ODWZOROWANIA KONFOREMNE 1

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2018/19.

8. ODWZOROWANIA KONFOREMNE

1. Udowodni¢, »e dla dowolnych trzech ró»nych punktów z1, z₂, z₃ ∈ C i trzech ró»nych warto±ci w1, w₂, w₃ ∈ C istnieje dokªadnie jedna homograa f taka, »e f (z_i) = w_i, i = 1, 2, 3.

2. Znale¹¢ homograe h : C → C przeksztaªcaj¡c¡ koªo D(1, 2) na koªo D(0, 1) tak¡,

»e h(−1) = −1 oraz h(i) = 0.

3. Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar D = {z ∈ C : 0 < Imz ≤ π/2} na obszar D1 = {z ∈ C : Imz > 0 & |z| < 1}.

4. Niech h(z) = _1−2z^z−3. Dla jakiej warto±ci parametru k ∈ R obraz okr¦gu o równaniu

|z − 1| = k przy odwzorowaniu h jest prost¡. Wyznaczy¢ równanie tej prostej.

5. Znale¹¢ odwzorowanie konforemne f(z), które przeksztaªca obszar D = C \ {z ∈ C : Rez ≤ 0 & Imz = 0} na obszar D1 = {z ∈ C : |z| > 1}.

6. Niech f(z) = ¹₂ z + ¹_z

. Pokaza¢, »e obrazem okr¦gu o równaniu |z| = r, gdzie 0 < r < 1, przt odwzorowaniu f jest elipsa o póªosiach dªugo±ci ¹₂ ¹_r + r

,

1 2

1 r − r

. Nast¦pnie wyznaczy¢ f(D(0, 1)), gdzie D(0, 1) = {z ∈ C : |z| < 1}.

7. Wykaza¢, »e wszystkie odwzorowania konforemne przeksztaªcaj¡ce dysk jednost- kowy na siebie s¡ postaci

f (z) = e^iϕ z − a

1 − az, |z| < 1, gdzie a ∈ C, |a| < 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.

Wskazówka: Wykorzysta¢ Lemat Schwarza do pokazania, »e wszystkie odwzoro- wania konforemne przeksztaªcaj¡ce dysk jednostkowy na siebie s¡ homograami.

1