3. Funkcje mierzalne zadania do samodzielnego rozwi¡zania
Zad. 3.1 Znajd¹
σ(IA, IB) = σ( σ(IA), σ(IB) ).
Która z σ-algebr: σ(IA, IB) czy σ( IA− IB ), jest wi¦ksza?
Zad. 3.2 (1996) Niech f : R+ → R+, f(x) = [x]. Czy funkcja g : R+ → R+, g(x) = [√ x]
jest mierzalna wzgl¦dem σ(f)?
Zad. 3.3 (1996) Niech f, g : R → R, f(x) = I(−∞,−1)(x) − I[1,∞)(x), g(x) = [x]. Czy funkcja f jest mierzalna wzgl¦dem σ-algebry generowanej przez g?
Zad. 3.4 (1995) Niech f : [0, ∞) → R, f(x) = 2 · [x] i niech σ1 = σ(f ). Zbadaj, czy a) σ1 ⊆ σ2,
b) σ2 ⊆ σ1,
gdzie σ2 = σ({ [0, n) ; n ∈ N }).
Zad. 3.5 (1996) Niech f, g : [0, ∞) → R, f (x) =
∞
X
n=0
n · I(n,n+1](x), g(x) =
[x + 1]2 dla x /∈ N ∪ {0}
x(x + 1) dla x ∈ N ∪ {0} . Sprawd¹, czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f).
Zad. 3.6 (1997) Niech f, g : R+ → R+, f (x) =
∞
X
n=0
n · I[n,n+1)(x), g(x) =
∞
X
n=0
n · I[2n−1,2n+1−1)(x).
Sprawd¹, czy zachodz¡ inkluzje σ(f) ⊆ σ(g) i σ(g) ⊆ σ(f).
Zad. 3.7 Sprawd¹ inkluzje pomi¦dzy σ-algebrami σ([x3]) i σ([x]).
Zad. 3.8 (2003) Niech f, g : (R, BR) → (R, BR)b¦d¡ dane wzorami:
f (x) = 2[x]3, g(x) = 2[x]4. Porównaj σ(f) i σ(g) wzgl¦dem zawierania.
Zad. 3.9 (2003) Niech f, g : (R, BR) → (R, BR)b¦d¡ dane wzorami:
f (x) = [x]2, g(x) = sin
π 2[x]
. Porównaj σ(f) i σ(g) wzgl¦dem zawierania.
Zad. 3.10 (2004) Dana jest funkcja f : R → R, f (x) =
+∞
X
n=0
sin nπ
2
1I[n,+∞)(x).
Sprawd¹ jakie inkluzje zachodz¡ pomi¦dzy σalgebrami σ(f) i σ({(−∞, n); n ∈ Z}).
