Ogólnie o krzywych stopnia drugiego

Ogólnie o krzywych stopnia drugiego A. Mróz 1. Jakie krzywe przedstawiaj¡ równania:

(a) x2+ y2+ 4x + 6y − 12 = 0; (b) x2+ 4y2− 2x + 8y − 11 = 0; (c) x2− 3y2_{+ 2x − 6y − 8 = 0; (d) y}2_{− 4y + 6x − 2 = 0;}

(e) x2+ 2y2− 2x + 8y + 9 = 0; (f) x2+ y2− 6x + 4y + 15 = 0; (g) 4x2_{− xy = 0.}

2. Do jakiej postaci przeksztaªci si¦ równanie

x2− 2xy + y2− 12x − 12y + 36 = 0,

je»eli obrócimy osie wspóªrz¦dnych o k¡t α = 45◦ _{dookoªa pocz¡tku ukªadu?}

3. Jak¡ posta¢ przyjmie równanie hiperboli równoosiowej x2_−y2_{= a}2_{, je»eli obrócimy osie}

wspóªrz¦d-nych o k¡t α = −45◦_?

4. Zbadaj, jak¡ krzyw¡ przedstawia równanie

7x2+ 7y2− 2xy − 48x − 48y + 144 = 0. 5. Okre±l typy nast¦puj¡cych krzywych:

(a) x2− 2xy + 2y2_{− 4x − 6y + 3 = 0; (b) x}2_{− 2xy − 2y}2_{− 4x − 6y + 3 = 0;}

(c) x2− 2xy + y2_{− 4x − 6y + 3 = 0; (d) x}2_{− 2xy + 2y}2_{− 4x − 6y + 29 = 0;}

(e) x2− 2xy − 2y2_{− 4x − 6y −} 13

3 = 0; (f) x2+ 6xy + y2+ 6x + 2y − 1 = 0;

(g) 3x2_{− 2xy + 3y}2_{+ 4x + 4y − 4 = 0; (h) y}2_{+ 5xy − 14x}2 _{= 0.}

6. Posªuguj¡c si¦ rozkªadem lewej strony równania na czynniki znajd¹ sens geometryczny równa«: (a) xy − bx − ay + ab = 0; (b) x2− 2xy + 5x = 0;

(c) x2− 4xy + 4y2_{= 0; (d) 9x}2_{+ 30xy + 25y}2_{= 0;}

(e) 4x2_{− 12xy + 9y}2_{− 25 = 0.}

7. Wyka», »e poni»sze równania przedstawiaj¡ pary prostych i znajd¹ równania ka»dej z nich. (a) y2− xy − 5x + 7y + 10 = 0; (b) 21x2+ xy − 10y2 = 0;

(c) 4x2− 4xy + y2_{+ 12x − 6y + 9 = 0; (d) x}2_{+ 2xy + y}2_{+ 2x + 2y − 4 = 0.}

8. Przy jakiej warto±ci parametru a równanie x2 _{+ 2ay}2 _{− x + y = 0 przedstawia krzyw¡ typu}

parabolicznego, a przy jakiej par¦ prostych?

9. Jakie krzywe s¡ okre±lone równaniem x2_{− 2xy + ay}2_{− 4x − 6y + 3 = 0, przy ró»nych warto±ciach}

parametru a?

10. Oblicz dªugo±¢ ci¦ciwy odci¦tej przez krzyw¡ 2x2_{− 4xy + 5y}2_{− 8x + 6 = 0na osi odci¦tych.}

11. W punktach przeci¦cia krzywej x2_{− 2y}2_{− 5x + 4y + 6 = 0z osiami wspóªrz¦dnych poprowad¹}

styczne do tej krzywej.

12. Przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych poprowad¹ styczne do krzywej 3x2+ 7xy + 5y2+ 4x + 5y + 1 = 0. 13. Przez punkt M = (3, 4) poprowad¹ styczn¡ do krzywej

14. Znajd¹ miejsca geometryczne ±rodków okr¦gów przechodz¡cych przez punkt (3, 5) i stycznych do osi Ox.

15. Znajd¹ miejsca geometryczne punktów, dla których stosunek odlegªo±ci od punktów (−1, 0) i (1, 0) jest równy√2.

16. Znajd¹ miejsca geometryczne wierzchoªków C trójk¡tów ABC o wspólnej podstawie AB takich, »e A = (0, 0), B = (12, 0) oraz suma kwadratów dªugo±ci boków AC i BC jest równa 100. 17. Znajd¹ miejsca geometryczne punktów, których iloczyn odlegªo±ci od dwóch staªych punktów

jest staªy i równy kwadratowi poªowy odlegªo±ci danych punktów.

18. Ko«ce odcinka o staªej dªugo±ci ±lizgaj¡ si¦ po dwóch osiach wspóªrz¦dnych. Punkt M dzieli ten odcinek na cz¦±ci o dªugo±ciach a i b. Znajd¹ miejsce geometryczne punktów M.

19. Znajd¹ miejsce geometryczne punktów, dla których suma kwadratów odlegªo±ci od punktów A = (−a, 0)i B = (a, 0) jest staªa i równa k2.