1 Odwzorowania uwikłane Definicja 1.1 (odwzorowanie uwikłane)

Wykład 6

1 Odwzorowania uwikłane

Definicja 1.1 (odwzorowanie uwikłane) Niech będzie dane odwzorowanie f : U → Y , gdzie U ⊂ X × Y , X = R ⁿ , Y = R ^m (w ogólności przestrzenie Banacha), oraz odwzoro- wanie ϕ : V → Y , gdzie V ⊂ X. Jeśli f (x, ϕ(x)) = 0 dla każdego x ∈ V , to mówimy, że odwzorowanie f generuje odwzorowanie uwikłane ϕ : V → Y .

Twierdzenie 1.1 (o odwzorowaniu uwikłanym) Przypuśćmy, że X = R ⁿ , Y = R ^m (w ogólności przestrzenie Banacha nad ciałem K), X ×Y ⊃ U - podzbiór otwarty, f ∈ C ¹ (U, Y ), f (x 0 , y 0 ) = 0, _∂Y ^∂f (x 0 , y 0 ) ∈ I(Y, Y ). Wówczas istnieją otoczenia U 1 3 x 0 i U 2 3 y 0 , takie że U ₁ × U ₂ ⊂ U , oraz funkcja ϕ ∈ C ¹ (U ₁ , U ₂ ) takie że:

a) dla (x, y) ∈ U ₁ × U ₂ mamy f (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x);

b) dla x ∈ U ₁ ϕ ⁰ (x) = −f _Y ⁰ (x, ϕ(x)) ⁻¹ ◦ f _X ⁰ (x, ϕ(x))

Twierdzenie to umożliwia nam policzenie pochodnej odwzorowania uwikłanego bez zna- jomości samego odwzorowania. Przyjrzyjmy się teraz przykładom odwzorowań uwikłanych i zastosowaniu twierdzenia.

Przykłady:

1. Rozpatrzmy funkcję f : R ² → R ² daną wzorem f (x, y) = x ² + y ² − 4. Rozpatrzmy zbiór S = {(x, y) : f (x, y) = 0}. Zauważmy, że z otrzymanego równania możemy wyliczyć y w zależności od x. Mamy: y = √

4 − x ² lub y = − √

4 − x ² . Zauważmy, że w otoczeniu każdego punktu zbioru S poza punktami A = (2, 0) i B = (−2, 0) wiemy, którego wzoru użyć do wyznaczenia y mając dane x. Problem pojawia się gdy chcemy wyliczyć y jako funkcję x w otoczeniu wymienionych wyżej punktów. Sprawdźmy, w jakich punktach zbioru S spełnione są założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej. Mamy:

∂f

∂y = 2y

Widzimy, we wszystkich punktach S poza A i B założenia są spełnione (pozostałe założenia spełnione sa w sposób oczywisty). Na mocy twierdzenia o funkcji uwikłanej w każdym z punktów zbioru S \ {A, B} funkcja f generuje odwzorowanie uwikłane - prościej mówiąc można rozwikłać y względem x lub jeszcze inaczej - wyznaczyć y jako funkcję klasy C ¹ od x. Wiemy więc, że w otoczeniu każdego z punktów (x ₀ , y ₀ ) zbioru S \{A, B} istnieje funkcja ϕ : R → R taka, że jeśli tylko (x, y) ∈ S są dostatecznie blisko (x ₀ , y ₀ ) to y = ϕ(x) przy czym funkcja ϕ jest klasy C ¹ . Uwaga: funkcja ta nie musi być jednakowa dla wszystkich punktów - widzimy to wyraźnie w naszym przykładzie, gdzie otrzymujemy dwie różne funkcje uwikłane generowane przez odwzorowanie f w zależności od punktu w otoczeniu którego dokonujemy rozwikłania. Obliczymy teraz trzema różnymi sposobami pochodną odwzorowania uwikłanego ϕ w punkcie x ₀ = √

2

1

( zauważmy, ze napisaliśmy ”w punkcie” i podaliśmy punkt o jednej współrzędnej - jest to poprawne, gdyż odwzorowanie uwikłane jest w naszym przypadku funkcją jednej zmiennej).

sposób I Nasza funkcja f jest tak prosta, ze udało nam się znaleźć odwzorowanie uwikłane:

w otoczeniu punktu (x, y) = ( √ 2, √

2) ∈ S zmienna y zadaje się jako funkcja x w następujący sposób: y = ϕ(x) = √

4 − x ² . Różniczkując tę funkcję (jako funkcję jednej zmiennej x) otrzymujemy :

ϕ ⁰ (x) = −2x 2 √

4 − x ² stąd ϕ ⁰ ( √

2) = −1.

sposób II skorzystajmy ze wzoru danego nam przez twierdzenie o funkcji uwikłanej. mamy już policzoną pochodną f _y ⁰ (x, y) = 2y co dla (x, y) = ( √

2, √

2) daje f _y ⁰ ( √ 2, √

2) = 2 √

2. Potrzebujemy jeszcze pochodną f po zmiennej x: f _x ⁰ (x, y) = 2x, czyli f _x ⁰ ( √

2, √

2) = 2 √

2. Korzystając teraz ze wzoru dostajemy:

ϕ ⁰ ( √

2) = −(2 √

2) ⁻¹ · 2 √

2 = −1.

sposób III różniczkujemy po x równanie x ² + y ² − 4 = 0, traktując y jako funkcję x. Korzy- stając ze wzoru na pochodną funkcji uwikłanej otrzymujemy:

2x + 2y · y ⁰ = 0 y ⁰ = − x

y .

Zauważmy, że otrzymany wzór ma sens tylko tam gdzie y 6= 0, czyli tam, gdzie spełnione jest założenie twierdzenia o funkcji uwikłanej. Otrzymujemy ponownie y ⁰ ( √

2) = −1.

Tak wiec możemy znajdować pochodną funkcji uwikłanej na conajmniej trzy sposobu.

Zauważmy jednak, że pierwszy sposób wymaga znajomości funkcji uwikłanej, a ta udaje się znaleźć w nielicznych przypadkach.

2. Rozpatrzmy funkcję f (x, y) = x + y − e ^xy . Sprawdzając założenia twierdzenia o funkcji uwikłanej stwierdzamy, że możemy dokonać rozwikłania y = ϕ(x) w otoczeniu punktu A = (0, 1) oraz, rozwikłania x = ψ(y) w otoczeniu punktu B = (1, 0). Jednocze- śnie stwierdzamy, że nie możliwe jest dokonanie tych rozwikłań po zamienieniu rolami punktów. Policzmy pochodną funkcji uwikłanej y = ϕ(x) w otoczeniu punktu A trze- cim sposobem - różniczkując równanie f (x, y(x)) = 0 stronami po zmiennej x traktując y jako funkcję x:

1 + y ⁰ − (ye ^xy + xe ^xy y ⁰ ) = 0 y ⁰ = ye ^xy − 1

1 − xe ^xy

2

Wynik ten otrzymaliśmy stosując wzór na pochodną funkcji złożonej g(x) = f (x, y(x)).

Podstawiając wartości współrzędnych punktu A wokół którego dokonujemy rozwikłania stwierdzamy, że y ⁰ (x | _x=0 ) = 0. Otrzymaliśmy zerowanie się pochodnej funkcji uwikłanej w punkcie A. Jest to więc dla funkcji uwikłanej y = ϕ(x) punkt ”podejrzany” o istnienie ekstremum. w celu sprawdzenia czy rzeczywiście jest tam ekstremum policzymy druga pochodna w tym punkcie, pamiętając o tym, że y = y(x):

y ⁰⁰ = (y ² e ^xy + y ⁰ e ^xy + xye ^xy y ⁰ )(1 − xe ^xy ) − (ye ^xy − 1)(e ^xy + xye ^xy + x ² e ^xy y ⁰ ) (1 − xe ^xy ) ²

co po podstawieniu współrzędnych punktu A oraz y ⁰ = 0 daje:

y ⁰ = 1 > 0

więc funkcja uwikłana y = ϕ(x) określona w pewnym otoczeniu punktu x = 0 ma w tym punkcie minimum. zauważmy jak silnym narzędziem jest poznane twierdzenie - przy umiejętnym stosowaniu umożliwia ono znalezienie ekstremów funkcji, której jaw- nej postaci nie znamy.

3. Rozważmy odwzorowanie F : R ⁴ → R ² , F =

"

F ₁ F ₂

#

, F ₁ (x, y, z, t) = x + y + z − t ² x ³ z, F ₂ (x, y, z, t) = z − x − t + x ² yz ³ . Sprawdźmy, że możliwe jest rozwikłanie w otoczeniu punktu 0 = (0, 0, 0, 0) zmiennych x, z w zależności od zmiennych y, t tzn. istnieje takie otoczenie U ∈ R ² punktu (0, 0) oraz taka funkcja Φ =

"

ϕ ₁ ϕ ₂

#

, Φ ∈ C ¹ (U, R ² ), że (x, z) = Φ(y, t). W tym celu liczymy pochodne cząstkowe funkcji F względem zmiennych x, z w punkcie (0, 0, 0, 0) i otzrymujemy:

" _∂F

_(0,0,0,0)

∂x

∂F

(0,0,0,0)

∂F

(0,0,0,0) ∂z

∂x

∂F

(0,0,0,0)

∂z

#

=

"

1 1

−1 1

#

wyznacznik tej macierzy jest niezerowy więc spełnione są założenia twierdzeniu o od- wzorowaniu uwikłanym, żadana funkcja więc istnieje. w celu policzenia pochodnej od- wzorowania uwikłanego w tym punkcie musimyjeszcze znaleźć macierz pochodnej funkci F w kierunku zmiennych y, t w punkcie 0 = (0, 0, 0, 0). Mamy:





∂F

(0,0,0,0)

∂y

∂F

(0,0,0,0)

∂t

∂F

(0,0,0,0)

∂y

∂F

(0,0,0,0)

∂t



 =

"

1 0 0 −1

#

Stosując wzór z twierdzenia o funkcji uwikłanej otrzymujemy:

DΦ(0, 0) = −

"

1 1

−1 1

# −1

·

"

1 0 0 −1

#

= −

" ₁

2 − ¹ ₂

1 2

1 2

#

·

"

1 0 0 −1

#

=

"

− ¹ ₂ − ¹ ₂

− ¹ ₂ ¹ ₂

#

.

Ten przykład jakkolwiek nieprosty jest dość pouczający jeśli chodzi o stosowanie twier- dzenia o odwzorowaniu uwikłanym w wyższych wymiarach.

3