Drugie zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie Newtona-Leibniza

Drugie zasadnicze

twierdzenie rachunku całki

oznaczonej Riemanna

-twierdzenie

Newtona-Leibniza

Autorzy:

Witold Majdak

2019

(1)

(2)

(3)

(4)

Drugie zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie Newtona-Leibniza

Drugie zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie Newtona-Leibniza

Podamy drugie podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, zwane twierdzeniem Newtona-Leibniza, które pozwala powiązać całkę oznaczoną funkcji ciągłej z całką nieoznaczoną.

TWIERDZENIE

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: Newtona-Leibniza

Newtona-Leibniza

Jeżeli jest funkcją ciągłą, natomiast jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi równość

DOWÓD DOWÓD

Zdefiniujmy funkcję , dla każdego , kładąc

Skoro funkcja jest ciągła, to na mocy twierdzenia o funkcji górnej granicy całkowania funkcja jest różniczkowalna i zachodzi równość we wszystkich punktach . Oznacza to, że jest funkcją pierwotną funkcji . Ponieważ każde dwie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się o stałą, to dla pewnej liczby rzeczywistej oraz dowolnego zachodzi równość

Z definicji funkcji wynika, że

a skoro , to możemy kontynuować obliczenia, zapisując

gdzie ostatnia równość wynika z ( 2 ). Połączenie ( 3 ) z ( 4 ) implikuje żądany wzór i kończy dowód twierdzenia. CND.

CND.

Różnicę wartości funkcji pierwotnej na końcach przedziału występującą we wzorze ( 1 ) zapisujemy również w następujący sposób:

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-15 06:51:25

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=e07ee401d2695e0811d62ca05f71a8af

f : [a, b] → R

g : [a, b] → R

f(x)dx = g(b) − g(a).

∫

F

x ∈ [a, b]

F(x) = f(t)dt.

∫

f

F

(x) = f(x)

F

_{x ∈ (a, b)}

_F

_f

C

x ∈ [a, b]

g(x) = F(x) + C.

F

f(t)dt = F(b),

∫

F(a) = f(t)dt = 0

∫

F(b) = F(b) − F(a) = (F(b) + C) − (F(a) + C) = g(b) − g(a),

g(x) = g(b) − g(a).

∣∣