Metoda sił - rozwiązywanie ramy statycznie niewyznaczalnej

P=12kN

_M=6kNm

q =4kN/m

4

5

3

EJ

2EJ

2EJ

2

X

₁

X

₂

X

₃ X =11 1 0 9m 4 5 3 9 5 M1

Rozwi

ą

zywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metod

ą

Sił

Polecenie: Narysuj wykres sił wewnętrznych w ramie. Zadanie rozwiąż metodą sił.

Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności układu:

— układ trzykrotnie statycznie niewyznaczalny.

Rozwiązanie nr 1.

1. Schemat podstawowy (zwalniamy podpory):

X =12 1 0 4m 4 5 3 M2 4 3 3 X =13 0 1 4 5 3 M3 3m + -12 ₁₂ 12 T0 [kN] P=12kN _M=6kNm q =4kN/m 4 5 3 2 V =12kNA H =12kNA M =12kNmA

Wykres M0 (moment zginający od obciążenia zewnętrznego):

Wyznaczenie reakcji:

12 M0 [kNm] 12 6 ₆ 18 12 M0 [kNm] 12 6 ₆ 18 12 12 18 12 ql /8=4 3 /8=4,5kNm2 2 X =1₁ 1 0 9m 4 5 3 9 5 M₁ 7 X =1₂ 1 0 4m 4 5 3 M₂ 4 2

Wykres momentów zginających:

Współczynniki układu równań kanonicznych:

11

δ

- całkujemy wykres M1 sam przez siebie

EI EI 2 243 9 3 2 9 9 2 1 2 1 11 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ 12

δ

- całkujemy wykres M1 z M2 EI EI 3 92 5 3 1 9 3 2 4 4 2 1 2 1 12 =            ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ 13

δ

- całkujemy wykres M1 z M3 EI EI 42 5 2 1 9 2 1 4 3 2 1 13 =−           _{− ⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ = δ 10

δ

- całkujemy wykres M1 z M0 EI EI 2 61 9 3 1 7 3 2 2 12 2 1 7 3 1 9 3 2 2 12 2 1 7 2 1 5 2 1 2 12 5 2 1 5 6 2 1 10 =            ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ − ⋅ ⋅ = δ 21

δ

- całkujemy wykres M2 z M1 EI 3 92 12 21=δ = δ 22

δ

- całkujemy wykres M2 sam przez siebie

EI EI 3 32 4 3 2 4 4 2 1 2 1 22 =    ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ 23

δ

- całkujemy wykres M2 z M3 EI EI 12 4 2 1 4 3 2 1 23 =−            ⋅ − ⋅ ⋅ = δ 20

δ

- całkujemy wykres M2 z M0 EI EI 8 2 3 1 4 3 2 2 12 2 1 4 3 1 2 3 2 2 12 2 1 2 2 1 2 12 2 1 20 =            ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ ⋅ = δ 31

δ

- całkujemy wykres M3 z M1 EI 42 13 31=δ =− δ 32

δ

- całkujemy wykres M3 z M2 EI 12 23 32=δ =− δ 33

δ

- całkujemy wykres M3 sam przez siebie

(

)

EI EI EI 27 3 3 2 3 3 2 1 1 3 4 3 2 1 33 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = δ 30

δ

- całkujemy wykres M3 z M0

( )

( )

EI EI EI 5 , 76 5 , 1 3 5 , 4 3 2 3 3 2 3 18 2 1 1 3 2 12 2 1 3 2 12 2 1 3 2 12 2 1 30 − =       ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ +     ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = δ

Układ równań kanonicznych metody sił:

     = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 0 0 30 3 33 2 32 1 31 20 3 23 2 22 1 21 10 3 13 2 12 1 11 δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ X X X X X X X X X          ⋅ = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ EI EI X EI X EI X EI EI EI X EI X EI X EI EI EI X EI X EI X EI / 0 5 , 76 27 12 42 3 / 0 8 12 3 32 3 92 6 / 0 2 61 42 3 92 2 243 3 2 1 3 2 1 3 2 1

P=12kN M=6kNm q =4kN/m 2 8,41kN 3,59kN 3,59kN 0,44kNm 0,85kNm 1,03kN 1,03kN 9,2kNm 1,29kNm 1,03kN 2,56kN 2,56kN 1,29kNm 2,56kN 0kN 0kN 0,85kNm 5,57kN 6,43kN 6,43kN 6,43kN 6,43kN 0,44kNm x A B _{C D} E F G      = − ⋅ + ⋅ − ⋅ − = + ⋅ − ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ⋅ + ⋅ 0 5 , 76 27 12 42 0 24 36 32 92 0 183 252 184 729 3 2 1 3 2 1 3 2 1 X X X X X X X X X

Rozwiązanie układu równań:

     = = = kN X kN X kN X 57 , 5 56 , 2 03 , 1 3 2 1

Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego: Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:

Zaznaczenie charakterystycznych punktów na konstrukcji:

kNm

M

_A

=

9

⋅

1

,

03

+

4

⋅

2

,

56

−

3

⋅

5

,

57

−

12

=

−

9

,

2

kNm

M

_B

=

7

⋅

1

,

03

+

2

⋅

2

,

56

−

3

⋅

5

,

57

+

12

=

7

,

62

kNm M_C =5⋅1,03+0⋅2,56−3⋅5,57+12=0,44

kNm

M

D

=

5

⋅

1

,

03

+

0

⋅

2

,

56

+

0

⋅

5

,

57

−

6

=

−

0

,

85

kNm

M

E

=

0

⋅

1

,

03

+

0

⋅

2

,

56

−

3

⋅

5

,

57

+

18

=

1

,

29

kNm

M

F

=

0

⋅

1

,

03

+

0

⋅

2

,

56

+

0

⋅

5

,

57

−

6

=

−

6

→ podpora przegubowa obciążona momentem skupionym

kNm

MG =0⋅1,03+0⋅2,56+0⋅5,57+0=0 → podpora przegubowa nie obciążona momentem skupionym Wyznaczenie wartości sił tnących i normalnych w zadanej ramie:

i i i i i M X M X M X M M = 1 ⋅ 1+ 2 ⋅ 2+ 3 ⋅ 3+ 0

N [kN]

+

-6,43 _6,43 2,56 2,56

+

8,41 8,41 3,59 1,03 1,03 6,43 5,57

+

--

-T [kN]

M

[kNm]

9,2

7,62

0,44

1,29

0,85

6

3,88

Wyznaczenie ekstremum m x x x T 1,39 4 57 , 5 0 4 57 , 5 ) ( = − = → = = kNm m x M 3,88 2 39 , 1 4 39 , 1 57 , 5 ) 39 , 1 ( 2 = ⋅ − ⋅ = =

X

1

X

1

X

₂

X

2

X

₃ X =11 X =11 0 9 20 1 5 1 4 1 M1 3 4 5

X =1

2

X =1

2

1

5

1

5

0

1

3

1

3

4

5

3

Rozwiązanie nr 2.

2. Schemat podstawowy (wprowadzenie przegubów):

X =1

₃

0

1

4

1

M

3

3

4

5

0

0

1

4

1

M

₂

1

Wykres M0 (moment zginający od obciążenia zewnętrznego):

Wyznaczenie reakcji: kN V V MB_P F F 5 6 0 5 6− ⋅ = → = =

∑

∑

M_B = ⋅H_G− ⋅ ⋅ = →H_G = ⋅ = kN D 3 4 3 1,5 0 4 1,5 6 kN V V MBL = A⋅4−12⋅2=0→ A=6

∑

kN H H R_X =− _A−6+4⋅3=0→ _A=12−6=6

∑

kN V V R_{Y G G} 5 24 5 6 6 12 0 5 6 12 6− + + = → = − − = =

∑

1 M1 0,5 1 M3 0,5 P=12kN 2 M=6kNm q =4kN/m 4 5 3 6 5 kN 6kN 6kN 6kN 24 5 kN M0 6 12 _4,5 [kNm] A B F G V =A H =_A V =_F V =G H =_G T0 [kN]

+

-

-+

-6 6 6 6 6 1,2 Wykres sił tnących:

Wykres momentów zginających:

Współczynniki układu równań kanonicznych: EI EI 2 3 1 3 2 5 1 2 1 1 3 2 4 1 2 1 2 1 11 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI EI 6 5 1 3 2 5 1 2 1 2 1 12 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI EI 3 1 1 3 1 4 1 2 1 2 1 13 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI EI 2 7 1 3 1 5 6 2 1 1 3 1 5 , 0 3 2 2 12 2 1 5 , 0 3 2 2 12 2 1 2 1 10 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −       ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI 6 5 12 21=δ = δ EI EI EI 6 11 1 3 2 3 1 2 1 1 1 3 2 5 1 2 1 2 1 22 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ 0 23= δ EI EI EI 2 1 2 1 3 5 , 4 3 2 1 1 3 1 5 6 2 1 2 1 20 _=     _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅} +      _{− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} = δ EI 3 1 13 31=δ = δ 0 23 32=δ = δ EI EI 3 2 1 3 2 4 1 2 1 2 1 33 _=     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI EI 6 2 1 3 2 2 12 2 1 1 3 1 2 1 3 2 2 12 2 1 2 1 30 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       _{⋅ + ⋅} ⋅ ⋅ ⋅ = δ

Układ równań kanonicznych metody sił:

         ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ EI EI X EI X X EI EI EI X X EI X EI EI EI X EI X EI X EI 3 / 0 6 3 2 0 3 1 6 / 0 2 0 6 11 6 5 6 / 0 2 7 3 1 6 5 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1      = + ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 18 2 0 0 12 0 11 5 0 21 2 5 9 3 2 1 3 2 1 3 2 1 X X X X X X X X X

Rozwiązanie układu równań:

     − = − = = kNm X kNm X kNm X 21 , 9 29 , 1 43 , 0 3 2 1

Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:

(

) (

)

kNm

M

_A

=

0

⋅

0

,

43

+

0

⋅

−

1

,

29

+

1

⋅

−

9

,

21

+

0

=

−

9

,

21

(

)

(

)

kNm

M

_B

=

0

,

5

⋅

0

,

43

+

0

⋅

−

1

,

29

+

0

,

5

⋅

−

9

,

21

+

12

=

7

,

61

(

)

(

)

kNm MC =1⋅0,43+0⋅ −1,29 +0⋅ −9,21 +0=0,43

M

[kNm]

9,21

7,61

0,43

1,29

0,86

6

3,88

X

₁

X

1

X

₂

X

3

X

2

X

₃

X =1

1

_{X =1}

1

4

5

3

0

₁

5

0

1

1

5

0

(

)

(

)

kNm

M

_D

=

1

⋅

0

,

43

+

1

⋅

−

1

,

29

+

0

⋅

−

9

,

21

+

0

=

−

0

,

86

(

)

(

)

kNm

M

_E

=

0

⋅

0

,

43

−

1

⋅

−

1

,

29

+

0

⋅

−

9

,

21

+

0

=

1

,

29

(

)

(

)

kNm

M

_F

=

0

⋅

0

,

43

+

0

⋅

−

1

,

29

+

0

⋅

−

9

,

21

−

6

=

−

6

→ podpora przegubowa obciążona momentem skupionym

(

)

(

)

kNm

M_G =0⋅0,43+0⋅ −1,29 +0⋅ −9,21 +0=0 → podpora przegubowa nie obciążona momentem skupionym

Wyznaczenie wartości sił tnących i normalnych w zadanej ramie odbywa się identycznie jak w rozwiązaniu nr 1.

Wykres momentów w ramie statycznie niewyznaczalnej:

Niewielkie różnice w wartości momentów w węzłach w stosunku do rozwiązania nr 1 wynikają z zaokrągleń wyników układu równań. Wykres sił tnących i normalnych analogicznie jak w rozwiązaniu nr 1.

Rozwiązanie nr 3.

3. Schemat podstawowy (przecięcie układu):

M

1

1

₁

1

X =1

2

X =1

2

0

1

1

4

5

3

3

5

3

5

0

M

2

3

X =1 3 X =13 0 4 1 0 0 1 4 5 3 M3 4

4

2

M

₃ P=12kN M=6kNm q =4kN/m 5 3 2 4 V =12kNA H =0kNA M =24kNm_A V =4,8kNF V =4,8kNG H =12kNG

+

12 12 12 4,8

+

-18 6 24 T [kN] 0 M [kNm] 0

Wykres M0 (moment zginający od obciążenia zewnętrznego):

Wyznaczenie reakcji:

- część lewa układu - część prawa układu

kNm M M M_A=− _A+12⋅2=0→ _A=24

∑

∑

M_G=−5V_F +4⋅3⋅1,5+6=0→V_F =4,8kN kN H H R_{X A A} L =− =0→ =0

∑

R_X H_G H_G kN P =4⋅3− =0→ =12

∑

kN V V R_{Y A A} L = −12=0→ =12

∑

R_Y V_G V_G kN P =− +4,8=0→ =4,8

∑

Wykres sił tnących:

Wykres momentów zginających:

18 6 24 M [kNm] 0 18 ql /8=4 3 /8=4,5kNm2 2

+

6 18

Współczynniki układu równań kanonicznych:

EI EI 6 17 1 3 2 5 1 2 1 1 4 1 2 1 11 _=     _{⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} = δ EI EI 2 5 3 3 2 5 1 2 1 2 1 12 _=     ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI EI 4 4 2 1 4 1 2 1 13 =      ⋅ ⋅ ⋅ = δ

( )

EI EI 2 1 6 3 1 18 3 2 5 1 2 1 1 2 24 2 1 2 1 10 =            ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI 2 5 12 21=δ = δ EI EI EI 2 33 3 3 2 3 3 2 1 1 3 3 2 5 3 2 1 2 1 22 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ 0 23= δ EI EI EI 105 3 2 1 3 5 , 4 3 2 3 3 2 3 18 2 1 1 6 3 1 18 3 2 5 3 2 1 2 1 20 _=     _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅} +             _{⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI 4 13 31=δ = δ 0 23 32=δ = δ EI EI 3 32 4 3 2 4 4 2 1 2 1 33 =      ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = δ EI EI 40 2 3 1 4 3 2 2 24 2 1 2 1 30 =−           _{− ⋅ − ⋅} ⋅ ⋅ ⋅ = δ

Układ równań kanonicznych metody sił:

         ⋅ = − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ EI EI X EI X X EI EI EI X X EI X EI EI EI X EI X EI X EI 3 / 0 40 3 32 0 4 2 / 0 105 0 2 33 2 5 6 / 0 2 1 4 2 5 6 17 3 2 1 3 2 1 3 2 1

M

[kNm]

9,21

7,61

0,43

1,29

0,86

6

3,88

     = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 120 32 0 12 0 210 0 33 5 0 3 24 15 17 3 2 1 3 2 1 3 2 1 X X X X X X X X X

Rozwiązanie układu równań:

     = − = = kN X kN X kNm X 59 , 3 43 , 6 43 , 0 3 2 1

Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:

(

)

( )

kNm

M

A

=

1

⋅

0

,

43

+

0

⋅

−

6

,

43

+

4

⋅

3

,

59

−

24

=

−

9

,

21

(

)

( )

kNm

M

B

=

1

⋅

0

,

43

+

0

⋅

−

6

,

43

+

2

⋅

3

,

59

+

0

=

7

,

61

(

)

( )

kNm MC =1⋅0,43+0⋅ −6,43 +0⋅ 3,59 +0=0,43

(

)

( )

kNm

M

_D

=

1

⋅

0

,

43

+

3

⋅

−

6

,

43

+

0

⋅

3

,

59

+

18

=

−

0

,

86

(

)

( )

kNm

M

_E

=

0

⋅

0

,

43

−

3

⋅

−

6

,

43

+

0

⋅

3

,

59

−

18

=

1

,

29

(

)

( )

kNm

M

_F

=

0

⋅

0

,

43

+

0

⋅

−

6

,

43

+

0

⋅

3

,

59

−

6

=

−

6

→ podpora przegubowa obciążona momentem skupionym

(

)

( )

kNm

M_G =0⋅0,43+0⋅ −6,43 +0⋅ 3,59 +0=0 → podpora przegubowa nie obciążona momentem skupionym

Wyznaczenie wartości sił tnących i normalnych w zadanej ramie odbywa się identycznie jak w rozwiązaniu nr 1.

Wykres momentów w ramie statycznie niewyznaczalnej: