POCHODNE i EKSTREMA FUNKCJI DW ´OCH ZMIENNYCH 1

1

ZADANIA PRZYGOTOWUJA¸ CE DO ”SPE¸ DU” z RAROC 1. GRANICE i POCHODNA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 2. POCHODNE i EKSTREMA FUNKCJI DW ´OCH ZMIENNYCH

1. Obliczy˙c pochodn¸a funkcji: a) y = arctg(ln(x)) + ln(arctg(x)) − 2, b) y = _ln(2x)^x2 . 2. Obliczy˙c granic¸e funkcji:

a) lim

x→∞

x⁵

e^x, b) lim

x→1⁺( 1

1 − x − 1

ln(x)), c) lim

x→0⁺

√x · ln(x),

d) lim

x→0

√1 + x −√ 1 − x

x , e) lim

x→π⁺(π − x) · tg(x

2). f ) lim

x→^π₂⁺( x

ctg(x)− π 2cos(x))

3. Znale´z˙c najmniejsz¸a i najwi¸eksz¸a warto´s˙c funkcji f (x) = sin(2x) − x w przedziale < −^π₂;^π₂ >.

4. Zbada˙c przebieg zmienno´sci funkcji:

a) f (x) = x · e^−2x, b) f (x) = (x − 1)²· (x + 1), c) f (x) = _x2^x+1³ , d) f (x) = x · ln(x).

5. Obliczy˙c pochodne cz¸astkowe funkcji: f (x, y) = 2x²y² − 3xy³− 4x³y.

6. Znale´z˙c ekstrema lokalne funkcji dw´och zmiennych:

a) f (x, y) = e^x· (x + y²), b) f (x, y) = 3x³+ 3x²y − y³− 15x.

ODPOWIEDZI:

1) a) _1+ln2¹(x))x +_(1+x2)·arctg(x)¹ , b) 2x·ln(2x)−x²·2·_2x¹ (ln(2x))² . 2)a) 0,b) −¹₂, c) 0, d) 1, e) 2, f)−1.

3) −^π₂, ^π₂.

5) f_x= 4xy²− 3y³− 12x²y, f_y = 4x²y − 9xy²− 4x³. 6) a) (−1, 0) min, b) (√

5, −√

5) min, (−√ 5,√

5) max.

3. CA LKI OZNACZONE I NIEOZNACZONE

Oblicz: 1)^R x sin 5xdx, 2)^{R ln}_x²2^xdx, 3)^R _{1+4 sin}^{cos xdx}2x, 4)^R _x^√dx_1+x2, 5)^R _x^dx3+1, 6)^R _4x^x33⁻¹−xdx, 7)^R _x¹2

qx−1 x dx, 8) ^R sin x sin(2x) sin(3x)dx, 9) ^R _{3+5 cos x}^dx , 10) ^R _{1+cos x}^{cos x} , 11)^{R √}_1+2x−x^x4dx ₂, 12) ^{R √}_x^x₂²_−x+1^dx , 13) ^{R cos(ln x)}_x dx, 14) ln⁴xdx, 15) ^{R √}_e2x^dx_+ex+1, 16) ^{R √}_−3x^dx_2+2x+1, 17) ^R _(x3^3(x−1)(x^4+2x2+2x+2)²⁺²⁾ dx, 18) ^R _x(x^x3+x2−1)²⁺²²dx, 19) ^{R e}_x^x12dx, 20) ^R arctgx

x⁴ dx, 21) ^R₁² _x+x^dx3, 22) ^R₀¹xarctgx, 23) ^R₁^{4 √}_2+4x^x dx, 24) ^R₀^π _{3+2 cos x}^dx , 25) ^R₂^+∞_x2+x−2^dx , 26)

R₀

−∞x sin x dx, 27) ^R_−∞^+∞ _x2+2x+2^dx , 28) ^R₁²_{x ln x}^dx , 29) ^R₀^{3 √}_9−x^dx 2, 30) pole obszaru p laskiego ograniczonego krzywymi y = x oraz y = 2x − x², 31) pole obszaru p laskiego ograniczonego krzywymi y² + 8x = 16 oraz y²− 24x = 48.

2 ODPOWIEDZI:

1) −¹₅cos 5x +₂₅¹ sin 5x + C, 2) −_x¹(ln²x + 2 ln x + 2) + C, 3) ¹₂arctg(2 sin x) + C, 4) ln |₁₊^√x_1+x2| + C, 5) ¹₆ln_x^(x+1)2−x+1² +^√₃³arctg^2x−1√₃ + C, 6) ¹₄x + ₁₆¹ ln |_(2x−1)^x7¹(2x+1)9⁶ | + C, 7) ²₃^q(^x−1_x )³ + C, 8) −¹₈cos(2x) +

1

24cos(6x)−₁₆¹ cos(4x)+C, 9) ¹₄ln |²⁺tg^x₂

2−tg^x₂|+C, 10) x−tg^x₂+C, 11) (−¹₄x³−₁₂⁷x²−¹¹₁₆x−²⁰₃)√

1 + 2x − x²+

51

6 arcsin^x−1√₂ + C, 12) ^2x+3₄ √

x²− x + 1 − ¹₈ln(2x − 1 + 2√

x²− x + 1) + C, 13 sin( lnx) + C, 14) x(ln⁴x − 4ln³x + 12ln²x − 24 ln x + 24) + C, 15) ln |^√√1+e_1+e^x_x^+e_+e2x^2x−e_−e^x_x⁻¹₊₁| + C, 16) ^√1₃arcsin^3x−1₂ + C, 17) ln |x³− 1| − 6arctg(x + 1) + C, 18) _2(1−x^x+32)+¹₄ln ^x3

(x+1)⁵⁴(x−1)³⁴ + C, 19) −e^1x+ C, 20) ₆¹ln^1+x_x2²− arctg_3x3 ^x−

1

6x² + C, 21) ¹₂ln⁸₅, 22) ^π₂ −¹₂, 23) ^3√₂², 24) ^√π₅, 25) ²₃ ln 2, 26) rozbie˙zna, 27) π, 28) rozbie˙zna, 29) ¹₂π, 30) ¹₆, 31) ³²₃√

6.

4. SZEREGI

1. Zbada˙c zbie˙zno´s˙c szeregu liczbowego:

a)

X∞ n=1

n¹⁰ 7ⁿ , b)

X∞ n=1

(3n)!

n³ⁿ , c)

X∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹ 2n + 1 , d)

X∞ n=1

√n + 1 −√ n

2n .

2. Znale´z˙c obszar zbie˙zno´sci szeregu pot¸egowego:

a)

X∞ n=1

(−1)ⁿ⁺¹·(x − 1)ⁿ n · 3ⁿ , b)

X∞ n=1

(x − 3)ⁿ nⁿ· 3ⁿ , c)

X∞ n=0

2n + 3

3ⁿ ·xⁿ, d)

X∞ n=1

(2x + 1)ⁿ n , e)

X∞ n=1

(−1)ⁿ⁻¹· xⁿ 2n − 1,

f )

X∞ n=0

(3x + 1)ⁿ 2ⁿ .

3. Rozwin¸a˙c funkcj¸e w szereg pot¸egowy w punkcie x₀ = 0. Poda˙c jego obszar zbie˙zno´sci:

a)f (x) = x

1 + x, b)f (x) = ln |2 − 3x|, c)f (x) = 1 (1 − x)²

ODPOWIEDZI:

1) a) zbie˙zny, b) rozbie˙zny, c) zbie˙zny (warunkowo), d) zbie˙zny. 2)a) (−2; 4 >, b) (−∞; +∞), c) (−3; 3), d) < −1; 0), e) < −1; 1 >, f) (−1;¹₃). 3) a) ^P∞_n=0(−1)ⁿxⁿ⁺¹, |x| < 1, b) ^P∞_n=0(³₂)^{n+1 x}_n+1ⁿ⁺¹, |x| <

2

3, c) ^P∞_n=0(n + 1)xⁿ, |x| < 1.

3 5. R ´OWNANIA R ´O ˙ZNICZKOWE

6. CA LKI PODW ´OJNE

1. Rozwi¸aza˙c r´ownania r´o˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych lub do nich sprowadzalne:

a) y⁰· ctgx = y + 2, b) y⁰ = 2√

y, y(0) = 1, c) 2x²y⁰ = y d) xy⁰ = y · ln(_x^y, e) y⁰ = ^x2_2xy^+y2, y(1) = 2, f) y⁰ = _(x+y)¹ 2, g) y⁰ = x + y + 3.

2. Rozwi¸aza˙c r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe pierwszego rz¸edu:

a) y⁰+ _1+x^2x2 · y = _x·(1+x¹ 2), b) y⁰+ 2xy = x · e^−x2, c) y⁰− y · tgx = _{cos x}¹ , y(0) = 1, d) y⁰− y = e^x, y(0) = 1, e)y⁰+ 2y = x²+ 2x, f) y⁰+ y = 2x · sin x.

3. Rozwi¸aza˙c r´ownanie r´o˙zniczkowe liniowe drugiego rz¸edu:

a) y” + 2y⁰ + y = ^e−x_x , b) y” − 4y⁰ + 5y = _{cos x}^e2x , c) y” − 4y⁰ + 4y = _1+x^e2x2, d) y” + y = _{sin x}¹ , e) y” − 3y⁰ + 2y = (x²+ x) · e^3x, f) y” + 2y⁰− 3y = e^x, y(0) = 0, y⁰(0) = 1, g) y” + y = cos x, h) y” − 2y⁰ = 3x²+ 2, i) y” − 2y⁰+ 2y = e^x· cos x, j) y” − _x−1¹ y⁰ = x(x − 1), y(2) = 1, y⁰(2) = 1.

4. Obliczy˙c ca lki podw´ojne:

a)

Z

D

Z

x · y dxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = x²− 1 oraz y = 2x + 2, b)

Z

D

Z

x + 2y dxdy gdzie D jest tr´ojka¸atem o wierzcho lkach: A(0, 0), B(2, 2), C(−1, 1), a)

Z

D

Z

x · y dxdy gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = y² oraz y = x − 2.

5. Obliczy˙c pole obszaru ograniczonego krzywymi y = x² − 1 oraz y = −x²− 2x + 3.

ODPOWIEDZI:

1) a) y = −2+_{cos x}^C , b) y = (1+x)², c) y = Ce^−21x, d) y = x·e^Cx+1, e) y = ^qx²(1 + 3x), f) y+x = tg(y−

C), g) y = Ce^x− x − 4, 2) a) y = _1+x¹2(C + ln |x|), b) y = e^−x2(C +¹₂x²), c) y = _{cos x}^x+1, d) y = e^x(1 + x), e) y = Ce^−2x+¹₄(2x²+ 2x − 1), f) y = Ce^−x+ x · sin x + (1 − x) · cos x. 3) a) y = e^x(C₁+ C₂x + x · ln |x|), b) y = e^2x(C₁cos x+C₂sin x+cos x·(ln | cos x|)+x·sin x), c) y = e^2x(C₁+C₂x−ln |1+x²|+x·arctgx), d) y = C1cos x + C2sin x − x · cos x + sin x · ln | sin x|, e) y = C1e^2x + C2e^x + e^3x · (¹₂x² − x − ³₂), f) y = −₁₆³e^−3x+₁₆³ e^x+¹₄xe^x, g) y = C₁cos x + C₂sin x +₂¹x sin x, h) y = C₁+ C₂e^2x−¹₂x³−³₄x²−⁷₄x, i) y = e^x(C₁sin x + C₂cos x + ¹₂x sin x), j) y = ₂₄¹(3x⁴− 4x³− 12x²+ 24x + 8). 4) a) ²⁵⁶₃ , b) ¹⁴₃ , c) ²¹₂. 5) 3.