Warszawa. Kaulmann A., Gupta M.M. [I 985],lntrodl/e/ion to FlIzzy Arithmetie: Theory and App/iea· tiOJlS,. New York. Van Nostrand.. Munakata Y. [1985], FlIzzy Systems: Ali Overyiew Commllllications oj the ACM, Vol. 37, nr 3, March. Schuster H.G. [1995], Chaos de/erministycwy. Wprowadzenie, PWN, Warszawa. Song Q., Leland R.P., Chissom B.S., A New Fllzzy Time-series Model oj F"zzy N"mber Observatiolls, "Fuzzy Sets and Systems", August, nr 73. Turksen l.B. [1988], Stochastie F"zzy Sets. A SI/rvey Leetlll'e Notes in Eeonomies and Mathematieal Systems Series, Springer, vol. 310. Urban W. [1999], Podstmvy rOWlytej dynamiki systemowej, AE w Krakowie, Kraków..

(15) Woloszyn 1. [1990], Gmfy rozmyte i możliwości ich wykorzystania w ekonomii, Zeszyty Naukowe AE w Krakowie, Seria Specjalna: Monografie, nr 90 , Kraków. Zadeh LA [1996], F/lzzy Logic, Complltillg With Words, IEEE n'allsactiolls 011 Flluy Systems, May, vol. 4. Zadeh L.A . [1977]. Fuuy Sels alld Their Applicaliolllo Patiem Classificalion alld Cluslering Alla/ysis [w:] Classificatioll alld Cluslerillg, l. Van Rysin (ed .) , Academic Press, New York. Zadeh LA [1965], Fuzzy Sets, "lnform"lion and Contral", no. 8.. The Idea of Approximaling-re •• aling FilIer In Fuzzy Arilhmeli< Operallons The article presenls basic numerical problems concerning the utilization of algorithms. designed for fuzzy arithmetic oper"lions wilh vertexal represenlalion of membership functions. The problems are mainly connected with the lack of compuling power of exploiled compUlers. In order to overcome such obstacles il is possible to .pply malhematical lools Ihal operate as approximating-rescaling filters, The proposition ar such a concept and the attempt or its numerical verification aft the goals af the słudy..

(16)