Metoda obliczania parametrów układu regulacji napędu z połączeniem sprężystym z dodatkowymi sprzężeniami zwrotnymi

(1)

Kazimierz G IE R L O T K A Piotr ZA LEŚN Y

METODA OBLICZANIA PARAMETRÓW UKŁADU REGULACJI NAPĘDU Z POŁĄCZENIEM SPRĘŻYSTYM Z DODATKOWYMI SPRZĘŻENIAMI ZWROTNYMI

Streszczenie. W artykule przedstaw iono układ sterow ania napędu z połączeniem spręży

stym z dw om a dodatkow ym i sprzężeniam i zw rotnym i oraz m etodę d oboru je g o param etrów . Syntezę obw odu regulacji przeprow adzono przy uw zględnieniu stałej czasow ej w ew n ętrz

nego obw odu regulacji m om entu silnika. P rzedstaw iona w artykule m etoda d o b o ru param e

trów układu regulacji um ożliw ia uzyskanie silnego tłum ienia drgań i krótkiego czasu regula

cji także w przypadku, gdy stała czasow a nie je s t pom ijalna w p orów naniu z okresem drgań układu m echanicznego. P rzedstaw iono w yniki badań sym ulacyjnych.

M ETHOD OF D E T ER M IN A TIO N OF TH E C O N TR O L SY STEM PARAM ETERS OF TH E D R IV E W ITH ELASTIC JO IN T W ITH ADDITIONAL F EED B A C K LOOPS

Sum m ary. A control system o f th e drive w ith elastic jo in t w ith tw o additional feedback loops and the m eth o d o f its param eter determ ination are described in the paper. T he tim e con

stant o f the in n er closed-loop o f the m otor torque control is taken into account in synthesis o f the outer control system . T he m ethod o f the control system param eter determ ination de

scribed in the p ap er m akes it possible to obtain strong vibrations dam ping and short setting time also in the case, w hen tim e constant is not neglected in com parison w ith the vibrations period o f a m echanical system . T he chosen results o f the sim ulation tests are presented.

1. W P R O W A D Z E N IE

Skuteczność tłu m ien ia drgań napędów z połączeniam i sprężystym i w dużej m ierze zależna jest od inform acji o stanie obiektu regulacji. D latego w zam kniętych u k ład ach sterow ania takich napędów stosuje się dodatkow e sprzężenia zw rotne. W publikacji [3] w ykazano, że stosując w napędzie z połączeniem sprężystym przedstaw ioną na rys. 1 strukturę układu re

gulacji z dw om a dodatkow ym i sprzężeniam i zw rotnym i m o żn a uzyskać skrócenie czasu re

gulacji w p o rów naniu ze znanym i układam i regulacji z pojedynczym sprzężeniem zw rotnym od m om entu skręcającego w elem encie sprężystym (albo rów now ażnego sprzężenia od kąta skręcenia cp elem entu sprężystego) [ 1 ,4 ] lub prędkości m echanizm u za połączeniem spręży

stym [2].

(2)

Przedstaw iono tam m etodę doboru param etrów układu regulacji takiego napędu przy za

łożeniu, że stała czasow a zam kniętego obw odu regulacji m om entu elektrom agnetycznego silnika je s t pom ijalnie m ała w porów naniu z okresem drgań w łasnych układu m echanicznego.

Przyjęto w ięc, że zam knięty obw ód regulacji m om entu je s t elem entem bezinercyjnym opisa

nym w w ielkościach w zględnych transm itancją operatorow ą:

m z (s ) ⁰ )

R y s .l. S chem at układu regulacji prędkości napędu z połączeniem sprężystym Fig. 1. Functional diagram o f the control system o f the drive w ith elastic jo in t

W rezultacie uzyskano zależności na dobór param etrów regulatora prędkości i dodatko

w ych sprzężeń zw rotnych um ożliw iające uzyskanie teoretycznie nieskończenie krótkiego czasu regulacji [3, 5]. Jednak ich zastosow anie dla napędu, w którym inercja obw odu regula

cji m om entu silnika nie je s t pom ijalnie m ała lub przy przyjęciu bardzo krótkiego czasu regu

lacji (zależnego od w artości param etru coo), pow oduje, że przebiegi w układzie m o g ą być sła

bo tłum ione (rys.2b) lub praca napędu będzie niestabilna (rys.2c).

C elow e je s t w ięc przeprow adzenie analizy napędu z połączeniem sprężystym przy uw zględnieniu inercji w noszonej przez zam knięty obw ód regulacji m om entu elektrom agne

tycznego silnika, sform ułow anie zależności na dobór param etrów układu regulacji w tym przypadku oraz określenie zakresu popraw ności stosow ania zależności na dobór param etrów układu regulacji otrzym anych dla bezinercyjnego [3, 5] m odelu obw odu regulacji m om entu elektrom agnetycznego silnika.

Rys. 2. Przebiegi w układzie napędow ym z ry s .l z regulatorem prędkości typu P i nastaw am i dobranym i z zależności dla bezinercyjnego m odelu obw odu regulacji m om entu przy różnych zadanych w artościach szybkości działania układu:

a)ń»o = l,0 ; b)<ao = l,1 5 ; c)too = l,3 0

Fig. 2. R esults o f sim ulation tests o f the control system presented in Fig. 1. P aram eters o f the control system w ith P-type speed controller are determ ined for the m odel not taking into account tim e constant tm. The assum ed action rate o f the system :

a)fflo = l,0 ;b ) f f lo = l,1 5 ; c)t»o = l,3 0

(3)

2. A N A LIZA N A P Ę D U Z M O D E L E M IN E R C Y JN Y M W E W N Ę T R Z N E G O O B W O D U R E G U L A C JI M O M E N T U

Dobre w łasności dynam iczne układu napędow ego uw arunkow ane s ą m o żliw o ścią szyb

kiego kształtow ania m o m en tu elektrom agnetycznego silnika. A by to uzyskać, w yposaża się układy w obw ód regulacji m om entu elektrom agnetycznego silnika w ystępujący najczęściej w formie niejaw nej, na przykład ja k o obw ód regulacji prądu silnika obcow zbudnego prądu sta

łego lub składow ej i¡y p rądu stojana silnika asynchronicznego w układzie sterow ania w edług metody orientacji w ek to ra pola.

W przypadku kiedy stała czasow a zam kniętego obw odu regulacji m o m en tu elektrom a

gnetycznego silnika T^ nie je s t pom ijalnie m ała w porów naniu z okresem d rgań w łasnych układu m echanicznego, konieczne staje się uw zględnienie inercji w noszonej przez ten obw ód.

Przy popraw nie dobranych nastaw ach regulatora m ożna go opisać w uproszczeniu ja k o ele

ment inercyjny pierw szego rzędu o transm itancji:

G z m ( s )

_ m ( i) _ 1

sTm + \ (2)

U kład m echaniczny n ap ęd u (rys. 1) scharakteryzow any je s t p rzez m om enty bezw ładności silnika Ę , napędzanego m echanizm u za połączeniem sprężystym J2, oraz w spółczynnikiem sztywności p o łączen ia sprężystego c. Przyjęto dw um asow y m odel układu m echanicznego z bezinercyjnym elem entem sprężystym i pom inięto jeg o tłum ienie w ew nętrzne. O pis m ate

m atyczny układu przeprow adzono w w ielkościach w zględnych, przy czym ja k o w ielkości odniesienia przyjęto:

- dla m om entów i prędkości: m om ent i prędkość zn am ionow ą silnika ^M ⁿ^{, Q >}ⁿ^,

- dla w ielkości w układzie regulacji: w artości odpow iadające znam ionow ej prędkości i zna

m ionow em u m om entow i silnika.

Przy pow yższych założeniach obiekt regulacji zaw ierający zam knięty obw ód regulacji m om entu elektrom agnetycznego, silnik oraz sprężysty układ m echaniczny opisuje rów nanie operatorowe:

~m { s j ' s r j s 2 + n 2f 0

<ą{s) 1 s 2 + Q 2

... (7 ), .

1

<p (i) m z i s ) + s T j s 2 + £ * ) s Tm\

/ \

_a>2[ s \

1

cT

1 .W,

(3)

w którym pulsacje drgań w łasnych i stałe czasow e określone są zależnościam i:

(4)

B iorąc po d uw agę zależność (3) i zm ieniając skale czasu:

T = tQ f , P = — ’ Q

(6) /

transm itancja operatorow a zam kniętego obw odu regulacji prędkości napędu przedstaw ionego na rys. 1 przyjm uje postać:

^ ® i( p ) g M

r„ = T Q , ,

_/i

fj J 9 r , = Tm.Cl f ,

m l m l / ’

r = T Q f ,

i»

co J 1

a w spółczynnik rozłożenia masy:

6 = ń . = i k = f k _ 1 .

r ml

D la proporcjonalno-całkującego regulatora prędkości:

r G a { p ) = K 1 + -

m ianow nik M (p) przyjm uje postać:

M ( p ) = p5 + p * — + p i

f k 1

^/

b + l + — ^ ~ + p2

T T

^,

V

H

m\J ^V

b + 1 k q rm2 kg,

T.T., T..TT

+ + k 2) + r T T i1 + *2)•

V * i

M ianow nik M (p) m ożna przedstaw ić w postaci:

m ( p ) = p5+ + a ^ P * + a 20)* p 2 + a ^ p + <yQ5 ,

(7)

gdzie m ianow nik :

M ( p ) = p r m l(p T M + l ) ( p2 + b + l ) + p k tpTm2 + G a,( p ) [ p2 + ( l + A:2)], (8) w zględne stałe czasow e:

(9)

(10)

(U)

(12)

(13)

w której tłum ienie przebiegów zależne je s t od w spółczynników a/, a2, a3, 04, a w artość w spółczynnika odo je s t m ia rą szybkości działania układu. W artości w spółczynników cij, a2, 03, 04 m o żn a zw iązać ze w spółczynnikiem tłum ienia drgań £, relacjam i [3]:

a , = a4 = 4 £ +1, a2 = a i = 4 £ + 4 £ + 2 . (14)

(5)

Na podstaw ie zależności (12) - (14) dla założonej w artości w spółczynnika tłum ienia drgań

£ m ożna w yznaczyć w yrażenia na dobór param etrów obw odu regulacji prędkości napędu z proporcjonalno-całkującym regulatorem prędkości i z dw om a dodatkow ym i sprzężeniam i zwrotnymi:

km = TmlTM

(4 £2+ 4 £ + 2)

- ( ¿ + 1) (15)

i - t e + i ) r 2 2ó(4£ + l) 4

[r l ( b + 0 ( 4 ^ + l) 2(4 ^ + 2) - ( 4 ^ 2 + 4 £ + 2)] , (16)

k 2 = -

(44

+1)

[{ 4 f +44 + 2 ) - $ 4 4

+1

^{) \ b}

+1)]

⁽¹⁷⁾

(18)

Postępując zgodnie z przed staw io n ą pow yżej m eto d y k ą m ożna także w yznaczyć zależno

ści na dobór p aram etrów obw odu regulacji z proporcjonalnym regulatorem prędkości [5]:

* « = W / :

4*f2 + 2

- f c - 1

1 1

- b - 1 (19)

3 2 i 2r 2( 2 i 2 + l - 8 i 2r 2(ó + l))

- 1 , = (20)

Z pow yższych rów nań w ynika, że stosując w układzie regulacji n apędu z połączeniem sprężystym dw a dodatkow e sprzężenia zw rotne m ożna uzyskać d o w o ln ą w artość w spółczyn

nika tłum ienia drgań natom iast szybkość działania układu co0 zgodnie z w yrażeniam i (18) i (2 0) zależna je s t od stałej czasow ej z^ zam kniętego obw odu regulacji m om entu elektrom a

gnetycznego silnika i założonej w artości w spółczynnika tłum ienia drgań N ie m oże być zatem dow olnie duża, ja k to w ynikało z zależności uzyskanych na p odstaw ie m o d elu uprosz

czonego - pom ijającego sta łą czaso w ą zM (na podstaw ie zależności (18) i (2 0) m o żn a zauw a

żyć, że gdy w artość stałej czasow ej zM -» 0, to w ów czas co0 - » 00 ).

Z ależności (15) - (20) u m o żliw iają rów nież obliczenie n astaw regulatorów w przypadku układu z pojedynczym dodatkow ym sprzężeniem zw rotnym przez podstaw ienie w n ic h k2 = 0

(dla pojedynczego dodatkow ego sprzężenia od m om entu sprężystości m s) lub k9 = 0 (dla do

datkow ego sprzężenia od prędkości <»2). W takim przypadku w artość zarów no w spółczynnika tłum ienia drgań £, ja k i pulsacji coo zależna je s t od param etrów układu m echanicznego. Dla przykładow ych danych układu napędow ego w artości pulsacji (Do u zy sk an y ch w układzie na

pędow ym z dw om a lub je d n y m dodatkow ym sprzężeniem zw rotnym i z regulatorem prędko

ści typu P i PI o n astaw ach obliczonych z zależności (15) - (20) przedstaw iono n a rys. 3.

(6)

SU 2 dod. s.z.

sprz. od ms ID sprz. od

Regulator typu P Regulator typu PI Rys. 3. Porów nanie szybkości działania układu napę

dow ego z połączeniem sprężystym dla różnych dodatkow ych sprzężeń zw rotnych i typów re

gulatorów : tp = 0,15, b = 0,3

Fig. 3. C om parison o f the action rate o f th e drive with elastic jo in t for various additional feedback loops and controller types: tm = 0,15, b = 0,3

N ajkrótszy czas regulacji m ożna uzyskać w układzie z dw om a dodatkow ym i sprzęże

niam i zw rotnym i i z pro

porcjonalnym regulatorem pręd

kości. D la układów z pojedyn

czym dodatkow ym sprzężeniem zw rotnym na płaszczyźnie para

m etrów b, m ożna w yznaczyć obszary, w których układ z okre

ślonym typem sprzężenia w yka

zuje lepsze w łaściw ości dyna

m iczne. D la układu z proporcjo

nalnym regulatorem prędkości zobrazow ane je s t to na rys. 4.

W celu porów nania w łaści

w ości układu napędow ego przy doborze nastaw regulatorów z podanych w [3, 5] zależności w yznaczonych n a podstaw ie b ezinercyjnego m odelu obw odu regulacji m om entu elektrom a

gnetycznego silnika oraz doborze z zależności uw zględniających inercję t przeprow adzono bada

nia sym ulacyjne. Podstaw ow e param etry układu przyjęte do ba

dań były następujące:

Ji = 0,026 kgm 2, h = 0,019 kgm 2, c = 400 N m /rad,

Q f = 148,25 rad/s, b = 0,73, r = 0 ,1 5 .

W ybrane w yniki d la napędu z regulatorem prędkości typu PI obrazuje rys. 5. P rzedstaw ia on przebiegi prędkości m echanizm u za połączeniem sprężystym o>2, prędkości silnika coi, kąta skręce

n ia sprężystego w ału (p oraz m o

m entu elektrom agnetycznego silnika m w odpow iedzi na sko

kow e zm iany prędkości zadanej, a następnie m om entu obciążenia m m. B adania w ykazały, że dobór param etrów obw odu regulacji z zależności uw zględniają

cych inercję w ew nętrznego obw odu regulacji m om entu silnika zapew nia popraw ne działanie n apędu rów nież w ty m zakresie w artości param etrów napędu, w którym w y stęp u ją słabo tłu m ione drgania w przypadku doboru nastaw regulatorów z zależności uproszczonych.

R ys.4. O bszary w iększej szybkości działania układów z pojedynczym dodatkow ym sprzężeniem zw rotnym i proporcjonalnym regulatorem prędkości

R anges o f the higher action rate o f the system w ith single additional feedback loop and P-type speed controller

Fig. 4.

(7)

a) b)

Rys. 5. P orów nanie przebiegów w układzie regulacji napędu z p ołączeniem sprężystym z dw o m a dodatkow ym i sprzężeniam i zw rotnym i i regulatorem p rędkości ty p u PI o p aram etrach obliczonych z:

a) zależności uproszczonych nie uw zględniających inercji : zad an a w artość pulsacji coo=l,25,

b) zależności uw zględniających inercję : uzyskana w artość pulsacji ©0=1,25 Fig. 5. C om parison o f the test runs o f the drive w ith elastic jo in t w ith tw o additional feedback

loops. P aram eters o f th e control system w ith P i-type speed controller determ ined from:

a) sim plified m ethod neglecting tim e constant assum ed value o f w0= l ,25, b) m ethod taking into account tim e constant xM: obtained value o f coq=1 ,25

3. P O D SU M O W A N IE

P rzedstaw iona w p racy m etoda doboru param etrów nadrzędnego obw odu regulacji pręd

kości n apędu z połączeniam i sprężystym i z dodatkow ym i pętlam i sprzężeń zw rotnych je st przydatna w p rzypadku, gdy stała czasow a w ew nętrznego obw odu regulacji m om entu elektrom agnetycznego silnika nie je s t pom ijalnie m ała w porów naniu z okresem drgań w ła

snych układ u m echanicznego. N a podstaw ie przeprow adzonych b adań m o żn a stw ierdzić, że um ożliw ia ona uzyskanie przebiegów praktycznie bezoscylacyjnych także w przypadkach, gdy dobór p aram etró w układu regulacji z zależności pom ijających sta łą cza so w ą x^ prow adził do przebiegów słabo tłum ionych lub niestabilnych. Z akres stosow alności zależności otrzym a

nych na p odstaw ie m odelu układu napędow ego, w którym pom inięto sta łą cza so w ą został przedstaw iony w artykule [6].

N a podstaw ie przedstaw ionych w artykule zależności m ożliw y je s t do b ó r n astaw param e

trów układu regulacji napędu z połączeniem sprężystym , w którym zastosow ano dw a dodat

kowe sprzężenia zw rotne - od prędkości m echanizm u za połączeniem sprężystym oraz od m om entu skręcającego w elem encie sprężystym - ja k i w przypadku zasto so w an ia jednego z tych sprzężeń. L epsze w łaściw ości dynam iczne (krótszy czas regulacji) uzyskuje się w przypadku jed n o cz esn eg o zastosow ania obydw u dodatkow ych sprzężeń.

(8)

L IT E R A T U R A

1. B randenburg G.: E influss und K om pensation von Lose und C oulom bscher R eibung bei einem drehzahl- u nd lagegeregelten, elastischen Z w eim assensystem . A utom atisierung- technik, v ol.37, N o .l, p.23-31, N o.3, 1989, pp. 111-119.

2. G ierlotka K.: U kłady sterow ania napędów elektrycznych z elem entam i sprężystym i.

ZN Pol. Śląskiej, ser. E lektryka, z. 129, G liw ice 1992.

3. G ierlotka K ., Z aleśny P.: D odatkow e sprzężenia zw rotne w układach napędow ych z połą

czeniem sprężystym . ZN Pol. Śląskiej, ser. E lektryka, z. 147, G liw ice 1996, s. 31-44.

4. O hm ae T., M atsuda T, K anno M ., Saito K., Sukegaw a T.: A m icroprocessor-based m otor speed regulator using fast-response state observer for reduction o f torsional vibration.

IE E E T ransaction on Industry A pplication, vol. IA -23, N o. 5, 1987, p. 863-871.

5. Z aleśny P.: U kłady napędow e z połączeniam i sprężystym i o ulepszonych w łaściw ościach dynam icznych. R ozpraw a doktorska, Pol. Śląska, G liw ice 1998.

6. Z aleśny P.: Z akres popraw ności stosow ania uproszczonego m odelu n ap ęd u z połączeniem sprężystym przy doborze param etrów układu regulacji. ZN Pol. Śląskiej, ser. Elektryka, z. 169, G liw ice 1999, s.

R ecenzent: D r hab.inż. M aciej T ondos, prof. AGH

W płynęło do R edakcji 31 m aja 1999 r.

A bstract

T he control system o f the drive w ith elastic jo in t w ith tw o additional feedback loops pre

sented in Fig. 1 is d escribed in th e paper. T his system m akes it possible to obtain the shorter setting tim e th an w ell know n [1, 2, 4] control system s o f the drive w ith elastic jo in t w ith sin

gle additional feedback loop.

The m ethod o f determ ination o f the control system param eters w ith tw o additional feed

back loops is described in the p aper [3], The tim e constant x^ o f the inner closed-loop o f the m otor torque control is neglected in the considerations presented there. R esults o f application o f the relations proposed in [3] for the drives in w hich tim e constant xM is not negligible in com parison w ith the vibration period o f a m echanical system can be not satisfactory as show n in Fig. 2.

The m ethod o f determ ination o f the control system param eters taking into account the tim e constant is described in this paper. The param eters o f the control system w ith Pl-type speed controller are expressed by Eqs. (15) - (18), and for P -type speed controller by Eqs. (19) and (20). T hese equations m ake it possible determ ination o f the control system pa

ram eters also for the drive w ith single additional feedback loop.

The action rate o f the control system w ith tw o additional feedback loops is higher than th at o f th e control system w ith single additional control loop as show n in Fig. 3. Fig. 5 show s, that application o f the m ethod proposed in this paper, m akes it possible to obtain th e strong vibrations dam ping also in the case for w hich application o f the m ethod presented in [3] causes vibrations o f the drive.