M E C H AN I K A TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 12 (1974)
KSZTAŁT RÓWN AN IA RÓŻ N ICZKOWEGO CZĄ STKOWEG O ROZWIĄ ZU JĄ CEG O KLASĘ P OWŁ OK P ROSTOKREŚ LN YCH ROZWIJALN YCH
STANISŁAW B I E L A K (G LIWICE) 1. Wstę p
P odawane w literaturze technicznej równania rozwią zują ce powł oki dotyczą jedynie powł ok walcowych i stoż kowych, których powierzchnie ś rodkowe są utworzone przez proste przecinają ce okrę gi pod ką tem prostym, na przykł ad [2, 3]. Równania róż niczkowe czą stkowe, rozwią zują ce te powł oki, posiadają róż ną budowę , zarówno w odniesieniu do ich rzę du, jak i kształ tu niektórych czł onów. Wystę pują ce róż nice w rozpatrywanych równaniach rozwią zują cych tego samego rzę du uwidaczniają się w kształ cie czł onów wewnę trznych tych równań, to znaczy czł onów zawierają cych niż sze pochodne czą stkowe od stopnia okreś lają cego rzą d równania róż niczkowego z jednej strony i wyż sze pochodne czą stkowe od wyrazu skrajnego prawego o najniż szej pochodnej, z drugiej strony.
P rzeprowadzona analiza wykazał a, że o ile róż nica dotyczą ca rzę du równania ma swoje uzasadnienie we wprowadzonych przez poszczególnych badaczy zał oż eniach uprasz-czają cych, to kształ t czł onów wewnę trznych równania rozwią zują cego zależy od sposobu przeprowadzania rachun ku i odrzucania w trakcie rugowania zmiennych wielkoś ci mał ych wyż szego rzę du. M ał a stabilność kształ tu czł onów wewnę trznych równania rozwią zują -cego nasunę ł a wniosek, że czł ony te nie mają istotnego wpł ywu na rozwią zania w ramach teorii uproszczonej.
Treś cią pracy bę dzie mię dzy innym i wykazanie sł usznoś ci wysunię tego wniosku dają -cego istotne uproszczenie równ an ia róż niczkowego czą stkowego rozwią zują cego klasę powł ok prostokreś lnych rozwijalnych. P roblem ten nabiera szczególnego znaczenia w nu-merycznym sposobie rozwią zania, prowadzonym przy uż yciu maszyn cyfrowych, a tylko taki moż emy brać pod uwagę , bo jak się okazuje, ź le poję ta dokł adność prowadzą ca do równaii rozwią zują cych niestabilnych daje w niektórych przypadkach macierz rozwią zują -cą równanie róż niczkowe, która jest macierzą osobliwą z uwagi n a wystę pują ce «zera maszynowe». Rozwią zanie numeryczne równania róż niczkowego niestabilnego, przy uż yciu okreś lonej maszyny cyfrowej, staje się wię c czasem niemoż liwe.
Odrzucenie w równaniu róż niczkowym rozwią zują cym czł onów mał o stabilnych, nie mają cych istotnego wpł ywu n a wyniki, prowadzi do równania róż niczkowego stabilnego, dają cego rozwią zanie numerycznie poprawne również w tych przypadkach, gdzie uprzed-nio był o to niemoż liwe.
2. Ogólny ukł ad równań
Ogólny ukł ad równ ań powł ok prostokreś lnych rozwijalnych, podany w tym rozdziale, jest napisany dla parametryzacji n aturaln ej w oparciu o pracę [1].
266 S. BIELAK
2.1. Opis geometryczny powierzchni ś rodkowej powł oki. R ówn an ie wektorowe powierzchni prostokreś lnej
(2.1) 7=p{u
2)W liu
2),
u1
, u2
— współ rzę dne krzywoliniowe na powierzchni; u1
okreś la poł oż enie pu n kt u n a two-rzą cej, u2
wskazuje tworzą cą, na której leży pun kt.
Współ czynniki pierwszej i drugiej formy róż niczkowej oraz ich wyróż niki
gn = gii = \ / Eiit I,
*aa- |?a+ u
ł£ |
a (2.2) z = *2 2[l- '( 7f) 2 ], btl = 0, b12 = b2i = 0, *22 = gamin, b = 0 .2.2. Zwią zki geometryczne powł oki. Współ czynniki pierwszej i drugiej formy róż niczkowej powierzchni odkształ conej
g\ j
{ ' • W
Zwią zek skł adowych przemieszczenia z tensorem odkształ cenia bł onowego (2- 4) yij = - j^ Jj^ +wlhgjid- w^ ij.
2.3. Zwią zki fizyczne. Zwią zki fizyczne wią ż ą ce naprę ż enia z odkształ ceniam i, dla wersji uproszczonej mogą być zadane w postaci NiJ = N'J+6HM'J , MiJ = MiJ +£h2 HNiJ , gdzie (2.6) oraz | — param etr stał y.
N iezmienniki A i i? wystę pują ce w (2.6) są sumami
(2.7) ^ B = g<J
KSZTAŁT RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO 267
2.4. Równania równowagi. U kł ad równań równowagi dla powł ok w zapisie tensoro-wym : N %- Ql b{+Pj = 0, (2.8) NiJbiJ+Q J \ j+P3 = 0, M%- Q{ - 0.
Przejś cie do współ rzę dnych fizycznych, to znaczy odniesionych do bazy jednostkowej, wyglą da nastę pują co:
2, =
n= -
y
^ j-
Mi
2
, M
i2=
y
U waga: po i, / n ie sumować.
Symbol „ ~ 1 " oznacza współ rzę dną fizyczną .
2.5. Równania nierozdzielnoś d. R ówn an ia nierozdzielnoś ci dla wersji uproszczonej, przy zał oż eniu 2hH <^ 1 — (2hH mał e w porównaniu z jednoś cią ) — przyjmują postać:
Ii = = 0, (2.10) flaali- G aila - 0,
2bbiJ
= 2y12\12- yn\22- y22\n.
3. Rozwią zanie ogólnego ukł adu równań
Jeś li do pierwszych dwóch równ ań ukł adu (2.8) podstawimy N 'J z (2.5), to wówczas otrzymamy
(3.1) ŃtJ
\t+pJ = 0,
Ń %j+P3
m 0. Wystę pują ce w (3.1) wielkoś ci Pj
, P3
są funkcjami obcią ż eń, wymuszają cymi stan bł nowy, jeś li ukł ad równ ań równowagi (3.1) potraktujemy jako ukł ad równań stanu bł o-nowego. Wyjaś nienie takiego postę powania został o podan e w pracy [1].
F unkcje PJ , P3 opisują wzory: ( 3. 2) P J = 6(HMl %- Ql b{+PJ, P3 =
268 S. BI ELAK
Rozpisany ukł ad równań (3.1) dla powł ok prostokreś lnych — rozwijalnych, przyjmuje postać Ń ^ +N ^ h + P1 = 0, (3.3) N^lt+Ń ^ + P2 = 0, N22 bz2+P 3 = 0. Z trzeciego równania ukł adu (3.3) obliczymy AT22 ; # «= -(3.4) a nastę pnie podstawimy (3.4) do drugiego równania (3.3) i wyznaczymy (3.5)
I P
3= -\ b2 - P2 .
Rugują c z pierwszych dwóch równań (3.3) wielkość W1 2 otrzymamy 2\ —
12 ~
ską d po wykorzystaniu (3.4) uzyskamy (3.6)
Zróż niczkujmy kowariantnie wyraż enia (3.4) i (3.5) wzglę dem zmiennej w1, pierwsze dwukrotnie, a drugie jednokrotnie, a nastę pnie utwórzmy sumę
(3.7) Sumę gijNiJ
moż emy obliczyć z pierwszego wyraż enia (2.6) (3- 8) gtjNii = a wówczas wyraż enie (3.7) przyjmie postać (3.7') Zróż niczkujmy kowariantnie pierwsze równanie (3.1) wzglę dem u1 (3.9) m ŃiJ \ ij+PJ \ j = 0. Obliczone odpowiednie pochodne kowariantne tensora kontrawariantnego ylJ , uzyskane-go z (2.4), przy wykorzystaniu zależ noś ci [1];
(3.10) A = w\ \k- 2Hw
3 , podstawione do pierwszego zwią zku (2.5), dadzą
KSZTAŁT RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO 269
Podstawiają c powyż sze wyraż enie do (3.9), otrzymamy;
—
} n = 0.
Jeś li teraz zróż niczkujemy kowariantnie powyż sze równanie wzglę dem zmiennej u1 , a nastę pnie w miejsce A\tl podstawimy (3.V), to wówczas bę dzie:
(3.11) - g
iJ[g
klglj~l ^ + 2g
lkP\ - P
k\ Ą
+{2Eh[(2Hgi J- biJ)w3 }\ij +
Wystę pują ce w (3.11) funkcje PJ , P3
, jak to zostanie wykazane, są funkcjami zależ nymi od zadanych obcią ż eń PJ
, P3
i tylko przemieszczenia w3
. Tak wię c równanie (3.11) jest równaniem róż niczkowym zawierają cym jedynie niewiadomą funkcję w3 , czyli jest rów-naniem rozwią zują cym klasę powł ok prostokreś lnych — rozwijalnych.
Pierwsze dwa równania nierozdzielnoś ci bę dą speł nione, jeś li przyjmiemy
Qlj = &\ ij, gdzie 0 = ^(u1 , u2 ) jest funkcją zmiennych w1 , u2 .
Wychodzą c ze zwią zku tensora gy z przemieszczeniami w\ w3
— patrz praca [1], moż emy powyż szą równoś ć, w ramach uproszczonej teorii, zastą pić zwią zkiem
(3.12) gy = i - W«|y.
Wtedy momenty MlJ
opisane wyraż eniem (2.6) bę dą równe
(3.13) jfir« - - jŹ ~^
[O - » ) W n +vg
iJW ],
gdzie(3.14) W =2B**gUw*\tJ.
Podstawiają c do trzeciego równania (2.8) drugi zwią zek (2.5) z obliczonymi pochod-nymi kowariantnymi w oparciu o wyraż enia (3.13) i (3.14) uzyskamy
(3.15) Qj =
-Mają c MtJ
i QJ
okreś lone wyraż eniem (3.13) i (3.15), moż emy po odrzuceniu wielkoś ci mał ej rzę du wyż szego wystę pują cej w (3.15) opisać funkcje obcią ż eń wymuszają cych (3.2) za pomocą funkcji w3
(3.2')
Korzystają c z (3.9) wprowadzimy dalsze uproszczenia w równaniach (3.7') i (3.11), bo dla celów porównawczych, okreś lają cych rzą d wielkoś ci, moż na przyją ć w oparciu o równanie (3.9'), ż e: j^W jest porównywalne z giJ
270 S. BI ELAK
giJ
W \ ij jest wielkoś cią mał ą rzę du wyż szego dla powł ok cienkich speł niają cych warunek
2hH Ą 1.
D owód wysunię tego stwierdzenia o pomijalnoś ci pewnych wyrazów jako wielkoś ci mał ych wyż szego rzę du moż na przeprowadzić nastę pują co: wielkość - p- W jest porówny-walna z wielkoś cią giJ
W \ ij z zał oż enia, gdyż obie wielkoś ci są tego samego rzę du, czyli moż emy napisać
Powyż sza równość jest sł uszna jedynie dla okreś lenia rzę du wielkoś ci W i dlatego nie moż na się nią posł uż yć do wyznaczenia samej wielkoś ci W .
U twórzmy wyraż enie
w którym nastę pnie czł on g'J
W \ tj zastą pimy wielkoś cią - TTW na podstawie pierwszej równoś ci, czyli otrzymamy
3
D la powł ok cienkich wielkość - rj jest wielkoś cią dużą rzę du wyż szego w stosunku do 1, 3
bo na przykł ad dla powł oki ż elbetowej o gruboś ci 2/i = 0,2 m, bę dzie - p- = 300, a dla powł oki stalowej o gruboś ci 2h = 0,02 m, bę dzie - p- = 30 000.
W ramach liniowej teorii, pomijają c wielkoś ci mał e wyż szego rzę du, napiszemy
czyli wielkość W odniesiona do giJ
W \ ij jest wielkoś cią mał ą wyż szego rzę du, czego nale-ż ało dowieś ć.
Procentowy bł ą d odrzucenia wyrazu mał ego, dla powł oki stosunkowo grubej, dla 3
której - p- = 300, nie przekracza wię c 0,5%.
Powyż sze analityczne obliczenie bł ę du wynikają cego z odrzucenia czł onów mał o-stabilnych został o potwierdzone numerycznie przeliczonymi przykł adami. Przeliczona powł oka walcowa ż elbetowa, dla której h = 0,1 m, wzorami ś cisł ymi i uproszczonymi, (patrz zał ą czone tablice) wykazuje również róż nice nie przekraczają ce 0,5%. '
Wersja uproszczona równań (3.7') i (3.11) może wię c przyją ć postać P3
(3.16)
11
33KSZ TAŁ T RÓWN AN IA RÓŻ N ICZKOWEGO CZĄ STKOWEGO • 271
Jeś li do drugiego równania (3.16) wprowadzimy funkcję P3 z ukł adu (3.2') z odrzuconym czł onem 6HMiJ
bij jako wielkoś cią mał ą w porównaniu z gi}
W\ t]s to wówczas otrzymamy
nastę pują ce równanie róż niczkowe czą stkowe rzę du ósmego, rozwią zują ce powł oki prosto-kreś lne rozwijalne (3.17) gdzie / P3 \
i- (l+v)P
kl
kiX.
J22 ktijD la przykł adu napiszemy równanie (3.17) dla powł oki walcowej, sparametryzowanej w ukł adzie ortogonalnym naturalnym.
Jeś li a bę dzie promieniem walca, powierzchni ś rodkowej powł oki, to jej wielkoś ci geometryczne przyję te z pracy [1] bę dą równe
gn = 1. £12 = gn = 0, g22 = g = a 2 , b±1 = b12 = 62i = 0, b22 = a, b = 0,
MT- - J, i?, = 0.
Pochodne kowariantne dla powł oki walcowej w parametryzacji naturalnej, przejdą w pochodne zwykł e, ponieważ symbole Christoffela drugiego rodzaju są równe zeru. Równanie róż niczkowe (3.17), rozwią zują ce powł oki walcowe dowolnie obcią ż one i podparte, przyjmie postać(3.19) W jjjp l^ g
przecinek «,» oznacza pochodną zwykł ą.
Osiowa symetria odkształ ceń, wystę pują ca przy obcią ż eniu i podparciu powł oki osio-wo- symetrycznym, obniża rząd równania (3.19) i powoduje jego przejś cie w równanie zwyczajne rzę du czwartego
(3 20) W i W - ' V - W - **P
(3- 20) ^, 1111+ {ahy W - 2Eh3a F,
gdzie
W - wiu', P- aPfu- vPh.
D la porównania wpł ywu wprowadzonych do równań (3.7') i (3.11) uproszczeń, dają-cych uproszczony ukł ad równań (3.16) rozwią zują cy powł oki prostokreś lne rozwijalne, zostanie przeliczony przykł ad liczbowy wzorami uproszczonymi i uś ciś lonymi . W przy-kł adzie rozpatrzona zostanie powł oka walcowa odkształ cają ca się osiowo- symetrycznie. Odpowiednikiem równania rozwią zują cego uproszczonego (3.20), dla tego przykł adu, bę dzie równanie róż niczkowe uś ciś lone otrzymane z (3.11), po wykorzystaniu odpowiednich wielkoś ci geometrycznych (3.18). Równanie uś ciś lone rozwią zują ce powł oki walcowe, odkształ calne osiowo- symetrycznie, przyjmie kształ t
272 S. BI E LAK
Inna droga postę powania podana w pracy [1] doprowadzi do równania rozwią zują ce-go (3.21) róż nią cego się jedynie parametrem przy pochodnej wewnę trznej W , lx. Wpro-wadzają c w równaniu (3.21) parametr X jako wielkość zależ ną od sposobu upraszczania, to znaczy odrzucania wielkoś ci mał ych wyż szego rzę du w trakcie rugowania zmiennych, moż emy ogólnie napisać
(3.22) I
N iestabilność czł onu wewnę trznego, lewej strony równania (3.22), nasunę ł a przypusz-czenie, że czł on ten nie ma istotnego wpł ywu na rozwią zanie. Bliż sze badan ie tego za-gadnienia pozwolił o wprowadzić uproszczenia, w ramach przedstawionej teorii, dają ce ukł ad równań (3.16), z którego uzyskano równanie stabilne (3.17), rozwią zują ce powł oki prostokreś lne rozwijalne.
4. Przykł ady
D ana jest powł oka walcowa zamknię ta o promieniu a i wysokoś ci / (17s. 1), zamoco-wana u swej podstawy i obcią ż ona parciem cieczy znajdują cej się wewną trz p. Wielkoś ci sił wewnę trznych i przemieszczeń wystę pują cych w powł oce, dla róż
nych rodzajów ma-Rys. 1.
teriał ów, z których są utworzone powł oki, i róż nych sposobów obcią ż enia, wyznaczono wzorami podanymi w pracy [1]. Obliczenie przykł adów liczbowych przeprowadzono w oparciu o program realizują cy równanie róż niczkowe (3.22) przy zał oż eniu X = 0, lub X =fr 0. P odane w tablicach wyniki uwzglę dniają X = 0 i X — 1 dla ż elbetu.
Wydrukowane w nagł ówkach tablic symbole oznaczają : A = a promień walca,
H — h poł owa gruboś ci powł oki, NI = v współ czynnik Poissona,
K S Z T AŁ T R ÓWN AN I A R ÓŻ N I C Z K OWE GO CZ Ą STKOWEG O 273
E stał a sprę ż ystoś ci,
N obcią ż enie stał e brzegu górnego,
P\ skł adowa obcią ż enia wzdł uż prostej tworzą cej, P2> skł adowa obcią ż enia, wzdł uż prostej normalnej, M l 2 m om ent zginają cy w kierunku tworzą cej, M2\ m om ent zginają cy w kierunku ł uku,
Ql sił a tną ca dział ają ca w kierunku norm alnym do powł oki, Nil sił a osiowa dział ają ca w kierunku prostej tworzą cej, JV22 sił a osiowa dział ają ca w kierunku ł uku,
W \ przemieszczenie w kierunku tworzą cej powł oki, W i przemieszczenie w kierunku norm alnym do powł oki.
Tablice 1 i 2 podają wartoś ci sił , momentów i przemieszczeń obliczone przy zał oż eniu % = 1, dla zbiorników napeł nionych wodą o wym iarach: pierwszy o promieniu A = 2, 0 m i wysokoś ci L = 50,0 m i drugi o prom ieniu A = 10,0 m i wysokoś ci L = 20,0 m.
Tablice 3 i 4 podają wartoś ci poszczególnych wielkoś ci fizycznych dla tych samych zbiorników przy zał oż eniu 1 = 0. P orównanie wyników obliczonych wzorami uś ciś lony -mi i uproszczonymi, potwierdza sł uszność wprowadzonych uproszczeń, ponieważ odchył ki są bardzo mał e i nie przekraczają 0,5% wartoś ci uzyskanych wzorami uproszczonymi.
Literatura cytowana w tekś cie
1. St. BIELAK, Ogólna teoria powł ok prostokreś lnych pracują cych w stanie zgię ciowym, P olitechn ika Ś lą ska, Budown ictwo z. 33. G liwice 1973.
2. B. M . flAPH EBCKH fl, CóopHUK cmamefi, I I po^m ocTt niMHHflpHqecKHx^oeojioMeK, MocKBa 1959. 3. H . LU N D G R E N , Powł oki walcowe, Arkad y, 1963.
• M 1 1 1 1 1 I "S 1? S S l S S Q S S S S S S S i S S S S S S S S S S S S S S S l Q m g S r t - i n t ^ - c ^ o t ^ ^ r ^ c ^ ^ t r ^ ^ o o o o o c h a ^ o o O r ^ ^ r a o c s r M y o o \ , o r ^ o — i t - ' * 0 \ ' * o o T - i ^ - ^ 0 ' a - m r S i - < o o o N o o m o o m C T > T j - > n t - - o 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1
O
1!III111!!!!I13333!!!!3!III
• o1 S S S S S S S S S S S S S S S Q S S S S S Q S S S i a S ® d » i n H M ' ł » o i n H M \ l i n H H N N N n i n l n » h l » o i r ! r i H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 "g1 H H r I M N P I N N M N N M M N M r t M N N N M N M N M M N O rt" S S S S S S S S S S S S S S Q S Q i S S S S S S S i a S S S ri M m t - - O ' t M M v i M t ^ \ 0 M v i r t ^ 0 \ ' - < O o o * o o o o « - < m i n ^ D c o o . y 3 v o c S c ^ i - - t o m y 3 f ^ O c N > n O ( M C N f S r ^ f N c S f S r - i r H t ^ T - i o o o o r*? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o X o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o C, d o' o' o' d d o' o o' d o' o' d o o' d o' o' o' o o o' o o' o' d d d i—is
•«
? M 1 . 1 1
?c\ 7h" T ł - O f ^ ^ f o o T j - o c - l o a i n ł - H o o i — : < o o o o \ \ o r n c n o o o o o o o » n o c- i | *t ( ^ o ^ ^ ^ o o u ^ m r - o o o o o o c h ^ i o s ^ o o o o o o o o o o o S r^ ^ rt rt H t ^ ^ N y> ^ ' H rt N >O N rt ^ ' \Ó S£) i « VO «) VO V£> \O ^O VO* «> ofaj °* 1 i I 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 I 1 i 00 / - * > ^ V V 0 f 0 i ^ 0 s ^ a \ l > ^ O r ^ ' - H t ^ 0 N O O1 n » - H ^ 0 f S ti - » t r i r n c S 0 N f - - 1 T ł - 0 > l o g 1 1 1 1 1 ! 1 1 1 1 i 1 1 ! I 1 1 1 t i I o" 1! ^ V ( S t s c s ^ t f n T f T ł - r - r - o o i - H M O N t ^ i n i - w i n - ^ ł - c ^ o o o o o ' — I O O O O fcń I — il O o o c N1 o t ~ - T T O O ( 7 \ ' - < r ^ r o o m o \ c o1 s O O ' ^ o o t - - ^ » n ' * o O O O O w O O v O ^ f O ' T H O H r l H O O H r v l ^ f - h ^ f f i ' r i ^ ' H O O l O O l f i M n O O ro v i t n H V rt K H H H H a i \ d Tt r i M (S es H H N N n H H o i «5 t n O 8 C i i i i i i i II ^ ^ _ _ ~ "! C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O o ł — i c s m ^ i n ^ o c - o o c h o o o o o o o o o o o o o o o o o o 1274]
i nnnnnnnnnir
< o
"« '5' Q S S S S S S S S Q S S i S i S l S S S S S S l S S l <^i O O ^ ^ f O i - H O o o - d - o ^ O f S t ^ C v l f n o o i n r - i o o o ^ o 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I "3" S S S S S S S S S S S S Q S S S S 8 S Q 1 3 S H o O CT\ <N —i m — i o o v o i ~ - y 3 c o r ~ - . - f O a \ m a \ O N v i ? p 5 ^ - i v o m M ( s r - v o ^ o ^:« > - * ' - H O O ' * o > n o ' n r t ' od N ^ "n H r i p i < n V H H \ o M cJ c i <o ^ sf vi "S o r>" 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o K> ol O Q1 ^1 J 3 ' - | ' N m O O ' - i| O r n i i t ~ - c < 1 - ^ - > o a \ o t ' < t < » M a \ o o t s o o \ o \ o \ O T - i N ^ t ^ y 3 ' n m t N t « o o O ' - '
CJ m' r i vd »-i r4 c~i tń • *' «' t> »' H H H - 4 »-i »4 »-< r4 « u- i I- I
< 1 rh O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O V O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O g£. o o o' o' o' o o' o' o o ó o' o o o d o o o o" o o >n <1 Q "T. ^ ^ N M ' N N N N N n « F i H O H O H « i . t f N O ^ c ^ O * 1 O m t s t ^ ^ r - i r n o i n y j M i n o o t ^ T f c ^ n O t - i c A S j o N O §3, o o — i f N - * r - - » c o \ o r t r - i £ ) ' < ł - g o \ o \ r t r - ® 2 o \ o T — t o \ ^ - " ^ m r - H O ^ O < S O O o a N r « ) ^ - r ^ e ^ i r o » - < o o ^ . r - i o «, ^ | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I 1 o " II u l ' - o o - ^ ' ^ c ^ o r ^ ^ o o o o T - H O o r f o o f - t ^ x f O ' ^ o o c ^ O rh ^ o o r ^ < o o o f ^ " o c ^ o o o \ r ^ - " « t - T - 4 i — i o o o \ o \ T ( f l r i - ^ o ^ o c ^ ^ o m o ^ o T j - i o o o r ^ r ^ ^ o ^ o c ^ i t - ł c ^ r - o t ^ ^ r ^ o ,i g i i i i i i i i i i i i i i i i i ° O r - ( O C S ' O ( N O \ 0 0 - ^ - < n O O Cv l O ' — i i - H C N r - i ^ O \ 0 \ 0 0 co r i oi K in Tf N H i> H in H p| O \ V H K M ' cn r i ^ m d
11 C 1 1 1 1 1 H O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O Z ,O rtM mrtirt'BC^COCTsOOOQOOOOOOOO o b 5 Mechanika Teoretyczna 3/74 [275]
~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 •9 • c S S S S S S S S S Q S S S S Q S S S S S S S S S S S S S ' - ' o >n O — ( r i ^ H ? 5 o ^ - 01 n t ^ t ^ - 0 ' 0 0 ' ^ i O ' * O v r n t - - 0 2 0 0 r o > - < o i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i "a1 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S l S — o r J o o o - H O N i - i O ^ o u - i r - H ^ F c n f N r - i o o r i - o u i ^ ^ f ^ C T i - d - O - s i - i n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' g ' H n N N P l N N N N N N M N N M M N N N M N N N N H N M O ^ S S ? » S » l ~ - N I » O O « l » N n N M H H O « J H M 0 5 » ! f j O ^i i n ^ O r o - ^ - t ^ - O f N r ^ l O t ^ C ^ C O - ^ - f N O O O ^ C T t - r ^ O O O O O O O O O
i
r f O O O O o O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O ^ o o ' o ' o o ' o o o ' o o o ' o o ' o o ' o o ' o o o o o ' o o o o o o ' ® fc] rK f n ^ c s c o i n H ^ r * - o o o m o | J 3 M | n M o \ ' - < ©| n O O O O C > O C - - o ^ v j o > ^ T ^ T ^ o c ^ v o v o T t " o o « o i - H f n c 7 \ C S o o i o f ^ a N O o c y \ O N O \ O N c r \ o > o o o K>< O f O U ^ O N m w - i ^ t T ł - o O N ^ ^ O O ^ ^ i n O C ^ r S O O O O O O O O O l*< T - H r H V ^ ^ O O f n r H O O f ^ O N t ^ O O O O O O O O N ^ O O O O O O O O O O O O oo O l 1 1 • 1 1 1 1 • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 o" II • — — — 8 S Q Q i s i s i s Q i S i s i s i s i S i a i s i a Q i S Q i s i a t a s i s s s o i s s S X y ? c < < ^ o o o \ t S ^ O O ' - < v o o e \ O O i n - H V D { N | . t ~ - i<- i m r M O \ t - ~ ; * M O o d ' O ^ o t ^ ^ t n T f c o r - ł o o f ^ o t ^ y ^ ł n i n i O T ł - ^ ^ i - d c s o ^ o o ł - H ^ t ^ o II g 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 hi ^ ^ f O f n r o C N l c ^ r ^ r n c o f o m ( N ' - ( ^ H i - i ł - i1- < i - - i T - ( T - i r - i r - < T - t r Ht- H O O O O O 21 - 1 2 3ltscri ^lrio0 rflM O ^ O O T | - f r i ^ C O ts . \ D r t ^ M C O ^ O \ 0 0 « X c M O O \ ( N i — i » o o o o o M 3 t > a \ m r o ( S f O i - H i n ' « ^ - c - i o o o o O ' — < o o o O M ' ^l O1 O C S T - - ( ^ 0 r n t ^ " 0 0 O V 0 ^ 0 O V - i 0 N r n ' O O * ^ * 0 0 t * - V j D i / - > T t * O O O O O O O O V O ^ C ^ l » O r H O T ^ T ^ T ^ t ^ t ^ O l1 O t ^ - l > V D V O « O T j - i - H O O < r i r - ) fr l CN l ' - H O u 5 i i i i i i i ^ S O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O <z . o, ' - < f N f r i ^ - > o ^ r - o o a \ o o o o o o o o o o o o o o o o o o r, ^ ^ r - i M c n t i n v o t ^ K i c ^ O ' n O ' ^ O ' ^ O ^ O [276]LZ G g ( N ( N U - i O - H V O O \ ^ O f ^ i n l n c ^ — i CO ^O O \£> <S t- - O t o o ^ ' ^ ' v l ' n r t ^ o o r f i C h ' O O M ^ N m i x j i n H M a o O r n r ^ H T } - ^ " o ^ ' - i T - ( r - - ( ł - H r n T }:r n r O f o r n r 4 f S r 4 ' — t o 1 1 1 I 1 1 1 I I 1 | | | M | . | | | | G 0 0 o r n1> O f S o o t Ni^ t " r - t ~ - - r n c i n o o f Sln o o1O r n - ^ l - 1o c r \ D O r"1 o (?\ h M r- 1 i n - - i i - H t ^ - c ~ - o c N ( N y p ^ t - c ^ " v h o o r - ( S c o ^ o c J N H f i H N f ń i o ^ ł H H y s H N r i f n T f ^ i r i i n ^ h' i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i Sr S S S S S Q Q S S S S S S i S S S l S S S a S S ^ o ) m O t » ^ < N c T i m m o m ' - i m r ~ o o ' *i y - r t Ol ' i o \ « 3 esl o \ o O 'N ' 0 0 \ o \ o O ' - H r - l « n c - ~ ^ > i n m t s i T - i o o o — i O o g o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o > j O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O SS • O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O - §. s S S S S Q S S Q l S S S S S S S S S S S I S S U t T J o r - - G o o o o c > l ( N ^ * v o f n o o \ ^ H r o ^ O M ' r ^ v o o o r - H O & J S o ^ - i i N - ^ - h - ^ H m i n ^ ^ ^ o ^ O N t ^ r - i o o ^ a i - H ^ o 2< - ^t ^ "k o r r i ' ^c - > V £ ) ( N O N O O < ^r v l r n c n r n C N l c v 'c ^ ' ^ *r H O 00 ^ | 1 I I 1 1 1 I 1 1 1 I I I 1 o" H Q S Q S S Q S S S Q Q S I S S S Q S S Q S S S u O ^ O r O C ^ O O C ^ C M f ^ ^ O N O O O N O f N r - ł r - ł ^ H ^ O T i - ^ O o o o s v o r n o y D ^ - » n o o r ^ ^ ; v o ' n o r ^ ^ - H a N ^ - o ^ - ^ ł - r - - o u q i i i i i i i i i i i i i i i i i O u c o O ' ~ H ' - i młJ D i n o ) y D r ^ o t ^ - i o O ' ^ c r \ i - H o o t - - f N i r i O o M O - ^ c o - ^ t ^ H r n ^ r - H o o o o r i O N C ^ m T t r - . c o ^ r m o a N O ^ J O i — ( O f N1O c N C T \ O O ^ h i n O O (Nl O t S ' — i t S * — * O O C T \ O O 4 § i i i i i m C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O S o. - ^ M m - ^ - m v o t ~ o o a \ O O o o o o o o o o o o x ^ ^ ^ H c M c o ^ ' r i ^ o t ^ - o o a N O ' o o
• 91 i- i i- i i- i t s
0 to
5
278 S. BIELAK
P e 3 IO M e
BH fl flH *<t>EPEH miAJlBH OrO YPABH EH H H B ^IACTHfeLX IIPOH 3BOJ1.H LIX PEUIAKHUErO KJIACC JIH H EEWATBIX P A3BEP TBIBAK)mi"lXOI OBOJIOMEK B paSoTe npe«npHHHTa nonbrara cctopiwynHpoBaTb eflimoe pemeuHe o6meft CHweMbi ypaBHeimii
pa3BepTbiBaioimixcH oSwio^ieK, pa6oTaiom,nx n p n n3rH 6aiomH X HanpH>KeHHJix, BbinoJiHeH-H3 oflHopoflHoro H3OTponHoro MaTepaajta. IIpHHHTa MaTeiwaTHiiecKaH MOflejib, onH CbiBawmaH pa-6oTy OGOJIO^KH n p n H 3rn 6e, ocHOBaHa Ha JiHHeiiHOH Teopan o6ojioHeK OTHeceHHOH K cpefle T yn a .
npHBOflHMbie B TeXHHMeCKOH JIHTepaType peilieHHHj OTHOCHTCH JIHIUb K UHJIHHflpHHeCKHM H K0HH-tiecKHM oBojicncaMj cepewiH H bie noBepxHocTH KOTOpbix o6pa3OBaHbi npHMbiMH nepeceKaioiUHMH oi<py>K-HOCTH nofl npaMbiM yrjioM, n pri ieM flH (J)(pepeH Ł(H ajiŁH bie ypaBHeHHH, p em aio m ae 3TH OSOJI OI KH
, pa3-n o crpoeH H io, I O K B oTHoi, pa3-neiuiH HX , pa3-nopH flKa, Tai< H BHfla oTflejibHbix iraeH OB.
B HacTOHinett paSoTe pem em ie 3Toro KJiacca O6OJIOMCK cBe^eH o K oflHOMy flH tJ)4)epeH -ypaBHeHHio BocŁMoro nopH flio B tiacTHbix npoH3BOflHbix Ha HCH3BecTHyio 4>yHKifmo n
epe-ypaBH enne oxBaTHBaioTCH npoH3BOJibHoro BHfla Harpy3KH H B H ^ M onapaH H
S u m m a r y
THE PARTIAL D IF F EREN TIAL EQU ATION SOLVING A CLASS OF RU LED D EVELOPABLE SHELLS . An attempt is made to determine a uniform solution of the general system of equations governing the theory of bending of ruled developable shells made of isotropic material. The mathematical model assumed which describes the state of bending of shells is based on the linear shell theory referred to H ooke's medium. The corresponding solutions quoted in the literature concern the cylindrical and conical shells in which the middle surfaces are generated by straight lines intersecting the circles at right angles; the cor-responding differential equations have various forms, differing by their order and the form of individual terms. The solution given in this paper is reduced to a single eighth order differential equation in the unknown displacement function w3 . The differential equation applies to arbitrary loading and support conditions of the shell.
P OLITECH N IKA Ś LĄ SKA, G LIWIC E
