Wykad 11

WYKłAD XI

Podsumowanie:

1. D = {(x, y): a ≤ x ≤ b i φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}

|D| =

2. D : ogr. Krzywą daną równaniem biegunowym: r = r(φ) i φ [φ1, φ2]

D R2 |D| =

3. D : ogr. Krzywą , osią OX i prostymi: 𝑥 = 𝑥 𝛼 , 𝑥 = 𝑥(𝛽)

Przy czym:

|D| =

4. L jest krzywą zamkniętą (pętla)

Zastosowanie całki oznaczonej

L:

Krzywa zadana parametrycznie jest zbiorem wartości odwzorowania: ℝ ∋ 𝑡 → (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 ) ∈ ℝ2

Punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych:

 z OX:

t = -1 lub t = 0 lub t = 1

lub lub

 z OY

Analogicznie dla pozostałych granic Wyniki zapisujemy w tabelce:

t ( -1 0 1 (1, +

x’ - - - 0 + + + + +

y’ + + + 0 - - - 0 + + +

x + 0 -1 0

Inne zastosowania całki:

 Długość krzywej:

Powiemy, że:

Definicja 11.1 (Łuk regularny)

L – łuk regularny:

- mają pochodne ciągłe na

UWAGA: oznacza, że w każdym punkcie krzywej istnieje

styczna

Twierdzenie 11.1 (dł. Łuku)

Z: jest łukiem regularnym

T:

Wniosek 11.1

Z: L: y = y(x), , y(x) – ma pochodną ciągłą w [a, b] T:

Dowód:

Wprowadzamy parametryzację naturalną:

Z:

T:

Wniosek 11.2

Jeżeli L jest dana równaniem biegunowym: Z:

- ma funkcję ciągłą w

T: 𝐿 : 𝑥𝜑2 2 _{𝜑 + [𝑟}′ _{𝜑 ]}2 _𝑑𝜑

𝜑1

Dowód:

Jeżeli mamy równanie biegunowe krzywej to w prosty sposób możemy zapisać jej równanie parametryczne:

(1) (2) (1) +(2): = teza Podsumowanie: 1. 2. L: {y = y(x), 3. 𝐿 : 𝑥𝜑2 2 _{𝜑 + [𝑟}′ _{𝜑 ]}2 _𝑑𝜑 𝜑1

Objętość bryły obrotowej

b a

Krzywą l obracamy wokół osi OX

Objętość bryły obrotowej