Badanie nieregularności odwzorowania Cassiniego-Soldnera elipsoidy obrotowej spłaszczonej

(1)

BADANIE NIEREGULARNOCI ODWZOROWANIA

CASSINIEGO-SOLDNERA

ELIPSOIDY OBROTOWEJ SP£ASZCZONEJ

ANALYSIS OF IRREGULARITY

OF THE CASSINI-SOLDNER PROJECTION

OF AN ELLIPSOID

Jerzy Balcerzak, Pawe³ Pêdzich Zak³ad Kartografii Politechniki Warszawskiej

S³owa kluczowe: kartografia matematyczna, odwzorowania kartograficzne, odwzorowanie Cassiniego-Soldnera

Keywords: mathematical cartography, map projection, Cassini-Soldner projection

Wstêp

Dok³adne zbadanie w³asnoci odwzorowania kartograficznego jest trudnym, lecz nie-zwykle istotnym zadaniem umo¿liwiaj¹cym jego pe³ne wykorzystanie w pracach geodezyj-nych i kartograficzgeodezyj-nych. Wyznaczenie osobliwoci odwzorowania kartograficznego pozwa-la omin¹æ pewne trudnoci zwi¹zane z jego globalnym zastosowaniem oraz unikn¹æ b³êdów, które mo¿na pope³niæ w trakcie jego u¿ytkowania. Dok³adne zbadanie nieregularnoci od-wzorowania wymaga najczêciej wykorzystania nietypowych metod i algorytmów okrela-nia w³asnoci danego odwzorowaokrela-nia. Typowe metody, stosowane w podobszarze regular-noci najczêciej zawodz¹.

Uk³ad wspó³rzêdnych Soldnera oraz odwzorowanie Cassiniego-Solndera posiadaj¹ istot-ne znaczenie w pracach geodezyjnych wielu krajów. Stosowaistot-ne dotychczas metody oblicza-nia wspó³rzêdnych oraz okrelaoblicza-nia w³asnoci uk³adu Soldnera, a tak¿e odwzorowaoblicza-nia Cassi-niego-Soldnera dotycz¹ w¹skich, kilku stopniowych stref odwzorowawczych. Autorzy ar-tyku³u przedstawili, w wielu pracach, metodê tworzenia oraz badania w³asnoci odwzoro-wania Cassiniego-Soldnera ca³ej elipsoidy, nie analizuj¹c szczegó³owo jego osobliwoci. W niniejszym artykule zostan¹ przedstawione pewne osobliwoci wystêpuj¹ce w odwzorowa-niu Cassiniego-Soldnera na brzegu siatki kartograficznej. S¹ one zwi¹zane z przebiegiem linii geodezyjnej na elipsoidzie. Przedstawione w artykule rozwa¿ania stanowi¹ rozwiniêcie wie-dzy na temat uk³adu wspó³rzêdnych Soldnera na elipsoidzie, odwzorowania Cassiniego-Sold-nera, a tak¿e przebiegu linii geodezyjnej na elipsoidzie obrotowej sp³aszczonej.

(2)

Podstawowe pojêcia dotycz¹ce wspó³rzêdnych Soldnera

oraz odwzorowania Cassiniego-Soldnera

Wspó³rzêdne Soldnera h i x powierzchni elipsoidy

(1)

s¹ zdefiniowane (rys. 1) jako:

h d³ugoæ ³uku po³udnika L=L₀ ³¹cz¹cego punkty (B=0,L=L₀) i P₀(B=B₀,L=L₀), x d³ugoæ ³uku linii geodezyjnej ortogonalnej do po³udnika centralnego L=L₀ ³¹cz¹cego punkty P₀(B₀,L₀) i P(B,L), gdzie P₀ jest jej punktem zwrotu na po³udniku L=L_0. Je¿eli poprowadzimy zbiór linii geodezyjnych ortogonalnie do po³udnika centralnego L=L₀ o jednakowych d³ugociach, to koñce tych odcinków utworz¹ po³udnik soldnerowski (rys. 2). Wszystkie wymienione linie geodezyjne przecinaj¹ po³udnik soldnerowski pod k¹tami pro-stymi. Po³udnik geograficzny dowolnego punktu oraz po³udnik soldnerowski tworz¹ k¹t g zwany zbie¿noci¹ po³udnikow¹ soldnerowsk¹.

% / Z _® % / % _¨§ S S_¸· / S S _¾½

© ¹

¯ ¿

Rys. 1. Wspó³rzêdne Soldnera na elipsoidzie

obrotowej sp³aszczonej Rys. 2. Po³udnik soldnerowski oraz soldnerowskazbie¿noæ po³udników

Po³udnik soldnerowski na elipsoidzie nie jest krzyw¹ p³ask¹ (rys. 3). Punkty tworz¹ce po³u-dnik soldnerowski w pobli¿u równika le¿¹ bli-¿ej p³aszczyzny po³udnika centralnego ni¿ punk-ty w pobli¿u bieguna (Szpunar, 1982).

Rys. 3. Po³udniki soldnerowskie na elipsoidzie

FRV FRV FRV VLQ

VLQ VLQ VLQ VLQ D H % D % / D % / U U % / H % H % H % ª º « » « » ¬ ¼ & &® ®

(3)

Po³udniki soldnerowskie oraz linie geodezyjne prostopadle wychodz¹ce z po³udnika cen-tralnego L=L₀ tworz¹ siatkê uk³adu wspó³rzêdnych Soldnera (rys. 4).

Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera elipsoidy obrotowej sp³aszczonej o równaniu , (2) gdzie , (3) maj¹ postaæ (4) Wielkoci h, x mo¿na przedstawiæ za pomoc¹ zale¿noci (Pêdzich, 2007)

, (5)

, (6)

gdzie symbolem E oznaczono ca³kê eliptyczn¹ drugiego rodzaju Legendrea w postaci nor-malnej, w której

. (7)

cn (w,k) oznacza cosinus eliptyczny Jacobiego zmiennej w z parametrem k, natomiast am (w,k) oznacza amplitudê zmiennej w z parametrem k.

Powy¿sze formu³y pozwalaj¹ na odwzorowanie ca³ej elipsoidy.

>

FRV FRV FRV VLQ VLQ

@

U& [ D X / \ D X / ] E X WDQX H WDQ%

U& ª_¬[ K X / \ [ X / º_¼ D ( S H ( S X H K ª_« §_¨ ·_¸ §_¨ ·_¸º_» © ¹ © ¹ ¬ ¼

VLQ ( DP D H H X Z N N [ ª_¬ º_¼

VLQ VLQ FQ VLQ _VLQ H X X Z N N X _H _X

Rys. 4. Siatka wspó³rzêdnych Soldnera na elipsoidzie

(4)

Równanie linii geodezyjnej w funkcji jej punktu zwrotu P

₀ Równanie linii geodezyjnej we wspó³rzêdnych zredukowanych u,L na powierzchni elip-soidy okrelonej równaniem (2) mo¿na zapisaæ w postaci

a cos u sin A = const = c, (8)

gdzie c Î á a,a ñ oznacza pewn¹ sta³¹. K¹t kierunkowy A (Panasiuk, Balcerzak, Pokrowska, 1995) dany jest wzorem

, (9) gdzie , , , .

Podstawiaj¹c wspó³czynniki (10) do (9) otrzymujemy zale¿noæ

(11) Przyjmuj¹c sta³¹ c w postaci

(12) oraz ograniczaj¹c siê do przedzia³u L Î (L₀, L₀ + t), t Î (0, p), w którym, , tzn. u maleje gdy L ronie, równanie (8) mo¿emy napisaæ w postaci

. (13) St¹d otrzymujemy równanie . (14)

X

DUFWDQ GX ( ) G/ $ U GU + § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ & &

_FRV X ( U& D H X X / ) U U & &

FRV / * U& D X _FRV _FRV X / + U U& &u D X H X FRV FRW FRV H X GX $ X G/ FRV VLQ FRV F D X S D X GX G/ FRV FRV FRV FRV FRV FRV X X H X GX X X G/ X § · ¨ ¸ © ¹ FRV FRV FRV FRV FRV X H X G/ GX X X X § · ¨_© ¸_¹ (10)

(5)

Parametr u linii geodezyjnej nie wychodzi poza przedzia³ . Korzystaj¹c z zale¿noci

, (15)

równanie (14) mo¿emy przedstawiæ w postaci

. (16)

Wprowadzaj¹c zmienn¹ v tak¹, ¿e

cos v = cot u₀ tan u, (17)

po obustronnym zró¿niczkowaniu (17)

(18) oraz podstawieniu do (20) otrzymujemy równanie

, (19)

lub po przekszta³ceniu postaæ

. (20)

Po obustronnym sca³kowaniu (19) równanie linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej sp³aszczonej we wspó³rzêdnych geodezyjnych zredukowanych u,L okrelone przez punkt zwrotu P₀(u₀,L₀) mo¿na przedstawiæ w postaci

, (21)

gdzie cos v = u₀ tan u.

Celem rozwik³ania problemu, w nastêpnej kolejnoci, ca³kê (21) rozwijamy w szereg dwumienny.

Poniewa¿

, (22)

to pierwiastek wystêpuj¹cy we wzorze (21) daje siê rozwin¹æ w szereg dwumienny postaci X X X X S ·_¸¹ FRV WDQ X X FRW WDQ FRV FRW WDQ X H X G/ GX X X X FRW FRV VLQ X GY X Y WDQ FRV WDQ FRV H X Y G/ GY X Y WDQ FRV H G/ GY X Y WDQ FRV H / / GY X Y

³

WDQ FRV H _H X Y d

(6)

. (23) Po wprowadzeniu (23) do (21) otrzymujemy wzór

, (24)

w którym

. (25)

Dalej zajmujemy siê rozwi¹zaniem ca³ki J_k. W tym celu wprowadzimy now¹ zmienn¹ w

tak¹, ¿e

w = tan v. (26)

Po zró¿niczkowaniu (26) otrzymujemy

. (27)

Ca³ka (25) po podstawieniu (26) i (25) przyjmie postaæ

(28)

.

Wystêpuj¹ce w liczniku (28) wyra¿enie przyjmuje postaæ

(29) .

WDQ FRV _WDQ _FRV N N N N H _H X Y _N _X _Y f § · ¨ ¸ _{¨ ¸} © ¹

¦

N N N N / / Y H -N f § · ¨ ¸ _{¨ ¸} © ¹

¦

WDQ FRV N N GY -X Y

³

FRV

GY

GZ

Y

FRV _WDQ WDQ FRV _WDQ WDQ N N N YGZ _Y - GZ X Y _X Y § · ¨ ¸ © ¹

³

WDQ WDQ N N Z _GZ _GZ Z X X _Z Z _Z § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ _© _¹

³

FRV N N Z GZ Z X § · ¨ ¸ © ¹

³

WDQ FRV FRV FRV N N N Z Z Z X X X § · §§ · · _¨ _¸ _¨_¨ _¸ _¸ © ¹ © ¹ © ¹

WDQ FRV N U N U U U N X Z U X _§ _· _§ _· _¨ _¸ _¨ _¸ © ¹ © ¹

¦

(7)

Po wprowadzeniu (29) do (28) otrzymujemy zale¿noæ

, (30) gdzie

. (31)

Ca³kê (31) mo¿emy rozwi¹zaæ na podstawie wzoru rekurencyjnego (Fichtenholtz, 1962)

. (32)

Stosuj¹c wzór (32) do ca³ki (31) otrzymujemy zale¿noæ w postaci

, (33)

gdzie

.

Wyraz J_r w (5.36) dla r=1 przyjmuje startow¹ formê

J₁ = cos u₀ arctan (w cos u₀). (34)

Osobliwoci uk³adu Soldnera na elipsoidzie

Na podstawie wzoru (21)

, gdzie cos v = cot u₀ tan u, obliczamy granice

Oznacza to, ¿e parametr v przyjmuje wartoæ v=0 przy u ® u₀ oraz przy u ® 0 (rys.5).

WDQ WDQ FRV N U N N U U U U N U U U N N - X Z GZ X -U X U § · § · § · _¨ _¸ _¨ _¸ _¨ _¸ © ¹ © ¹ © ¹

¦

³

FRV U U GZ -Z X § · ¨ ¸ © ¹

³

FRV FRV _FRV _FRV P P P P X Z X P - - X P _Z _X U

U U U Z U - -US _Z _S US FRV S X WDQ FRV H / / GY X Y

³

OLPFRV

OLPFRW WDQ

X Xo

Y

X Xo

X

Y

OLP FRV OLP FRW WDQ Xo Y Xo X X Y S Y S

(8)

Poniewa¿ granica mianownika (21) to

Ponadto

wiêc

.

Z powy¿szych rozwa¿añ wynika, ¿e wszystkie linie geodezyjne prostopad³e do wybranego po³udnika centralnego na elipsoidzie przecinaj¹ równik na ograniczonym odcinku zawartym po-miêdzy punktami o d³ugociach geodezyjnych od do L=L₀ + 90° (rys. 6).

Ten fragment odcinka równika mo¿na nazwaæ biegunem uk³adu Soldnera na elipsoidzie. W przypadku elipsoidy GRS 80 d³ugoæ tego odcinka wynosi 33 591 m. Odcinki linii geodezyjnych ortogonalnych do po³udnika centralnego maj¹ ró¿ne d³ugoci licz¹c od punktu zwrotu do punktu przeciêcia z równikiem. D³ugoci tych odcinków rosn¹ wraz ze wzro-stem szerokoci geodezyjnej punktu zwrotu. Dla punktu zwrotu le¿¹cego na równiku od-cinek linii geodezyjnej stanowi fragment równika liczony od po³udnika L=L₀ do po³udnika

.W przypadku elipsoidy GRS80 d³ugoæ tego odcinka równika liczo-na od po³udnia centralnego L=L₀=0o_{do po³udnika}

wynosi 9 985 163 m. Dla punktu zwrotu le¿¹cego w biegunie uk³adu geodezyjnego linia geodezyjna biegnie po po³udniku L=L₀+90o_._{D³ugoæ tego odcinka, czyli po³owy po³udnika}

wynosi 10 001 965 m.

Rys. 5. Okrelenie wartoci parametru v

OLP WDQ FRV Xo X Y X

OLP X H / / GY Y H H S S S o

³

OLP WDQ FRV XoS X Y X f

OLP X / / GY Y S S S S o

³

/ / q H / / q H / / q H $

(9)

Z powy¿szych rozwa¿añ wynika pewien problem w jednoznacznym okre-leniu przebiegu po³udników soldnerow-skich, które przecinaj¹ równik pomiê-dzy d³ugoci¹ geodezyjn¹ L = L₀ +90° a L=L₀ + 90.

Po³udniki te nie dadz¹ siê w sposób jednoznaczny okreliæ. Ostatnim po³u-dnikiem soldnerowskim jednoznacznie wyznaczalnym na elipsoidzie jest ten, który przecina równik w punkcie o d³u-goci geodezyjnej

(rys.7). Rys. 6. Przeciêcie równika liniami geodezyjnymi prostopadle wychodz¹cymi z po³udnika centralnego

L=L₀

Rys. 7. Ilustracja przebiegu ostatniego jednoznacznie wyznaczalnego po³udnika

soldnerowskiego

Badanie nieregularnoci odwzorowania Cassiniego-Soldnera

ca³ej elipsoidy

W pracy (Pêdzich, 2007) przedstawiono w³asnoci odwzorowania Cassiniego-Soldnera ca³ej elipsoidy. Pokazano m.in. rozk³ad zniekszta³ceñ odwzorowawczych oraz konstrukcjê siatki kartograficznej w odwzorowaniu elipsoidy GRS80. Elipsoida GRS80 charakteryzuje siê bardzo ma³ym sp³aszczeniem, dlatego pewne w³asnoci odwzorowania nie zosta³y tam w sposób szczegó³owy uwidocznione.

Dla dok³adnego zbadania i zobrazowania nieregularnoci wystêpuj¹cych w odwzorowa-niu Cassiniego-Soldnera nale¿y przyj¹æ znacznie wiêksze sp³aszczenie (ewentualnie mimo-ród) elipsoidy. W niniejszym artykule dla dalszych badañ przyjêto zatem mimoród e=0,6. W odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera po³udnik centralny L=L₀,i po³udnik L = L₀ + 180o

odwzorowuj¹ siê na odcinek osi x uk³adu wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich. Pozosta³e po³udniki odwzorowuj¹ siê na krzywe symetryczne wzglêdem obrazu po³udnika

centralne- / / q H / / q H

(10)

go. Równole¿niki odwzorowujê siê równie¿ na krzywe symetrycznie wzglêdem po³udnika

L=L₀.

W odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera w sposób nieregularny odwzorowuje siê równik. Rozwa¿ania dotycz¹ce przebiegu obrazu równika, mo¿emy ograniczyæ do p³ata elipsoidy zawartego pomiêdzy po³udnikami L=L₀=0° i L=L₀+90°=90° oraz równikiem B=0°.

Wów-czas zauwa¿ymy, ¿e odcinek równika pomiêdzy po³udnikami L₀ a L₁ = L₀ +90o

od-wzorowuje siê na odcinek linii prostej. Natomiast fragment równika zawarty pomiêdzy po³u-dnikiem L₁ = L₀ + 90° a L₂=L₀ + 90° odwzorowuje siê na pewn¹ krzyw¹, stanowi¹c¹ brzeg siatki kartograficznej. Wynika to z podstawowej w³asnoci odwzorowania jak¹ jest równoodleg³ociowe odwzorowanie linii geodezyjnych prostopadle wychodz¹cych z po³udni-ka centralnego L=L₀ na linie równoleg³e do osi y uk³adu wspó³rzêdnych prostok¹tnych

p³a-skich oraz przeprowadzonych w niniejszym artykule badañ nad przebiegiem tych linii na elipso-idzie. Ka¿dy po³udnik o d³ugoci geodezyjnej od L Î (L₁ = L₀ +90° , L₂ = L₀ +90°) odwzorowuje siê na dwa odcinki ³uków krzywych.

Przyjmuj¹c L₀=0° oraz e=0,6 otrzymujemy L₁=72° oraz L₂=90°. Obraz p³ata elipsoidy dla e=0,6 ilustruje rysunek 8. Natomiast obraz ca³ej elipsoidy przedstawiono na rysunku 9.

 H q

 H

Rys. 8. Nieregularny przebieg równika w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera, mimoród elipsoidy e=0,6

 H q

(11)

Rys. 9. Ilustracja siatki kartograficznej w odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera (obrócona o 90°)

Rys. 10. Obraz siatki wspó³rzêdnych Soldnera wraz z obrazem ostatniego jednoznacznie wyznaczalnego

po³udnika soldnerowskiego

Odwzorowanie Cassiniego-Solndera jest odwzorowaniem równoodleg³ociowym w kie-runku linii geodezyjnych prostopadle wychodz¹cych z po³udnika centralnego L=L₀,

odwzo-rowuj¹cych siê na linie proste równoleg³e do osi y uk³adu wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich. Po³udniki soldnerowskie odwzorowuj¹ siê na linie proste równoleg³e do osi x uk³a-du wspó³rzêdnych prostok¹tnych p³askich.

Obraz siatki uk³adu Soldnera tworzy wiêc w p³aszczynie odwzorowania siatkê prosto-k¹tn¹. Na rysunku 10 przedstawiono obraz tej siatki lini¹ ci¹g³¹ na tle siatki kartograficznej zaznaczonej lini¹ przerywan¹. Lini¹ pogrubion¹ zaznaczono obraz ostatniego jednoznacznie wyznaczalnego po³udnika soldnerowskiego. Z rysunku widaæ, ¿e w obszarze nieregularno-ci mo¿emy jedynie wyznaczyæ fragmenty kolejnych po³udników soldnerowskich.

(12)

Podsumowanie

W artykule przedstawiono pewne osobliwoci wystêpuj¹ce w uk³adzie wspó³rzêdnych Soldera na elipsoidzie oraz wynikaj¹ce z nich nieregularnoci obrazu ca³ej elipsoidy w p³asz-czynie odwzorowania Cassiniego-Soldnera. Osobliwoci te zwi¹zane s¹ z przeciêciami pew-nych linii geodezyjpew-nych elipsoidy z równikiem. Wystêpuj¹ one na odcinku równika elipsoidy stanowi¹cym tzw. biegun uk³adu wspó³rzêdnych Soldnera. W odwzorowaniu Cassiniego-Soldnera odcinek ten, tworzy brzeg siatki kartograficznej, odwzorowuj¹cy siê nieregularnie. Omówione w artykule osobliwoci stanowi¹ tak¿e rozwiniêcie wiedzy na temat przebie-gu linii geodezyjnej na elipsoidzie.

Literatura

Fichtenholz G.M., 1962: Rachunek ró¿niczkowy i ca³kowy, PWN, Warszawa.

König R., Weise K., 1951: Mathematische grundlagen der höheren geodäsie und kartographie, Berlin. Panasiuk J., Balcerzak J., Pokrowska U., 1995: Wybrane zagadnienia z podstaw teorii odwzorowañ

kartogra-ficznych, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.

Pêdzich P., 2007: Opracowanie odwzorowania Cassiniego-Soldnera ca³ej elipsoidy oraz obszaru Polski w szerokiej strefie odwzorowawczej z zastosowaniem funkcji i ca³ek eliptycznych Jacobiego, Prace

Nauko-we Geodezja, z. 42, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.

Szpunar W., 1982: Podstawy geodezji wy¿szej, PPWK, Warszawa.

Abstract

In the paper, some peculiarities occurring in the Soldner coordinate system and irregularities in the image of an ellipsoid in the Cassini-Soldner projection are presented. The peculiarities relate from intersections of geodetic lines with equator. They appear on some section of equator, so called a pole of the Soldner coordinate system. In the Cassini-Soldner projection that section is projected in the irregular way and creates the edge of graticule.

dr hab. in¿. Jerzy Balcerzak, prof. PW j.balcerzak@gik.pw.edu.pl

dr hab. in¿. Pawe³ Pêdzich p.pêdzich@gik.pw.edu.pl