19.04.2017 r. Imi¦: Nazwisko:
Kolokwium I nr albumu:
zestaw A Nazwisko prowadz¡cego ¢wiczenia:
Punktacja przy zadaniach. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢
starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie.
Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, je±li na karcie zada« jest odpowiednie miejsce wpisz odpowiedzi równie» tam zadania: 1b, cz¦±¢ 3, 4 i 5.
Czas rozwi¡zywania - 90 min.
1. [9p] Na prostej R dana jest metryka α o wzorze
α(x, y) =
|x − y| dla xy > 0 0 dla x = y = 0
|x − y| + 1 w pozostaªych przypadkach a) [3p] Wyznacz i narysuj kule B(0, 1), B(2, 3), B(2, 4) w tej metryce.
b) [3p] Wyznacz domkni¦cie, wn¦trze i brzeg zbioru A = [0, 2) w tej metryce.
cl A = int A = bd A =
c) [3p] Wyka», »e α faktycznie jest metryk¡.
2. [9p] Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, warunkowo czy rozbie»ny:
a)
+∞
X
n=5
n √ n
5
n+ (−2)
nb)
+∞
X
n=7
n − cos(n)
√ n
5− 2n + 3 c)
+∞
X
n=99
(−1)
nn ln(3n) + n 3. [6p] Zbadaj zbie»no±¢ ci¡gu funkcyjnego f
n: [0, +∞) → R o wzorze f
n(x) = e
−|x−n|. Podaj gdzie
jest zbie»ny punktowo. Wyznacz funkcj¦ graniczn¡. Sprawd¹, czy zbie»no±¢ jest jednostajna.
Je±li nie jest, zbadaj, czy byªaby jednostajna na przedziale [0, 6].
zbie»no±¢ punktowa na zbiorze = funkcja graniczna f(x) =
4. [4p] Przy pomocy szeregów Taylora wyznacz przybli»on¡ warto±¢ cos(0, 05) tak by bª¡d wyniósª mniej ni» 0, 0002. Oszacuj faktycznie otrzymany bª¡d.
cos(0, 05) ≈ bª¡d ≤
5. [6p] Rozwi« w szereg Taylora w punkcie 0 do wyrazu x
5wª¡cznie funkcje a(x) = sin(x
3+ x) oraz b(x) = cos(x) arctg(x) , a nast¦pnie oblicz granic¦
x→0
