Charakterystyki czestotliwosciowe

(1)

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

Zadanie 1. (Charakterystyki częstotliwościowe)

Problem:

Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) członu całkującego rzeczywistego (z inercją)

( ) ( )

=

s

Ts

+

1 k

s

G

Rozwiązanie:

( )

₍

₎

(

₂

₍

₂

) (

₂

₎

)

₄ ₂ ₂ 2

1

1 ω

ω

+

−

=

+

−

⋅

−

⋅

=

+

=

T

kT

jk

T

Tj

j

k

Tj

j

k

j

G

(1)

Do transformaty wstawiamy

s

=

j

ω

,

następnie uwalniamy mianownik od części urojonej (mnożymy mianownik przez sprzężenie), przy czym należy pamiętać, iż

1

2

₌

₋

j

( )

₄ ₂ 2 ₂ ₄ ₂ ₂

ω

+

−

+

=

T

k

j

T

Tk

j

G

(2)

Wyznaczamy pulsacje układu

Grupujemy na część rzeczywistą i urojoną by móc zastosować wzór na pulsacje

( )

_ω

(

_P

( )

_ω

)

2

(

_Q

( )

_ω

)

2

A = +

( )

ω

P

Wykonujemy proste przekształcenia matematyczce

( )

ω

Q

( )

(

₄ ₂ ₂

)

2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2

ω

+ + =       + −       + = T k k T T k j T Tk A

(3)

Doprowadzamy do wyznaczenia k i ω

( )

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 + = + = + + = T k T k T T k A

ω

(4)

(2)

Wyznaczamy fazę φ(ω) ze wzoru :

( )

_{( )}

( )













=

ω

ϕ

P

Q

arctg

Wyznaczamy rzędnych faza ϕ (ω )

( )











 +

−

=













+

−

=

arctg

T

Tk

T

k

arctg

π

ω

ϕ

2

2 2 4 2 2 2 4 (5)

Moduł L(ω ) transmitancji widmowej G(jω )

( )

20 lg

(

1

)

log

20

1 lg

20

2 2 2 2

+

−

=

+

=

ω

T

k

T

k

L

(6) Obliczamy moduł L(ω ) transmitancji widmowej G(jω ) wyrażony w decybelach, wzór z którego korzystaliśmy

( )

ω

(

A

( )

ω

)

L =20lg wyliczenia przeprowadzamy by móc narysować charakterystykę amplitudową Bodego.

(3)

Rys.2 Charakterystyka fazowa Bodego dla k=10, T=1s

Zadanie 2. (Charakterystyki częstotliwościowe)

Problem:

Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) następującego członu: całkującego idealnego.

( )

s

k

s

G

=

Rozwiązanie: Mając dane

( )

s

k

s

G

=

,

s

=

j

ω

(1)

Po podstawieniu otrzymujemy

( )

(

₂

)

ω

k

j

k

j

G

=

⋅

−

(2)

Do danego transformaty wstawiamy

s

=

j

ω

,

a następnie uwalniamy mianownik od części urojonej (mnożymy mianownik przez sprzężenie) przy czym należy pamiętać iż

j

2

=

−

1 ( )

₂

ω

j

k

j

G

=

−

(3)

Grupujemy na część rzeczywistą i urojoną by móc zastosować wzór na pulsacje

( )

_ω

(

( )

_ω

)

2

(

( )

_ω

)

2 Q P

(4)

Wykonujemy proste przekształcenia matematyczce przy czym należy pamiętać iż

j

2

=

−

1

Wyznaczamy pulsacje układu

( )

₂ 2 2 ₄2

ω

j

k

A



=









−

=

(4)

( )

ω

k

A

=

2₂

=

(5)

Po skróceniu wyznaczamy współczynniki k i ω

Wyznaczamy rzędnych faza ϕ (ω )

( )

2

π

ω

ϕ



=

−









−

=

arctg

k

(6)

Moduł L(ω ) transmitancji widmowej G(jω )

( )

ω

20log 20lg 1 lg 20 2 2 ₊ = − = k T k L (7) Wyznaczamy fazę φ(ω) ze wzoru :

( )

_{( )}

( )

_











=

ω

ϕ

P

Q

arctg

Obliczamy moduł L(ω) transmitancji widmowej G(jω) wyrażony w decybelach. Wzór z którego korzystaliśmy:

.

Wyliczenia przeprowadzamy aby narysować charakterystykę amplitudową Bodego.

( )

ω

(

A

( )

ω

)

L =20lg

(5)

(6)

Zadanie 3. (Charakterystyki częstotliwościowe)

Wyznaczyć charakterystykę amplitudową i fazową Bodego dla układu o transmitancji













+













+













+













+

=

100

1

10

100

1

1 ,

0

1

10

10 )

(

s

G

Charakterystyki poszczególnych członów.

• Człon I –







 +10

10 s

s





• Człon II –











+1

1 ,

0

1 s



• Człon III –













+1

10

100 s

s

• Człon IV –







 +100

100 s





(7)

Charakterystyki wypadkowe układu o transmitancji:













+













+













+













+

=

100

1

10

100

1

1 ,

0

1

10

10 )

(

s

G

(8)

Zadanie 4. (Charakterystyki częstotliwościowe)

Wyznaczyć charakterystykę amplitudową i fazową Bodego dla układu o transmitancji

(

)(

)

(

s

)

s

G

100

1

10

1

1 ,

0 )

(

2













+

=

Charakterystyki poszczególnych członów. • Człon I –

(

0,1s+1

)

• Człon II –

(

10 s

+

1 )

2 • Człon III –













+1

1 s

• Człon IV –

(

100s

)

(9)

Zestawienie charakterystyk na jednym wykresie

Charakterystyki wypadkowe układu o transmitancji:

(

)(

)

(

s

)

s

G

100

1

10

1

1 ,

0 )

(

2













+

=

(10)

(11)

Zadanie 5. (Charakterystyki częstotliwościowe) Problem:

Wyznaczyć uogólnione charakterystyki: amplitudową i fazową oraz amplitudowo-fazową dla członu z opóźnieniem.

Rozwiązanie:

Równanie członu z opóźnieniem ma postać: y

T t

kx( − )= (1)

gdzie T – czas opóźnienia.

Jeżeli na wejściu członu pojawi się sygnał harmoniczny

t j

e

x

(

=

₀ ϖ (2)

to sygnał wyjściowy ma postać:

.

)

(

)

(

_t

_G

_j

_x

₀

_e

j t

y

=

ω

ϖ (3)

następnie należy ustalić postać przepustowości widmowej:

t j

ke

j

G

(

ω

)

=

− ϖ (4)

To wyrażenie powstało w taki sposób, ponieważ przepustowość Laplace’a członu z opóźnieniem o równaniu (1) wyraża się wzorem:

sT ke s G( )= − stąd:

)

sin

(cos

)

(

j

ω

k

T

ω

j

T

ω

G

=

−

(5) stąd: ω ω k T P( )= cos ; część rzeczywista (6)

Taką postać otrzymuje się korzystając z twierdzenia Eulera dla liczb zespolonych patrz podr. Matemetyka T. Trajdos cz.III rozdział VIII, p.4.

ω

ω k T

Q( )=− sin ; część urojona (7)

Następnie obliczamy moduł transmitancji widmowej widmowej:

k T T k Q P A(_ω)= (_ω)2+ (_ω)2 = 2(cos2 _ω+sin2 _ω) = ₍₈₎ lub: 1 ) ( ₌ k Aω (9)

Wówczas można obliczyć argument transmitancji widmowej:

ω ω ω ω ω ω ω ϕ arctg tgT T T k T k arctg P Q arctg = − =− =− = ( ) cos sin ) ( ) ( )

( (10) W tym przypadku moduł i

argument przepustowości widmowej są widoczne bezpośrednio ze wzoru (4) Wyznaczamy charakterystykę amplitudową i fazową

(12)

2 2 2 2 2 2 2 ₍ ₎ _cos _sin ) ( Q k T k T k Pω + ω = ω+ ω= . (11) lub: 1 2 2 =       +       k Q k P (12)

Wzór ten przedstawia równanie okręgu o promieniu jednostkowym i o środku położonym w początku układu współrzędnych. Uogólnioną charakterystykę amplitudowo – fazową najłatwiej wyznaczyć podnosząc wyrażenia (6) oraz (7) do kwadratu i je zsumować.

Charakterystyki uogólnione mają postać

Tϖ

A/k

1

: Charakterystyka amplitudowa. 45o

Tϖ

ϕ(ω)

0

Charakterystyka fazowa. -1 1 -1 1 Tϖ = 0 P(ω)/k jQ(ω)/k

(13)

Na wejściu układu przedstawionego na schemacie blokowym, wprowadzono sygnał harmoniczny o amplitudzie x0 = 2 i częstotliwości ω = 0,5 rad/sek. Wyznaczyć amplitudę y0 = i kąt przesunięcia fazowego

ϕ sygnału wyjściowego. t j

e

x

=

₀ ω ) 0 ω ϕ +

=

_y

_e

j t

y

1 2 1 + s 0,5 1 2 + s Rysunek 8.1 Rozwiązanie:

Przepustowość układu wynosi:

1 5 , 2 2 1 5 , 0 2 1 2 1 ) ( ₂ + + = + ⋅ + = s s s s s G (1)

Na podstawie transmitancji układu należy wyznaczyć transmitancję widmową (s=jω):

; 25 , 6 ) 1 ( 5 ) 1 ( 2 ) ( ₂ ₂ ₂ 2

ω

+ − − − = j j G (2) stąd: 2 2 2 2 25 , 6 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( ω ω ω ω + − − = P 2 2 2₎ ₆_,₂₅ 1 ( 5 ) ( ω ω ω ω + − − = Q (3)

Podstawiając za ω = 0,5 rad/s otrzymuje się: P(0,5) = 0,70; Q(0,5) = -1,18; (4) Wszystkie objaśnienia odnośnie zastosowanych w zadaniu wzorów i obliczeń znajduja się w zadaniu 7. Moduł przepustowości widmowej dla częstotliwości ω = 0,5 rad/s

wynosi:

;

4 ,

1 )

18 ,

1 (

)

7 ,

0 (

)

5 ,

0 (

)

5 ,

0 (

)

5 ,

0 (

₌

_P

2

₊

_Q

2

₌

2

₊

₋

2

₌

A

(5)

Stąd amplituda sygnału wyjściowego wyniesie: . 8 , 2 2 4 , 1 0 0 = Ax = ⋅ = y (6)

(14)

zatem argument przepustowości widmowej dla ω = 0,5 rad/s, a tym samym kąt przesunięcia fazowego sygnału wyjściowego wynosi:

o

59

7 ,

0

18 ,

1 )

5 ,

0 (

)

5 ,

0 (

)

5 ,

0 (

=

arctg

−

≅

−

P

Q

arctg

ϕ

(15)

Wyznaczyć charakterystyki częstotliwościowe : amplitudowo-fazową Nyquista oraz amplitudową i fazową Bode’go dla układu o transmitancji G(s).

( ) ( )( )

5

6

2

3

6

2

₊

=

+

=

s

G

(1) Rozwiązanie:

( )

j

ω

P

( )

ω

jQ

( )

ω

G = + (2)

( )

₍

₎

(

₍

)

₎

(

)

(

)

(

2

)

2 2

(

2

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 6 30 25 6 6 36 25 6 30 6 36 5 6 5 6 5 6 6 6 5 6

ω

+ − − + + − − = + − − + = − − − − ⋅ + − = + + − = j j j j j j j G (3) Część rzeczywista i urojona:

( )

(

2

)

2 2 2 25 6 6 36

ω

+ − − = P ;

( )

(

₆

2

)

2

₂₅

2

30 ω

ω

+

−

=

Q

(4) Charakterystyka amplitudowa:

( )

ω

_P

2

( )

ω

_Q

2

( )

ω

A

=

+

(5)

( )

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

( )

₍

₎

2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 25 6 36 13 6 25 6 1296 468 36 25 6 30 6 36

ω

+ − + + = = + − + + = + − + − = A A (6) Charakterystyka fazowa:

( )

_{( )}

( )













−

=













−

=













=

₂ ₂

6

5

6

36

30 ω

ω

ϕ

arctg

P

Q

arctg

(7) Wzmocnienie:

( )

(

2

)

2 2 2 4

25

6

36

13

6 log

20 log

20 ω

ω

+

−

+

=

A

L

(8)

Punkty charakterystyczne ch-ki amplitudowo-fazowej Nyquista: ω→0 P(0)=1 Q(ω)=0 ω→∞ P(ω)=0 Q(∞)=0 Przecięcie z osią Q(ω): P(ω)=0

( )

6

0 ,

49

6

0

6

0

6

36

2 2

=

−

=

−

=

−

Q

ω

(9) Transmitancja widmowa (2) :za s=jω P(ω) część rzeczywista Q(ω) część urojona Moduł transmitancji widmowej to pierwiastek z sumy kwadratów części rzeczywistej P(ω) i części urojonej Q(ω) (4) Kąt przesunięcia fazowego Ze wzoru (9)

wybieramy wartość dla

6 =

ω

(dla dodatniej wartości częstotliwości).

(16)

10-1 100 101 102 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 ω, rad/s L( ω),[ dB ]

charakterystyka amplitudowa Bodego

Wykres 1.Charakterystyka amplitudowa Bode’go.

10-2 100 102 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 ω, rad/s φ ( ω ), [s topni e]