Funkcje tworzące

(1)

Analiza Matematyczna. Funkcje Tworz ˛

ace

Aleksander Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl

Polsko-Japo ´nska Wy˙zsza Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gda ´nsku

ul. Brzegi 55 80-045 Gda ´nsk

(2)

Funkcje Tworz ˛

ace

•Funkcje Tworz ˛ace

•Konbinacje

•Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

(3)

Definition

•Konbinacje

Definicja 1. Niech

a

₀

, a

₁

, a

₂

, . . .

b ˛edzie ci ˛agiem. Funkcj ˛a tworz ˛ac ˛a

ci ˛agu

{ a

n

}

nazywamy szereg pot ˛egowy

A(x) =

∞

X

k₌₀

a

k

x

k

.

(1)

(4)

Działania na funkcjach tworz ˛

acych

•Konbinacje

Definicja 2. Niech dane b ˛ed ˛a dwie funkcje tworz ˛ace:

A

(x) =

P

∞

k₌₀

a

k

x

k

i

B

(x) =

P

∞_k₌₀

b

k

x

k.

1. Sum ˛a (ró˙znic ˛a) funkcji tworz ˛acych nazywamy szereg

A

_{(x) ± B(x) =}

P

∞

k₌₀

(a

k

± b

k

)x

k

.

2. Iloczynem funkcji

A

(x)

i liczby rzeczywistej

λ

nazywamy szereg

λA

(x) =

P

∞

k₌₀

(λa

k

)x

k

.

3. Iloczynem (iloczynem Cauchy’ego) funkcji tworz ˛acych

nazywamy szereg

A

_{(x) · B(x) =}

P

∞_k₌₀

c

k

x

k

,

gdzie

c

k

=

k

X

i₌₀

(5)

Funkcje tworz ˛

ace a funkcje rzeczywiste

•Konbinacje

Uwaga 3. Je˙zeli szereg (1) jest zbie˙znym w otoczeniu zera, to

funkcji tworz ˛acej odpowiada funkcja rzeczywista, okre´slona w tym

samym otoczeniu zera. W tym przypadku działaniom, okre´slonym w

definicji 2, odpowiadaj ˛a działania na funkcjach rzeczywistych.

Szereg (1) jest rozwini ˛eciem funkcji w szereg Maclaurina. Wi ˛ec

a

k

=

A

(k)

(0)

k

!

.

(6)

Przykłady funkcji tworz ˛

acych

•Konbinacje •Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana Przykład 4. _•

a

k

= 1

,

A(x) =

∞

P

k₌₀

x

k

=

_1−x1 . •

a

k

=

_k1_!,

A

(x) =

∞

P

k₌₀ 1 k_!

x

k

= e

x. •

a

k

= C

k n,

A

(x) =

∞

P

k₌₀

C

nk

x

k

=

n

P

k₌₀

C

nk

x

k

= (1 + x)

n. •

a

k

= 2

k,

A

(x) =

∞

P

k₌₀

2

k

x

k

=

P

∞ k₌₀

(2x)

k

=

_1−2x1 . •

a

k

= k!

,

A

(x) =

∞

P

k₌₀

k

!x

k.

(7)

Funkcje tworz ˛

ace a kombinacje

•Funkcje Tworz ˛ace •Konbinacje •Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana

(1 + x)

n

= (1 + x)(1 + x) . . . (1 + x)

|

{z

}

n _razy

=

∞

X

k₌₀

C

nk

x

k

• Niech ka˙zdy czynnik

(1 + x)

odpowiada pewnemu elementowi

a

i zbioru

X

= { a

₁

, . . . , a

n

}

• Ka˙zdy skł ˛adnik sumy

(1 + x)

reprezentuje jedn ˛a z dwóch

mo˙zliwo´sci pojawienia si ˛e elementu

a

i w podzbiorze

X

: zero

razy:

x

0

= 1

, i jeden raz:

x

1

= x

.

• Podzbiór

X

jest jednoznacznie okre´slony przez definicj ˛e ilo´sci

pojawienia si ˛e w nim ka˙zdego elementu, i. e. przez wybór jednego ze składników w ka˙zdym z czynników

iloczynu

(1 + x) . . . (1 + x)

.

• Okre´slony w ten sposób wybór da wkład do współczynnika przy

(8)

Kombinacje z powtórzeniami

•Funkcje Tworz ˛ace •Konbinacje

• Niech

X

= { a

₁

, a

₂

, a

₃

, a

₄

}

.

• Oznaczmy przez

c

k ilo´s´c

k

-kombinacji z powtórzeniami,

w których

a

₁ mo˙ze wyst ˛epowa´c co najwy˙zej dwa razy,

a

₂ — trzy,

a

₃ — jeden, za´s

a

₄ — cztery razy.

• Funkcja tworz ˛aca dla ci ˛agu

c

k jest

C

(x) =

∞

X

k₌₀

c

k

x

k

=

= (1 + x + x

2

)(1 + x + x

2

+ x

3

_{)(1 + x)×}

× (1 + x + x

2

+ x

3

+ x

4

) =

= 1 + 4x + 9x

2

+ 15x

3

+ 20x

4

+ 22x

5

+ 20x

6

+ 15x

7

+

+ 9x

8

+ 4x

9

+ x

10

.

(9)

Kombinacje z powtórzeniami — II

• Dobieraj ˛ac

i

-ty czynnik mo˙zna nakłada´c dowolne ograniczenia

na ilo´s´c wchodze ´n elementu

a

i.

• Na przykład, je˙zeli element

a

i mo˙ze wyst ˛epowa´c 0, 3 lub 7 razy,

czynnik ma posta´c

1 + x

3

+ x

7;

• je˙zeli

a

i mo˙ze wyst ˛epowa´c dowoln ˛a parzyst ˛a liczb ˛e razy, czynnik

jest równy

1 + x

2

+ x

4

+ · · · =

1

(10)

Kombinacje z powtórzeniami — III

• W szczególno´sci, je˙zeli ka˙zdy z elementów

zbioru

X

_{= { a}

₁

, a

₂

, . . . a

n

}

mo˙ze si ˛e pojawi´c w kombinacji

dowoln ˛a ilo´s´c razy, funkcja tworz ˛aca b ˛edzie równa

∞

X

k₌₀

¯

C

nk

x

k

=

= (1 + x + x

2

+ . . . ) . . . (1 + x + x

2

+ . . . )

|

{z

}

n _razy

=

1 (1 − x)

n

.

• Ró˙zniczkuj ˛ac

k

razy, otrzymamy

d

k

1

(11)

Liczby Fibonacciego

•Funkcje Tworz ˛ace •Konbinacje •Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana Definicja 5.

F

₀

= 0,

F

₁

= 1,

F

k₊₁

= F

k

+ F

_k−1

,

k

= 2, 3, . . . .

• Oto pocz ˛atek ci ˛agu Fibonacciego:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34

.

• Funkcja tworz ˛aca

F

(x)

dla ci ˛agu

F

k spełnia równanie

F

(x) =

∞

X

k₌₀

F

k

x

k

= 0 + x +

∞

X

k₌₂

(F

_k−2

+ F

_k−1

)x

k

=

= x + x

2 ∞

X

k₌₂

F

_k−2

x

k−2

+ x

∞

X

k₌₂

F

_k−1

x

k−1

=

= x + x

2

F

(x) + xF (x) = x + (x

2

+ x)F (x),

(12)

Jawny wzór na liczby Fibonacciego

• Przedstawmy

F

(x)

jako sum ˛e ułamków najprostszych

•

(1 − x − x

2

) =

_{1 −}

1+₂√5

x

_{1 −}

1−₂√5

x

, • _1−x−xx 2

=

A 1−1+2√5x

+

B 1−1−2√5x

,

•

(

A

1−₂√5

+ B

1+₂√5

_{= −1,}

A

+ B = 0,

•

A

=

√1 5

,

B

= −

1 √ 5

.

(13)

Jawny wzór na liczby Fibonacciego — II

•Funkcje Tworz ˛ace •Konbinacje •Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana •

F

(x) =

_√

1

5

1 1 −

1+₂√5

x

−

1 1 −

1−₂√5

x

!

=

_√

1

5

∞

X

k₌₀

1 +

√

5

2

k

x

k

₋

∞

X

k₌₀

1 −

√

5

2

k

x

k

!

=

∞

X

k₌₀

1 √

5 1 +

√

5

2

k

−

1 −

√

5

2

k

x

k

.

• Ostatecznie

F

k

=

1 √

5 1 +

√

5

2

k

−

1 −

√

5

2

k

.

(14)

Liczby Catalana

•Funkcje Tworz ˛ace •Konbinacje •Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana Definicja 6.











c

₀

= 1,

c

k₊₁

= c

₀

c

k

+ c

₁

c

_k−1

+ · · · + c

_k−1

c

₁

+ c

k

c

₀

=

P

k i₌₀

c

i

c

k−i

,

k

= 1, 2, 3, . . .

• Oto pocz ˛atek ci ˛agu liczb Catalana:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132

• Funkcja tworz ˛ac ˛a:

C

(x) = c

₀

+ c

₁

x

+ c

₂

x

2

+ . . .

•

C

(x) = xC(x)C(x) + 1

. •

C

(x) =

1−√_2x1−4x. •

c

n

=

_n (2n)! !(n+1)!

=

1 n₊₁

C

n 2n

.

•

c

n₊₁

=

4n+2_n₊₂

c

n

.

(15)

Drzewa binarne

Definicja 7. Drzewem binarnym o

n

wierzchołkach nazywa si ˛e graf pusty, je˙zeli

n

= 0

, oraz, przy

n >

1

graf, maj ˛acy wierzchołek

k

,

nazywany korzeniem, lewe poddrzewo

L

o

l

wierzchołkach i prawe

poddrzewo

R

o

r

wierzchołkach. Przy czym

l

+ r + 1 = n

.

(16)

Zagadnienia, zwi ˛

azane z liczbami Catalana

•Funkcje Tworz ˛ace •Konbinacje •Liczby Fibonacciego •Liczby Catalana b c a d b c a d b c a d b c a d b c a d

(ab)( d) (a((b )d) ((ab) )d) (a(b( d)) (a(b ))d

(())() ()(()) ((())) ()()() (()()) 0121010 0101210 0123210 0101010 0121210