Podstawy Automatyki Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne dr inż. Jakub Możaryn

(1)

Podstawy Automatyki

Wykład 3 - charakterystyki częstotliwościowe, podstawowe człony dynamiczne

dr inż. Jakub Możaryn

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

(2)

część 1: Charakterystyki częstotliwościowe

(3)

Wstęp

Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych.

W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wy- korzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów.

Określają w funkcji częstotliwości:

stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem

Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych:

charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykres Bode’a)

(4)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek 1:Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych

u(t) = A1sin[ωt] (1)

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (2) gdzie: Ai - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy), tϕ- opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego.

Przesunięcie fazowe: odpowiednio tϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, tϕ> 0 - dodatnie przesunięcie fazowe,

(5)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek 2:Sygnał wejściowy

Rysunek 3:Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe

(6)

Charakterystyki częstotliwościowe

Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o wartość t_ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją

y (t) = A2sin[ω(t − tϕ)] (3) lub jako przesunięcie kątowe

ϕ(ω) = ωtϕ (4)

wtedy

y (t) = A2sin[ωt − ϕ] (5)

(7)

Charakterystyki częstotliwościowe

Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidal- nie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G (j ω).

Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (j ω) (gdzie j - jednostka urojona) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera:

F (j ω) =

∞

Z

−∞

f (t)e^−jωtdt (6)

Transmitancja widmowa

Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego.

Gj ω = Y (j ω)

U(j ω) (7)

(8)

Transmitancja widmowa

Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje for- malny związek

G (j ω) = G (s)|s=j ω (8)

wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace’a i Fouriera.

Przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace⁰a dla s = j ω.

(9)

Transmitancja widmowa

Z własności transformaty Laplace’a - twierdzenie o przesunięciu w dzie- dzinie zmiennej rzeczywistej

L{f (t + τ )} = L{f (t)}e^{τ s} (9) można napisać transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinu- soidalnego na jego wejściu

G (s) = L {A2(ω)sin[ω(t + tϕ)]}

L {A1sin[ω(t)]} =A2(ω) A1

L {sin[ω(t)]} e^t^ϕ^s

L {sin[ω(t)]} =A2(ω) A1

e^t^ϕ^s (10) ponieważ

G (j ω) = Y (j ω)

U(j ω), G (j ω) = G (s)|s=j ω, tϕ= ϕ(ω)

ω (11)

to

G (j ω) = A2(ω) A1

e^t^ϕ^s|s=j ω= A2(ω) A1

e^t^ϕ^{j ω}= A2(ω) A1

e^{j ϕ(ω)} (12)

(10)

Transmitancja widmowa

Transmitancję widmową zapisuje się następująco G (j ω) = A2(ω)

A₁ e^{j ϕ(ω)}= M(ω)e^{j ϕ(ω)} (13)

gdzie:

M(ω) = ^A²_A^(ω)

1 - moduł transmitancji widmowej, ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej.

W transmitancji można wyróżnić 2 składowe

G (j ω) = M(ω)e^{j ϕ(ω)}= P(ω) + jQ(ω) (14) gdzie:

P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej

(11)

Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płasz- czyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G (j ω) przy zmianach ω = 0 → ∞

Rysunek 4:Charakterystyka amplitudowo-fazowa

M(ω) =p

[P(ω)]²+ [Q(ω)]² (15) ϕ(ω) = arctg Q(ω)

P(ω)

(16)

P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] (17) Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] (18) M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] = Q(ω) sin[ϕ(ω)] (19)

(12)

Charakterystyki częstotliwościowe

Rysunek 5:Charakterystyki logarytmiczne

Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przed- stawiane na dwóch oddzielnych wykresach:

charakterystyka amplitudowa L(ω) = |G (j ω)| w zależności od częstości ω ,

charakterystyka fazowa ϕ = arg G (ω) w zależności od częstości ω.

Moduł logarytmiczny (jednostka - de- cybel, 20 dB oznacza wzmocnienie 10-krotne, 0 dB oznacza wzmocnienie jednostkowe)

L(ω) = 10log₁₀M²(ω) =

= 20 log M(ω)[dB] (20)

(13)

część 2: Podstawowe człony dynamiczne

(14)

Wstęp

W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg naj- prostszych niepodzielnych elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem kilku podstawowym modelom matematycznym.

Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dy- namicznymi.

Opis liniowych członów dynamicznych:

równanie ruchu,

transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna,

odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa,

charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquista),

logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa (Bodego),

(15)

Podstawowe człony dynamiczne

y (t) = ku(t) (21) człon proporcjonalny (bezinercyjny) Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (22) człon inercyjny

Tdy (t)

dt = u(t), lub dy (t)

dt = ku(t) (23) człon całkujący y (t) = Tdu(t)

dt (24) człon różniczkujący

idealny Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t)

dt (25) człon różniczkujący rzeczywisty

T²d²y (t)

dt +2ξTdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (26)

człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1

y (t) = u(t − T0) (27) człon opóźniający

(16)

Elementy bezinercyjne

Rysunek 6:Element bezinercyjny - dzielnik napięcia

Sygnał wejściowy x (t) - przebieg napięcia U1(t).

Sygnałem wyjściowy y (t) - przebieg napięcia U2(t).

Równanie dynamiki - zależność pomiędzy sygnałem wejściowym i sygnałem wyjściowym systemu:

U₂(t) = R2

R₁+ R₂U₁(t) (28)

Równanie elementu bezinercyjnego

y (t) = kx (t) (29)

(17)

Elementy bezinercyjne

Rysunek 7:Przykłady elementów bezinercyjnych.: a) czwórnik, b) dźwignia, c) dźwignia hydrauliczna

a) U2(t) = _R^R²

1+R2U1(t) b) y (t) =^b_ax (t) c) F2(t) = ^d_d²²2

1

F1(t)

Równanie ruchu

y (t) = ku(t) (30) gdzie: k - wzmocnienie

(18)

Człon proporcjonalny

Równanie dynamiki

y (t) = ku(t) (31) Charakterystyka statyczna

y = ku (32)

Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)

U(s) = k (33) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1

sk] = kust

(34)

Rysunek 8:Charakterystyka statyczna członu proporcjonalnego

Rysunek 9:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu proporcjonalnego

(19)

Człon proporcjonalny

Transmitancja widmowa G (j ω) = G (s)|s=j ω = k

(35) P(ω) = k, Q(ω) = 0

(36) M(ω) = k (37) L(ω) = 20 log k[dB] (38)

ϕ(ω) = 0 (39) Rysunek 10:Charakterystyka amplitudowo-fazowa

(20)

Człon proporcjonalny

Charakterystyka amplitudowa L(ω) = 20 log k[dB] (40) Charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = 0 (41)

Rysunek 11:Logarytmiczne

charakterystyki amplitudowa i fazowa

(21)

Elementy inercyjne

Rysunek 12:Element inercyjny - filtr RL

Sygnał wejściowy x (t) - przebieg napięcia U₁(t).

Sygnałem wyjściowy y (t) - przebieg napięcia U₂(t).

L R

dU2(t)

dt + U2(t) = U1(t) (42)

Równanie elementu inercyjnego

Tdy (t)

dt + y (t) = kx (t) (43)

(22)

Elementy inercyjne

Rysunek 13:Element inercyjny

gdzie: p1- ciśnienie przed zwężką, p2- ciśnienie w zbiorniku, V - objętość zbiornika.

Założenia:

zmiany ciśnienia w zbiorniku są powolne i nie powodują zmian jego temperatury (zmiany ciśnienia wg przemiany izotermicznej), w zwężce występuje przepływ laminarny.

(23)

Element inercyjny - przykład

Równanie stanu gazu (prawo Clapeyrona):

pV = mRΘ (44)

gdzie: m - masa powietrza, R - stała gazowa, Θ - temperatura.

Zakładając

Θ = const (45)

m = p2(t)V

RΘ (46)

dm(t) dt = V

RΘ dp2(t)

dt (47)

G =dm(t)

dt = α(p1(t) − p2(t)) (48) gdzie: G - strumień masy, α - współczynnik proporcjonalności.

V RΘ

dp₂(t)

dt = α(p₁(t) − p₂(t)) = αp₁(t) − αp₂(t) (49) ostatecznie

V αRΘ

dp2(t)

dt + p2= p1 (50)

(24)

Człon inercyjny

Rysunek 14:Elementy inercyjne: a) zwężka / zbiornik, b) koło zamachowe, c) czwórnik RL.

Równania ruchu

przykładowych elementów inercyjnych

a) V αRΘ

dp2(t)

dt + p2= p1

b) J R

d ω(t)

dt + ω(t) = 1 RM(t) c) L

R dU2(t)

dt + U2(t) = U1(t)

Równanie ruchu

Tdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (51) gdzie: T - stała czasowa.

(25)

Człon inercyjny

Równanie dynamiki Tdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (52) Charakterystyka statyczna

y = ku (53)

U(s) = k Ts + 1

(54) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1 s

k Ts + 1]

= ustk

1 − e^−t^T (55)

Rysunek 15:Charakterystyka statyczna członu inercyjnego

Rysunek 16:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego

(26)

Człon inercyjny

Rysunek 17:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu inercyjnego

(27)

Człon inercyjny

Transmitancja widmowa G (j ω) = G (s)|s=j ω = k

Ts + 1|s=j ω = k

Tj ω + 1 = P(ω) + jQ(ω) (56) P(ω) = k

T²ω²+ 1, Q(ω) = −kT ω

T²ω²+ 1 (57)

Rysunek 18:Charakterystyka amplitudowo-fazowa, (ωs - częstotliwość sprzęgająca)

(28)

Człon inercyjny

Charakterystyka amplitudowa

M(ω) = k

√

T²ω²+ 1 (58) L(ω) = 20 log k − 20 logp

T²ω²+ 1[dB]

(59) dla

ω  1

T = ωs (60) L(ω) = 20 log k[dB] (61) dla

ω  1

T = ωs (62) L(ω) = (20 log k−20 logp

T²ω²+ 1)[dB]

(63) Charakterystyka fazowa

ϕ = −arctg(T ω) (64)

(29)

Elementy całkujące

Rysunek 20:Element całkujący - filtr RC/op-amp

U2(t) = − Z t

0

U1(t)

RC dt (65)

Równanie elementu całkującego y (t) = 1

T x (t)

d t (66)

(30)

Elementy całkujące

Rysunek 21:Elementy całkujące: a) serwomotor hydrauliczny, b) przekładnia rolkowa.

(31)

Elementy całkujące

a)

Q = (

αb s2

ρ(p_z− ps) )

x (t) = Bx (t) (67)

Q₁= Q₂= Bx (t) = Ady (t) dt(68) A

B dy (t)

dt = x (t) (69) b)

Tϕ(t) dt = ω

rx (t) (70)

Równanie ruchu Tdy (t)

dt = u(t) (71) lub

dy (t)

dt = ku(t) (72)

(32)

Człon całkujący

Równanie dynamiki Tdy (t)

dt = u(t) (73) Charakterystyka statyczna

u = 0 (74)

U(s) = 1 Ts (75) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1 s

1 Ts] = ust

t T (76)

Rysunek 22:Charakterystyka statyczna członu całkującego

Rysunek 23:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu całkującego

(33)

Człon całkujący

G_{j ω} = G (s)|_{s=j ω} = 1

Ts|_{s=j ω} = 1

Tj ω = −j 1

T ω (77)

P(ω) = 0, Q(ω) = − 1

T ω (78)

Rysunek 24:Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu całkującego

(34)

Człon całkujący

M(ω) = 1

T ω (79)

charakterystyka amplitudowa

L(ω) = 20 log 1 T ω

= −20 log T ω[dB]

(80)

charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = arctg−_{T ω}¹ 0

= arctg(−∞) = −π 2

(81)

(35)

Elementy różniczkujące - idealne

a) Prądnica tachometryczna

Rysunek 26:Element różniczkujący - prądnica tachometryczna

U_y(t) =d θ(t)

dt (82)

b) Dozownik cieczy

Rysunek 27:Element różniczkujący - dozownik cieczy

Q(t) = Adx (t)

dt (83)

(36)

Człon różniczkujący - idealny

Równanie dynamiki

y (t) = T_ddu(t)

dt (84)

Charakterystyka statyczna

y = 0 (85)

U(s) = T_ds (86) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[u_st1

sT_ds] = u_stT_dδ(t) (87)

Rysunek 28:Charakterystyka statyczna członu różniczkującego idealnego

Rysunek 29:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego idealnego

(37)

Człon różniczkujący - idealny

G_{j ω}= T_ds|_{s=j ω}= jT_dω (88)

P(ω) = 0, Q(ω) = Tdω (89)

Rysunek 30:Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego idealnego

(38)

Człon różniczkujący - idealny

Charakterystyka amplitudowa M(ω) = Tdω (90) L(ω) = 20 log Tdω[dB]

ϕ(ω) = arctgT_dω 0

= arctg(∞) =π 2

(92)

(39)

Elementy różniczkujące - rzeczywiste

Rysunek 32:Element różniczkujący (rzeczywisty) - filtr RC

RCdU2(t)

dt + U2(t) = RCdU1(t) dt

(93)

Równanie elementu

różniczkującgo (rzeczywistego)

Tdy (t)

dt +y (t) = Td

du(t) dt (94)

(40)

Elementy różniczkujące - rzeczywiste

a) amortyzator

Rysunek 33:Element różniczkujący (rzeczywisty) - amortyzator

A du(t)

dt −dy (t) dt

= Q = k∆p (95)

∆pA = Cy (t), ∆p =C Ay (96) A²

kC dy (t)

dt + y (t) = A² kC

du(t) dt (97) Tdy (t)

dt + y (t) = Td

du(t) dt (98)

(41)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Równanie dynamiki

Tdy (t)

dt + y (t) = T_ddu(t) dt , (99) kd=Td

T (100)

y = 0 (101)

Transmitancja operatorowa

G (s) = Y (s) U(s) = Tds

Ts + 1 (102) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1 s

Tds Ts + 1] = ust

Td

T e⁻^T^t

= ustk_de⁻^T^t (103)

k_d = Td

T - wzmocnienie dynamiczne.

Rysunek 34:Charakterystyka statyczna członu różniczkującego rzeczywistego

Rysunek 35:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu różniczkującego rzeczywistego

(42)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Gj ω = Tds

Ts + 1|s=j ω = Tdj ω

Tj ω + 1 (104)

P(ω) = TdT ω²

T²ω²+ 1, Q(ω) = Tdω

T²ω²+ 1 (105)

Rysunek 36:Charakterystyka amplitudowo-fazowa członu różniczkującego rzeczywistego

(43)

Człon różniczkujący - rzeczywisty

Charakterystyka amplitudowa M(ω) = Tdω

√

T²ω²+ 1 (106) L(ω) = [20 log Tdω−20 logp

T²ω²+ 1]

ϕ(ω) = arctg 1 T ω =π

2 − arctg(T ω) (108)

(44)

Elementy oscylacyjne

Rysunek 38:Element oscylacyjny - filtr RLC

LCd²U2(t)

dt² +RCdU2(t)

dt +U2(t) = U1(t) (109)

Równanie elementu oscylacyjnego

T²d²y (t)

dt² +2ξdy (t)

dt +y (t) = ku(t) (110)

(45)

Elementy oscylacyjne

Rysunek 39:Elementy oscylacyjne: a) siłownik pneumatyczny, b) czwórnik RLC

(46)

Elementy oscylacyjne

a) ustawnik pozycyjny md²y (t)

dt² + Bdy (t)

dt + Cy (t) = Ap(t) (111) m

C d²y (t)

dt² +B C

dy (t)

dt + y (t) = A

Cp(t) (112)

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (113)

(47)

Elementy oscylacyjne

b) czwórnik RLC

U3(t) = I (t)R (114)

U4(t) = LdI (t)

dt (115)

I (t) = CdU2(t)

dt (116)

U1(t) = U2(t) + U3(t) + U4(t) (117) LCd²U₂(t)

dt² + RCdU₂(t)

dt + U2(t) = U1(t) (118)

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (119)

(48)

Człon oscylacyjny

Równanie ruchu

T²d²y (t)

dt² + 2ξdy (t)

dt + y (t) = ku(t) (120) lub

1 ω²₀

d²y (t) dt² +2ξ

ω0

dy (t)

dt + y (t) = ku(t) (121) d²y (t)

dt² + 2ξω0

dy (t)

dt + ω²₀y (t) = kω²₀u(t) (122) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań

nietłumionych.

y = ku (123)

(49)

Człon oscylacyjny

U(s) = k

T²s²+ 2ξTs + 1 (124)

G (s) = Y (s)

U(s) = kω₀²

s²+ 2ξω0s + ω₀² (125) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹

ust

1 s

kω²₀ s²+ 2ξω0s + ω0

=

= kust

"

1 − 1

p1 − ξ²e^−ξω⁰^tsin ω0

p1 − ξ²t + φ

# (126)

φ = arctg

p1 − ξ²

ξ (127)

(50)

Człon oscylacyjny

Rysunek 40:Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego

(51)

Człon oscylacyjny

Rysunek 41:Wpływ wartości współczynnika tłumienia ξ na charakter odpowiedzi skokowej członu oscylacyjnego

(52)

Człon oscylacyjny

G (j ω) = kω²₀[(ω²₀− ω²) − j 2ξω0ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω₀ω)² (128) P(ω) = kω₀²[(ω²₀− ω²)]

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω₀ω)² (129) Q(ω) = − k[2ξω³₀ω]

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω0ω)² (130) Charakterystyka amplitudowa

M(ω) = kω₀²

(ω²₀− ω²)²+ (2ξω₀ω)² (131) L(ω) =

20 log kω₀²− 20 logq

(ω₀²− ω²)²+ (2ξω₀ω)²

ϕ = −arctg 2ξω0ω

ω²₀− ω² (133)

(53)

Człon oscylacyjny

(54)

Element opóźniający

Rysunek 44:Element opóźniający - transporter taśmowy

gdzie: Q₁, Q₂- strumienie masy na początku i na końcu transportera.

Q₂(t) = Q₁(t − T₀), T₀= L

v (134)

Równanie ruchu

y (t) = u(t − T0) (135)

(55)

Człon opóźniający

Równanie dynamiki

y (t) = u(t − T₀) (136) gdzie: T₀- opóźnienie transportowe.

y = u (137)

U(s) = e^−T⁰^s (138) Odpowiedź skokowa

y (t) = L⁻¹[ust

1 se^−T⁰^s]

= u_st1(t − T₀)

(139)

Rysunek 45:Charakterystyka statyczna członu opóźniającego

Rysunek 46:Odpowiedź na wymuszenie skokowe członu opóźniającego

(56)

Człon opóźniający

G (j ω) = e^−jT⁰^ω (140)

P(ω) = cos (−T0ω) (141)

Q(ω) = sin (−T0ω) (142)

(57)

Człon opóźniający

Charakterystyka amplitudowa M(ω) = 1, L(ω) = 0 (143) Charakterystyka fazowa

ϕ(ω) = −T₀ω (144)

(58)