2. Miara zadania do samodzielnego rozwi¡zania

2. Miara  zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Zad. 2.1 Niech Ω = R. Dla c ∈ R deniujemy δc : 2^R→ R+ wzorem:

δ_c(A) = 1, gdy c ∈ A 0, gdy c /∈ A . Czy funkcja

µ(A) = 2 · δ₋₁(A) + 3 · δ₂(A) jest miar¡ na 2^R?

Zad. 2.2 Niech µ b¦dzie miar¡ na F. Niech A, B ∈ F, µ(B) = 0. Udowodnij, »e µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A).

Zad. 2.3 Niech (Ω, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Niech {An}_n∈N i {Bn}_n∈N b¦d¡

dwoma ci¡gami podzbiorów mierzalnych przestrzeni Ω takimi, »e dla ka»dego n B_n ⊆ A_n i µ(Bn) < +∞. Udowodnij, »e

1. µ

∞

[

n=1

A_n\

∞

[

n=1

B_n

!

≤

∞

X

n=1

(µ(A_n) − µ(B_n)) ,

2. µ

∞

\

n=1

A_n\

∞

\

n=1

B_n

!

≤

∞

X

n=1

(µ(A_n) − µ(B_n)) . Zad. 2.4 Udowodnij, »e je±li A, B, C s¡ µ-mierzalne, to

µ(A) + µ(B) + µ(C) + µ(A ∩ B ∩ C) = µ(A ∪ B ∪ C) + µ(A ∩ B) + µ(B ∩ C) + µ(C ∩ A) .