Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania

Sposoby okre±lania zbiorów

1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T :

{f (t); t ∈ T }.

2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj¡cych warunek ϕ(x):

{x ∈ X : ϕ(x)}.

3) Zbiór sko«czony mo»emy okre±li¢ przez wypisanie jego ele- mentów, np.

• Zbiór liczb parzystych mo»emy okre±li¢ na dwa sposoby:

{2k; k ∈ Z} = {n ∈ Z : 2 | n}.

• Prost¡ o równaniu y = ax + b mo»emy okre±li¢ jako zbiór punktów o wspóªrz¦dnych (x, ax + b), gdzie x ∈ R:

{(x, ax + b); x ∈ R}

lub jako zbiór tych punktów o wspóªrz¦dnych (x, y), które speªniaj¡ warunek y = ax + b:

{(x, y) ∈ R² : y = ax + b}.

Wa»ny przykªad zbiorów stanowi¡ przedziaªy osi liczbowej.

(a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b}, [a, b) = {x ∈ R : x > a ∧ x < b}, (−∞, a) = {x ∈ R : x < a}.

Rozwa»my dowolne dwa zbiory A i B.

Suma A ∪ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ do zbioru A lub do zbioru B:

(x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B).

Cz¦±¢ wspólna (przekrój) A ∩ B skªada si¦ z wszystkich elemen- tów, które nale»¡ jednocze±nie do zbioru A i do zbioru B:

(x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B).

Ró»nica A \ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡

do zbioru A, ale nie nale»¡ do zbioru B:

(x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B).

Oczywi±cie (x6∈A) ⇔∼ (x ∈ A).

Ró»nica symetryczna A ÷ B skªada si¦ z wszystkich elementów, które nale»¡ do zbioru A, a nie nale»¡ do B, oraz tych, które nale»¡ do B, a nie nale»¡ do A:

(x ∈ A ÷ B) ⇔ (x ∈ A Y x ∈ B).

Zauwa»my, »e A ÷ B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Przykªady:

[0, 2) ∪ [1, 3) = [0, 3), [0, 2) ∩ [1, 3) = [1, 2), [0, 2) \ [1, 3) = [0, 1), [0, 2) ∪ {2} = [0, 2], (−1, +∞) ∩ (−∞, 1) = (−1, 1),

[−1, 1] \ {−1, 1} = (−1, 1),

[−1, 1] \ {0} = [−1, 0) ∪ (0, 1].

Inny przykªad:

{n ∈ N1 : n | 12} ∩ {n ∈ N1 : n | 18} = {n ∈ N1 : n | 6}.

Wªasno±ci dziaªa« na zbiorach

Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz¡ nast¦puj¡ce równo±ci:

1) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), 2) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), 3) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C), 4) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C),

5) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B,

6) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C), 7) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C),

8) A \ (B \ C) = (A \ B) ∪ (A ∩ C).

Takich równo±ci mo»na dowodzi¢ dwiema metodami  rachunku zda« (bardziej formalna) i diagramów Venne'a (bardziej obrazo- wa).

Inkluzja zbiorów

Mówimy, »e zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A ⊂ B, je±li wszystkie elementy zbioru A nale»¡ do zbioru B, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie

(x ∈ A) ⇒ (x ∈ B).

Przykªady:

{0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1], N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Wªasno±ci:

1) Je»eli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B.

2) Je»eli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C.

3) Je»eli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C.

4) Je»eli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C.

Zadanie. Wyka», »e dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodz¡

nast¦puj¡ce równowa»no±ci:

A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B.

Zbiór pusty to zbiór posiadaj¡cy 0 elementów, oznaczamy go symbolem ∅.

Zbiór pusty jest zawarty w ka»dym zbiorze:

∅ ⊂ A.

Jest tylko jeden zbiór pusty:

(∅1 ⊂ ∅2) ∧ (∅2 ⊂ ∅1) ⇒ (∅1 = ∅2).

Algebra podzbiorów danego zbioru

Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X oznaczamy symbolem 2^X, na przykªad:

je±li X = {a, b}, to 2^X = {∅, {a}, {b}, {a, b}}, je±li X = {1, 2, 3}, to

2^X = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.

Twierdzenie. Je±li zbiór X ma n elementów, to zbiór 2^X ma 2ⁿ elementów.

Je±li mamy ustalony zbiór X i rozwa»amy tylko jego podzbiory, to zbiór X nazywamy przestrzeni¡ lub uniwersum.

Dopeªnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A⁰ = X \ A. Dla ka»dego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie

x ∈ A⁰ ⇔∼ (x ∈ A).

Zachodz¡ nast¦puj¡ce zale»no±ci:

A ∩ A⁰ = ∅, A ∪ A⁰ = X, (A⁰)⁰ = A,

∅⁰ = X, X⁰ = ∅.

Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów:

(A ∪ B)⁰ = A⁰ ∩ B⁰, (A ∩ B)⁰ = A⁰ ∪ B⁰.

Podobne zale»no±ci zachodz¡ dla wi¦kszej liczby zbiorów, na przykªad:

(A ∪ B ∪ C)⁰ = A⁰ ∩ B⁰ ∩ C⁰,

(A ∩ B ∩ C ∩ D)⁰ = A⁰ ∪ B⁰ ∪ C⁰ ∪ D⁰.

Iloczyn kartezja«ski zbiorów

Rozwa»my dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a ∈ A i b ∈ B mo»emy utworzy¢ par¦ (a, b). Zbiór wszystkich takich par oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezja«skim zbiorów A i B:

A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}, przy czym

(a, b) = (a⁰, b⁰) ⇔ (a = a⁰) ∧ (b = b⁰).

Uwaga. Je±li zbiory A i B s¡ sko«czone i zbiór A ma m ele- mentów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n

Kwadratem kartezja«skim zbioru A nazywamy zbiór A² = A × A.

Przykªad. R² = R×R  pªaszczyzna (z ukªadem wspóªrz¦dnych), [0, 3) × (1, 2] ⊂ R²,

[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}.

Analogicznie okre±lamy iloczyn kartezja«ski wi¦kszej liczby zbio- rów, na przykªad

A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}, przy czym

(a, b, c) = (a⁰, b⁰, c⁰) ⇔ (a = a⁰) ∧ (b = b⁰) ∧ (c = c⁰).

Zbiór

Aⁿ = A × A × . . . × A

| {z }

n

=

= {(a₁, a₂, . . . , a_n); a₁, a₂, . . . , a_n ∈ A}

nazywamy n-t¡ pot¦g¡ kartezja«sk¡ zbioru A, na przykªad R³ to przestrze« trójwymiarowa (z ukªadem wspóªrz¦dnych) i ogólnie

Funkcje

Je»eli mamy dwa zbiory X i Y , i ka»demu elementowi zbioru X przyporz¡dkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie przyporz¡dkowanie nazywamy funkcj¡.

f : X → Y , X  dziedzina funkcji f, Y  przeciwdziedzina funk- cji f.

Przykªady:

• f : Z → Z, f (n) = n + 1,

• g_i: R → R, g1(x) = ax + b, g2(x) = sin x, g3(x) = 2^x, g₄(x) = a_nxⁿ + . . . + a₁x + a₀,

• E(x) = [x], np. E : R → R lub E : R → Z,

• f : N1 × N1 → N1, f(m, n) = NWD(m, n),

• g : R³ → R, g(x, y, z) = xy + yz + zx,

• h : R → R², h(t) = (cos t, sin t),

• X  zbiór, IdX : X → X, IdX(x) = x,

• T  zbiór trójk¡tów, P : T → R, P (ABC)  pole trójk¡ta ABC,

• ci¡g a1, a₂, a₃, . . . elementów zbioru A to funkcja a : N1 → A, a(n) = a_n.

Zbiorem warto±ci funkcji f : X → Y nazywamy zbiór

f (X) = {f (x); x ∈ X} = {y ∈ Y : ∃_x∈X y = f (x)}.

Przykªady:

• f : R → R, f (x) = xⁿ, gdzie n ∈ N1, f (R) =

( [0, +∞), je±li n jest parzyste, R, je±li n jest nieparzyste.

• g : R → R, g(x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R, g(R) =

(

R, je±li a 6= 0, je±li a = 0.

• E : R → R, f (x) = [x], E(R) = Z

• h : R → R², h(t) = (cos t, sin t), h(R) =?

Uwaga. Zbiór warto±ci jest podzbiorem przeciwdziedziny:

f (X) ⊂ Y,

nie musi by¢ równy caªej przeciwdziedzinie!

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ lub injekcj¡, je±li ró»nym elementom zbioru X przyporz¡dkowuje ró»- ne elementy zbioru Y :

∀_x1,x2∈X x₁ 6= x₂ ⇒ f (x₁) 6= f (x₂).

Warunek równowa»ny:

∀_x1,x2∈X f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂.

Przykªady injekcji:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

• g : [−^π₂, ^π₂] → R, g(x) = sin x,

• dowolna funkcja rosn¡ca f : R → R.

Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f(x) = xⁿ jest injekcj¡?

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy funkcj¡ na lub surjek- cj¡, je±li ka»dy element zbioru Y jest przyporz¡dkowany jakiemu±

elementowi zbioru X, czyli

∀_y∈Y ∃_x∈X f (x) = y.

Funkcja jest na, gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem warto±ci:

f (X) = Y .

Przykªady surjekcji:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

• f : R → [−1, 1], f (x) = sin x,

• f : R → Z, f (x) = [x].

Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f(x) = xⁿ jest surjek- cj¡?

Denicja. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy wzajemnie jednoznacz- n¡ lub bijekcj¡, je±li jest ró»nowarto±ciowa i na (czyli jest in- jekcj¡ i surjekcj¡).

Przykªady bijekcji:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

• f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = ¹_x,

• f : [−^π₂, ^π₂] → [−1, 1], f(x) = sin x,

Rozwa»my funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Dla x ∈ X mamy y = f (x) ∈ Y , wi¦c mamy równie» g(y) = g(f(x)) ∈ Z. W ten sposób okre±lamy zªo»enie funkcji f i g:

g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.

Przykªad: f, g : R → R, f(x) = x + 1, g(x) = x², f (g(x)) = x² + 1, g(f(x)) = (x + 1)².

Funkcja f : X → Y jest bijekcj¡ wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element y ∈ Y jest przyporz¡dkowany dokªadnie jednemu ele- mentowi x ∈ X. Wówczas istnieje funkcja g : Y → X taka, »e

g(y) = x ⇔ y = f (x) dla x ∈ X, y ∈ Y.

Funkcja g speªnia warunki:

∀_x∈X g(f (x)) = x i ∀y∈Y f (g(y)) = y, czyli

g ◦ f = IdX i f ◦ g = IdY .

Funkcj¦ g nazywamy funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji f i oznaczamy symbolem f⁻¹.

Przykªady funkcji odwrotnych:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0, f⁻¹: R → R, f⁻¹(x) = ^x−b_a ,

• g : [0, +∞) → [0, +∞), g(x) = xⁿ, gdzie n ∈ N, n > 2 g⁻¹: [0, +∞) → [0, +∞), g⁻¹(x) = √ⁿ

x,

• h : R → (0, +∞), h(x) = a^x, gdzie a > 0, a 6= 1, h⁻¹: (0, +∞) → R, h(x) = loga(x).

Rozwa»my funkcj¦ f : X → Y . Dla dowolnego zbioru A ⊂ X okre-

±lamy jego obraz:

f (A) = {f (x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃_x∈A f (x) = y}.

Dla dowolnego zbioru B ⊂ Y okre±lamy jego przeciwobraz:

f⁻¹(B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}.

Przykªady:

• f : R → R, f (x) = x² + x + 1,

f ([−1, 2]) = [³₄, 7], f⁻¹((₄³, 1)) = (−1, −¹₂) ∪ (−¹₂, 0)

• g : R → R, g(x) = sin 3x,

g((0, ^π₃)) = (0, 1], g⁻¹([−1, 0)) =

= . . . ∪ (−^π₃, 0) ∪ (^π₃, ^2π₃ ) ∪ (π, ^4π₃ ) ∪ . . . = ^S_k∈Z(^(2k−1)π₃ , ^2kπ₃ )

• E : R → R, E(x) = [x], E((−√

2,√

2)) = {−2, −1, 0, 1}, E⁻¹((−√

2, √

2)) = [−1, 2).

Zadanie. Rozwa»my funkcj¦ f : Z × Z → Z, f(x, y) = xy. Znajd¹ obraz zbioru

{1, 10, 100, 1000} × {1, 10, 100, 1000}

oraz przeciwobraz zbioru {1, 2, 3}.

Wªasno±ci. Niech f : X → Y b¦dzie dowoln¡ funkcj¡. Wówczas dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X:

a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B), b) f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B), c) f(A) \ f(B) ⊂ f(A \ B),

oraz dla dowolnych zbiorów C, D ⊂ Y : a) f⁻¹(C ∪ D) = f⁻¹(C) ∪ f⁻¹(D), b) f⁻¹(C ∩ D) = f⁻¹(C) ∩ f⁻¹(D), c) f⁻¹(C \ D) = f⁻¹(C) \ f⁻¹(D).