2. Miara zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 2.1 Niech Ω = R. Dla c ∈ R de niujemy δc : 2R→ R+ wzorem:
δc(A) = 1, gdy c ∈ A 0, gdy c /∈ A . Czy funkcja
µ(A) = 2 · δ−1(A) + 3 · δ2(A) jest miar¡ na 2R?
Zad. 2.2 Niech µ b¦dzie miar¡ na F. Niech A, B ∈ F, µ(B) = 0. Udowodnij, »e µ(A ∪ B) = µ(A \ B) = µ(A).
Zad. 2.3 Niech (Ω, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Niech {An}n∈N i {Bn}n∈N b¦d¡
dwoma ci¡gami podzbiorów mierzalnych przestrzeni Ω takimi, »e dla ka»dego n Bn ⊆ An i µ(Bn) < +∞. Udowodnij, »e
1. µ
∞
[
n=1
An\
∞
[
n=1
Bn
!
≤
∞
X
n=1
(µ(An) − µ(Bn)) ,
2. µ
∞
\
n=1
An\
∞
\
n=1
Bn
!
≤
∞
X
n=1
(µ(An) − µ(Bn)) . Zad. 2.4 Udowodnij, »e je±li A, B, C s¡ µ-mierzalne, to
µ(A) + µ(B) + µ(C) + µ(A ∩ B ∩ C) = µ(A ∪ B ∪ C) + µ(A ∩ B) + µ(B ∩ C) + µ(C ∩ A) .
