Biomechanika w sporcie i ćwiczeniach ruchowych

(1)

(2)

Biomechanika w sporcie i ćwiczeniach ruchowych

Wydanie trzecie Peter M. McGinnis

State University of New York, College at Cortland

(3)

vi

Spis treści

Przedmowa ix Podziękowania xi

Materiały dla studentów i instruktorów xii

Wprowadzenie Po co studiować biomechanikę? 1

Czym jest biomechanika? 3 • Jakie są cele biomechaniki w sporcie i ćwiczeniach ruchowych? 3 • Dzieje biomechaniki w sporcie 11 • Zarys mechaniki 12

• Podstawowe wielkości i jednostki miar stosowane w mechanice 13 • Podsumowanie 16 • Pytania i zadania

część I Biomechanika wokół człowieka 19

Siły zewnętrzne i ich oddziaływanie na ciało oraz jego ruchy

Rozdzial 1 Siły 21

Zachowywanie równowagi lub zmiana stanu ruchu prostoliniowego

Czym są siły? 22 • Klasyfikacja sił 23 • Tarcie 25 • Dodawanie sił: „anatomia”

siły 28 • Rozkład sił 36 • Równowaga statyczna 42 • Podsumowanie 48 • Pytania i zadania

Rozdzial 2 Ruch postępowy. Kinematyka 55

Opis postępowego ruchu ciał

Ruch 56 • Kinematyka w ruchu postępowym 58 • Przyspieszenie jednostajne i rzut ukośny 73 • Podsumowanie 85 • Pytania i zadania

Rozdzial 3 Ruch postępowy. Kinetyka 91

Wyjaśnienie przyczyn postępowego ruchu ciał

Pierwsza zasada dynamiki Newtona: prawo bezwładności 92 • Zasada zachowania pędu 95 • Druga zasada dynamiki Newtona: prawo przyspieszenia 103 • Pęd i popęd (impuls siły) 108 • Trzecia zasada

dynamiki Newtona: prawo akcji i reakcji 113 • Prawo Newtona powszechnego ciążenia 114 • Podsumowanie 115 • Pytania i zadania

Rozdzial 4 Praca, moc i energia 119

Wyjaśnienie przyczyn ruchu bez praw Newtona

Praca 120 • Energia 124 • Zależność praca-energia 126

• Moc 132 • Podsumowanie 134 • Pytania i zadania

(4)

vii

Rozdzial 5 Momenty obrotowe i momenty sił 137

Zachowanie równowagi lub zmiana stanu ruchu obrotowego

Co to jest moment obrotowy? 138 • Równowaga sił i momentów 146

• Co to jest środek ciężkości? 150 • Podsumowanie 165 • Pytania i zadania

Rozdzial 6 Ruch obrotowy. Kinematyka 171

Opis ciał w ruchu obrotowym

Położenie i przemieszczenie kątowe 172 • Przemieszczenie liniowe i kątowe 175 • Prędkość kątowa 177 • Prędkość kątowa i liniowa 177 • Przyspieszenie kątowe 180 • Przyspieszenie kątowe i liniowe 180 • Anatomiczny system opisu ruchu kończyn 182 • Podsumowanie 193 • Pytania i zadania

Rozdzial 7 Ruch obrotowy. Kinetyka 199

Wyjaśnienie przyczyn ruchu obrotowego

Bezwładność w ruchu obrotowym 200 • Momenty bezwładności względem różnych osi 203 • Moment pędu (kręt) 207 • Pierwsza zasada dynamiki Newtona w odniesieniu do ruchu obrotowego 209 • Druga zasada dynamiki Newtona w odniesieniu do ruchu obrotowego 212 • Trzecia zasada dynamiki Newtona w odniesieniu do ruchu obrotowego 214 • Podsumowanie 215 • Pytania i zadania

Rozdzial 8 Mechanika płynów 221

Siły w wodzie i powietrzu

Siła wyporu statycznego: siła wskutek zanurzenia 222 • Podsumowanie 238 • Pytania i zadania

część II Biomechanika wewnątrz człowieka 241

Siły wewnętrzne i ich oddziaływanie na ciało oraz jego ruchy

Rozdzial 9 Mechanika tkanek 243

Naprężenia i odkształcenia tkanek ciała

Naprężenie 244 • Odkształcenie 253 • Właściwości mechaniczne materiałów:

zależność naprężenie-odkształcenie 257 • Właściwości mechaniczne układu mięśniowo-szkieletowego 261 • Podsumowanie 266 • Pytania i zadania

Rozdzial 10 Układ kostny 269

Sztywne rusztowanie ciała

Kości 271 • Stawy 273 • Podsumowanie 280 • Pytania i zadania

Rozdzial 11 Układ mięśniowy 283

Siłowniki ciała

Budowa mięśnia szkieletowego 284 • Siła skurczu mięśnia 292

• Podsumowanie 304 • Pytania i zadania

(5)

viii

Biomechanika w sporcie

Rozdzial 12 Układ nerwowy 307

Sterowanie układem ruchu

Układ nerwowy i neuron 308 • Jednostka ruchowa 310 • Receptory i odruchy 312 • Podsumowanie 316 • Pytania i zadania

część III Stosowanie zasad biomechaniki 319

Rozdzial 13 Jakościowa analiza biomechaniczna

w doskonaleniu techniki 321

Rodzaje analiz biomechanicznych 322 • Etapy biomechanicznej analizy jakościowej 323 • Podsumowanie 348 • Pytania i zadania

Rozdzial 14 Jakościowa analiza biomechaniczna

w doskonaleniu treningu sportowego 351

Biomechanika i trening 352 • Metoda analizy udziału mięśni 353

• Analiza wybranych ruchów 357 • Podsumowanie 371 • Pytania i zadania

Rozdzial 15 Jakościowa analiza biomechaniczna obrażeń 377

Steven T. McCaw, PhD, FACSM

Naprężenie mechaniczne i obrażenie 378 • Odpowiedź tkanek

na naprężenia 381 • Mechanizm urazów wskutek przeciążenia 383 • Osobnicze różnice właściwości tkanek 384 • Wewnątrzpochodne i zewnątrzpochodne czynniki urazów 385 • Obrażenia przeciążeniowe w trakcie

biegu 388 • Podsumowanie 397 • Pytania i zadania

Rozdzial 16 Technika w biomechanice 401

Ilościowa analiza biomechaniczna 402 • Zagadnienie pomiaru 402 • Narzędzia do pomiarów zmiennych biomechanicznych 404 • Podsumowanie 411 • Pytania i zadania

Dodatek A 413

Jednostki miar i ich przeliczanie

Dodatek B 417

Odpowiedzi na wybrane pytania sprawdzające i rozwiązania wybranych zadań

Słowniczek 433

piśmiennictwo i zalecane lektury zasoby internetowe

skorowidz o autorze

(6)

ix

Przedmowa

Niniejszy podręcznik

został napisany po to, aby wprowadzić studentów w dziedzinę biomechaniki sportu i ćwiczeń ruchowych. Pierwotnie był przeznaczony dla osób studiujących kinezjologię, zagadnienia aktywności ruchowej i wychowanie fizycz- ne na poziomie licencjackim, ale może być przydatny również dla studentów innych kierunków powiąza- nych z ruchem człowieka. Większość przykładów i za- stosowań opisanych w książce pochodzi z dziedziny sportu i wychowania fizycznego, ale znalazły się w niej również przykłady z obszaru zastosowań klinicznych czy z życia codziennego. Bez względu zatem na to, jaki obszar zachowań ruchowych jest przedmiotem zain- teresowania czytelnika, znajomość mechaniki będzie mu przydatna w jego pracy. Na studiach licencjackich podczas podstawowych wykładów z kinezjologii czy biomechaniki wielu wykładowców przedstawia jedynie opisy formalne mechaniki ruchów człowieka. Ni- niejsza książka powstała w celu przezwyciężenia tej bariery. Podręcznik, wraz z materiałami pomocniczy- mi, ma przedstawić wprowadzenie do zagadnień biomechaniki ruchów człowieka w sposób prosty, zwięzły i przyjazny czytelnikowi.

Wydanie trzecie zawiera liczne poprawki w porów- naniu z wydaniami poprzednimi. Uaktualniono zdjęcia i niektóre ryciny. Dodano nowy materiał, w tym nowe przykłady z dziedziny sportu, nowe zadania przykła- dowe, a także omówienie nowych technik używanych przez badaczy w ilościowych analizach biomechanicznych. Do wielu rozdziałów dodano pytania przeglądo- we i zadania, a niektóre z nich uzupełniono nowymi wykresami, aby ułatwić studentom wizualizację scena- riuszy działania mechaniki w świecie rzeczywistym.

W niniejszym wydaniu nowością jest również za- łączenie do książki oprogramowania do analizy ruchu z wykorzystaniem technik wideo. Kupując nową książkę, student otrzymuje licencję na pobranie edu- kacyjnej wersji programu do analizy ruchów Ma- xTRAQ oraz licznych filmików wraz ze stosownymi instrukcjami. Rozdziały 2, 3, 4 i 6 zawierają ćwiczenia wymagające zastosowania programu MaxTRAQ do pomiaru zmiennych kinematycznych w różnych filmikach, które zostały dołączone do programu. Opro- gramowanie może również zostać użyte do analizy

ruchów człowieka na filmikach wykonanych przez użytkownika, a rozdział 16 zawiera ćwiczenia, w trakcie których student może wykonać i przeanalizować swój własny filmik.

Ogólny układ książki nie uległ jednak zmianie.

Rozdział wstępny stanowi wprowadzenie do biomechaniki, obejmujące uzasadnienie studiowania tego przedmiotu. Przedstawia również przegląd i struktu- rę mechaniki jako dziedziny nauki oraz podstawowe wiadomości o systemach pomiarowych. Pozostała część książki została podzielona na trzy części.

Pierwsza z nich opisuje biomechanikę wokół czło- wieka, niejako zewnętrzną względem niego. Znajdują się w niej opisy sił zewnętrznych oraz ich oddziaływa- nia na ciało człowieka i jego ruchy. Podstawą tej części książki jest mechanika ciała sztywnego i jej zastosowania do analizy ruchów człowieka. Dla adeptów stu- diów licencjackich, którzy zajmują się ruchami czło- wieka, mechanika stanowi jedno z najtrudniejszych do zrozumienia zagadnień. Dlatego poświęcono jej najważniejszą i najobszerniejszą część książki. Kolej- ność przedstawiania poszczególnych tematów różni się od układów, według których zbudowane są inne podręczniki biomechaniki. W rozdziale pierwszym została opisana koncepcja siły i równowagi statycznej. Siła jest tu przykładową wielkością wektorową, więc daje okazję przedstawienia zagadnień dodawania i rozkładania wektorów. Wyjaśniono również zagadnienia trygonometryczne w dodawaniu i rozkładaniu wektorów. W rozdziale drugim omówiono ruch prostoliniowy i jego opis. Rozdział ten zawiera równania odwzorowujące ruch ciała poddanego stałemu przy- spieszeniu i ich zastosowania do opisu ruchu pocisku.

W rozdziale trzecim czytelnik znajdzie wyjaśnienie przyczyn ruchu prostoliniowego: trzy zasady dynamiki Newtona oraz zasadę zachowania pędu. Rozdział czwarty zawiera omówienie zagadnień pracy i energii oraz pracy mechanicznej wykonywanej przez mięśnie.

Momenty sił oraz środek ciężkości zostały omówione w rozdziale piątym. W rozdziale szóstym czytelnik zo- staje zaznajomiony z kinematycznym opisem ruchu obrotowego, a w rozdziale siódmym – z kinetycznym opisem przyczyn owego ruchu, wraz z trzema zasada- mi dynamiki Newtona w odniesieniu do ruchu obro-

(7)

x

towego. Część pierwszą kończy rozdział ósmy, poświę- cony mechanice płynów.

Część druga dotyczy biomechaniki wewnątrz czło- wieka, czyli sił działających wewnątrz ustroju i ich wpływu na ciało oraz jego ruchy. Część tę rozpoczyna rozdział dziewiąty, zawierający omówienie mechaniki tkanek, w którym zostają wprowadzone pojęcia na- prężenia i odkształcenia wraz z różnymi koncepcja- mi z dziedziny wytrzymałości materiałów. Przegląd właściwości – z perspektywy biomechaniki – układu kostnego, mięśniowego oraz sterowania nerwowego zostały przedstawione w rozdziałach dziesiątym, jede- nastym i dwunastym.

Głównym tematem części trzeciej są zastosowania biomechaniki. Zdroworozsądkowe metody tych zastosowań do analiz w sporcie i opisie umiejętności ruchowych człowieka zostały przedstawione w trzech pierwszych rozdziałach tej części. Pierwszy z nich, trzynasty, omawia procedury przeprowadzania analiz biomechanicznych w celu doskonalenia techniki.

Rozdział czternasty został poświęcony metodom ja- kościowych analiz biomechanicznych doskonalących trening. W rozdziale piętnastym szczególnie uwypu- klony został aspekt zastosowania biomechaniki w celu zrozumienia przyczyn urazów. Autorem tego rozdzia- łu jest Steven McCaw. Kończący książkę rozdział szes- nasty przedstawia przegląd techniki umożliwiającej dokonywanie analiz ilościowych w biomechanice.

W całej książce, a zwłaszcza w jej części pierwszej, szczególny nacisk położono na to, by student sam od- krywał zasady biomechaniki. Opisano codzienne ope- racje, a następnie zbudowano ich wyjaśnienia. Ukazu- ją one koncepcje mechaniczne stanowiące podstawę tych czynności. Taki proces odkrywania wymaga ak- tywnego uczestnictwa czytelnika, które skutkuje lep- szym zrozumieniem istoty analizowanych zagadnień.

W porównaniu z innymi podręcznikami niepo- wtarzalną cechę niniejszej książki stanowi kolejność przedstawiania poszczególnych tematów. W większo- ści podręczników dla licencjackich kursów biomechaniki przed zagadnieniami mechaniki przedstawiana jest anatomia funkcjonalna. W niniejszej książce najpierw omawiana jest mechanika. Kości i więzadła są elementami strukturalnymi podtrzymującymi ciało człowieka. Mięśnie są zaś siłownikami poruszającymi tę konstrukcję. Zrozumienie, jak siły wywierane przez kości i więzadła podtrzymują ciało oraz jak siły i momenty sił wytwarzane przez mięśnie działają w celu poruszania kończyn, wymaga znajomości sił i ich od- działywania, będących przedmiotem mechaniki. Dla- tego jej zrozumienie powinno poprzedzać opisy ukła- du kostno-mięśniowego.

W niniejszej książce nowością jest też kolejność przedstawienia zagadnień z obszaru mechaniki.

W większości podręczników poświęconych biomechanice dział mechaniczny rozpoczyna się opisami kinematyki ruchu prostoliniowego, kinematyki ruchu obrotowego i wreszcie kinetyką ruchu obrotowego.

W niniejszej książce rozdział o kinematyce ruchu prostoliniowego został poprzedzony opisem sił. Ponieważ właśnie siły powodują zmiany stanu ruchu, a ich rów- nowaga ma miejsce w sytuacji braku ruchu, celowe jest zdefiniowanie i wyjaśnienie pojęcia siły, zanim przy- stąpi się do opisów ruchu. Szczególnie poglądowym zagadnieniem jest tu ruch pocisku i opisujące go rów- nania kinematyki w ruchu prostoliniowym. Ponieważ na ruch taki silnie oddziałuje przyciąganie ziemskie (ciążenie), zrozumienie tej siły powinno poprzedzać opisy jej działania. Analogicznie najpierw przedsta- wiono opisy momentów sił, później zaś – kinematykę ruchu obrotowego.

Ponieważ do opisu zależności mechanika wyko- rzystuje równania, niezbędna jest pewna znajomość matematyki, głównie algebry. Próbowałem napisać tę książkę w taki sposób, aby również student niedyspo- nujący obszerną wiedzą matematyczną zdołał skutecz- nie nauczyć się biomechaniki. Niemniej opanowanie materiału będzie łatwiejsze dla kogoś, kto ma lepsze przygotowanie matematyczne.

W dodatku A zestawiono podstawowe jednostki stosowane do opisu wielkości mechanicznych w ukła- dzie SI (International System of Units), a także prze- drostki ich nazw i tablice przeliczeń na jednostki po- wszechnie stosowane w Stanach Zjednoczonych.

Książka zawiera wskazówki mające na celu pomóc czytelnikowi w przyswojeniu materiału. Każdy roz- dział rozpoczyna lista celów i otwierający go scena- riusz prowadzący do pytań, na które czytelnik może odpowiedzieć po przeczytaniu i zrozumieniu mate- riału przedstawionego w tym rozdziale. W tekście każdego rozdziału znajdują się praktyczne przykła- dy ilustrujące omawiane koncepcje. Zostały w nich przedstawione pewne wybrane problemy i procedury ich rozwiązania, krok po kroku. Zadania i pytania sprawdzające znajdują się na końcu każdego rozdziału i mają na celu sprawdzenie, czy czytelnik zrozumiał materiał danego rozdziału. W niniejszym wydaniu znalazło się więcej zagadnień i pytań sprawdzających.

Rozwiązania zadań i odpowiedzi na większość pytań sprawdzających można znaleźć w dodatku B. W całym tekście próbowałem wyjaśnić i zilustrować poszcze- gólne koncepcje tak jasno i przystępnie, jak to jest tylko możliwe. Jednakże czyniłem to w taki sposób, aby czytelnik czynnie uczestniczył w procesie ich odkrywania. Co więcej, w pewnych miejscach natrafi on na wyraźne wyzwania. Niekiedy w trakcie lektury tej książki czytelnik może się nawet poczuć zdezoriento- wany i rozkojarzony. Nie należy się jednak poddawać!

Wysiłek z pewnością się opłaci.

(8)

wprowadzenie

Po co studiować biomechanikę?

Cele

Po przeczytaniu tego wprowadzenia powinieneś umieć:

• Zdefiniować pojęcie „biomechanika”.

• Określić znaczenie biomechaniki w sporcie i ćwiczeniach ruchowych.

• Rozpoznać cele biomechaniki w sporcie i ćwiczeniach ruchowych.

• Opisać metody stosowane do osiągania celów biomechaniki w sporcie

i ćwiczeniach ruchowych.

• Przedstawić zarys dziejów oraz rozwoju biomechaniki w sporcie i ćwiczeniach ruchowych.

• Zdefiniować pojęcie „mechanika”.

• Zdefiniować pojęcie „długość” i określić jednostki długości.

• Zdefiniować pojęcie „czas” i określić jednostki czasu.

• Zdefiniować pojęcie „masa” i określić jednostki masy.

1

(9)

2 Co skłoniło cię

do studiowania biomechaniki? Co możesz uzyskać, zdobywając wiedzę z tej dziedziny? Jak bardzo praktyczna wiedza z zakresu biomechaniki będzie ci przydatna w przyszłych przed- sięwzięciach? Czy warto będzie poświęcić czas na uczenie się biomechaniki? Powinieneś przemyśleć te pytania, zanim zainwestujesz mnóstwo czasu w uczenie się tej dyscypliny.

Zapewne, jak większość czytelników tej książki, je- steś studentem studiów licencjackich na kierunku kinezjologii, wychowania fizycznego, rekreacji ruchowej lub innym związanym z badaniem operacji ruchowych człowieka. Jeśli tak, to twoja odpowiedź na pytanie „Po co studiować biomechanikę?” brzmi: „Biomechanika znajduje się w programie studiów, a to jest podręcz- nik, którego treść należy opanować”. Uczysz się więc tego przedmiotu, aby zdobyć odpowiednie punkty, niezbędne do uzyskania promocji. Jeśli taka jest twoja odpowiedź – a w większości przypadków tak właśnie może być – nie będziesz mógł zapewne odpowiedzieć na pytania przedstawione na początku tego rozdziału.

Nie dysponujesz bowiem jeszcze dostateczną wiedzą o biomechanice, by wiedzieć, jak można ją wykorzy- stać. Pozwól mi zatem przedstawić kilka powodów, dla których warto studiować biomechanikę. Może to pomóc ci w zbudowaniu wewnętrznej motywacji do wkroczenia na długą i wyboistą drogę wiodącą ku zrozumieniu tej dyscypliny.

Zapewne chciałbyś zostać nauczycielem wychowania fizycznego, instruktorem lub specjalistą w jakiejś innej dziedzinie związanej z aktywnością ruchową.

Uprawiasz też pewnie – lub uprawiałeś – jakąś dyscy- plinę sportu lub aktywność typu fitness. Załóżmy, że student lub sportowiec zadaje ci pytanie: „Dlaczego

mam tę czynność wykonywać w ten właśnie sposób?”

lub „Dlaczego taka technika nie jest lepsza?” (ryc. I.1).

Być może nawet sam sobie zadałeś takie pytanie. Czy instruktor lub nauczyciel umiał odpowiedzieć na to pytanie? Czy zadawano takie pytanie tobie? Czy zdo- łałeś na nie odpowiedzieć? Tradycyjna teoria treningu mówi, jakich technik należy nauczać. Natomiast biomechanika wyjaśnia, dlaczego najlepiej nauczać jakiejś określonej techniki. Dobra znajomość biomechaniki umożliwi ci ocenę techniki stosowanej w nie- znanej ci dyscyplinie sportu, a także lepszą ocenę no- wej techniki w dyscyplinie, którą znasz.

Obserwując w telewizji igrzyska olimpijskie, widzisz skoczka wzwyż przeskakujące- go nad poprzeczką umieszczoną niemal pół metra powyżej jego głowy. Technika, której używa, wydaje się bardzo dziwaczna. Podbiega do poprzeczki z boku, a kie- dy odrywa się od ziemi, obraca się plecami do poprzeczki. Jego głowa i ramiona pierwsze przelatują nad poprzeczką. Następnie wygina plecy w łuk i wreszcie wy- prostowuje swe nogi ku górze, aby znalazły się ponad poprzeczką. Ląduje na zesko- ku w nienaturalnej pozycji: na plecach i ramionach, z nogami uniesionymi w górę.

Myślisz sobie: „Jak on zdołał skoczyć tak wysoko, stosując tak dziwaczną technikę?”.

Zapewne musi istnieć jakaś inna technika, bardziej skuteczna i zarazem bardziej es- tetyczna. Biomechanika daje pewien wgląd w te zagadnienia i dostarcza odpowie- dzi na to pytanie oraz inne kwestie dotyczące operacji ruchowych człowieka.

Ryc. I.1 Studiowanie biomechaniki może pomóc ci w zrozumieniu, dlaczego pewne techniki w sporcie są skuteczne, a inne nie.

PANIE TRENERZE, JA PO PROSTU LUBIĘ TRZYMAĆ KIJ BEJSBOLOWY W TEN

WŁAŚNIE SPOSÓB!

(10)

55

rodział 2

Ruch postępowy. Kinematyka

Opis postępowego ruchu ciał Cele

Po przeczytaniu tego rozdziału powinieneś umieć:

• Rozróżnić ruch postępowy, obrotowy i złożony.

• Określić przebytą odległość oraz przemieszczenie, a także odróżnić jedno od drugiego.

• Określić średnią szybkość i prędkość oraz dokonać rozróżnienia między nimi.

• Określić chwilową szybkość i chwilową prędkość.

• Określić średnie przyspieszenie.

• Określić chwilowe przyspieszenie.

• Nazwać jednostki miar przebytej odległości i przemieszczenia, szybkości i prędkości oraz przyspieszenia.

• Zastosować równania rzuconego ciała pocisku do określenia jego położenia pionowego lub poziomego pocisku przy znanej prędkości początkowej i czasie.

55

(11)

56 Najlepsze sprinterki na świecie zajmują miejsca na linii startu w finale biegu na 100 m na igrzyskach olimpijskich. Zwyciężczyni zdobędzie tytuł najszybszej kobie- ty na świecie. Rozlega się strzał startera i Shelly-Ann wychodzi na prowadzenie. Po 50 metrach ma 1 metr przewagi nad innymi biegaczkami. Jednakże w trakcie ostat- nich 40 metrów wyścigu Carmelita powoli odrabia stratę. Shelly-Ann finiszuje z prze- wagą mniejszą niż 1 metr nad Carmelitą. Zdobywa tytuł najszybszej kobiety świa- ta, ale czy jej największa prędkość była wyższa niż największa prędkość Carmelity?

Która z pań rozwinęła wyższe przyspieszenie? Czy obie zawodniczki przyspieszały w trakcie całego biegu? Czy któraś z nich zmniejszała prędkość (biegła z przyspie- szeniem ujemnym, czyli opóźnieniem)? Jakich parametrów biegu należałoby użyć do oceny ostatnich 40 metrów wyścigu? Pytania te dotyczą pomiarów kinematycz- nych, które będą tematem niniejszego rozdziału.

Niniejszy rozdział

jest poświęcony dzia- łowi mechaniki zwanemu kinematyką. Dynamika jest działem mechaniki ciała sztywnego, którego przedmiot stanowi mechanika ciał poruszających się. Kine- matyka, główny temat niniejszego rozdziału, to dział dynamiki zajmujący się opisem ruchu. Ponieważ wy- niki wielu operacji sportowych są określane miarami kinematycznymi, ich zrozumienie jest ważne. Część nazewnictwa kinematycznego wprowadzonego w tym rozdziale może w twoich uszach brzmieć znajomo (szybkość, prędkość, przyspieszenie itp.). Może ci się wydawać, że wiesz wszystko o tych terminach, ale my będziemy je stosować w swoisty sposób. Dokładne de- finicje mechaniczne niekoniecznie zgadzają się z ich potocznym znaczeniem, więc dopóki nie uzgodnimy definicji, mogą pojawiać się nieporozumienia. Mając to na uwadze, zaczynajmy.



Kinematyka jest działem dynamiki po- święconym opisowi ruchu.

Ruch

Co to jest ruch? Czy możesz opisać to zjawisko? Może- my zdefiniować ruch jako działanie lub proces zmiany położenia. Ruch jest zmianą położenia. Poruszanie się obejmuje zmianę położenia z jednego miejsca do drugiego. Aby mógł zaistnieć, niezbędne są dwa czynniki:

przestrzeń i czas. Przestrzeń – by się poruszać – i czas, w którym ów ruch się odbywa. Aby ułatwić nasze ba- dania ruchu, podzielimy go na postępowy, obrotowy i obejmujący je oba.

Ruch postępowy

Ruch postępowy określa się również mianem przesu- nięcia (translacji). Polega on na przesunięciu wszyst- kich punktów danego ciała o tę samą odległość, w tym samym kierunku i w tym samym czasie. Może to być ruch albo po linii prostej, albo po linii krzywej.

Przesunięcie prostoliniowe jest ruchem, w którym wszystkie punkty danego ciała poruszają się po liniach prostych. Nie zmienia się zatem ani kierunek ruchu, ani ułożenie ciała, a wszystkie jego punkty przebywają te same odległości.

Przesunięcie krzywoliniowe jest bardzo podobne do prostoliniowego. Następuje wtedy, gdy wszystkie punkty ciała przesuwają się tak, że ukierunkowanie ciała się nie zmienia, a wszystkie jego punkty prze- bywają te same odległości. Różnica między przesu- nięciem prostoliniowym a krzywoliniowym polega na tym, że tory, po których poruszają się wszystkie punkty danego ciała, w ruchu krzywoliniowym są za- krzywione. Kierunek ruchu nieustannie się zmienia, aczkolwiek ułożenie ciała w przestrzeni pozostaje nie- zmienne.

Spróbujmy wyobrazić sobie kilka przykładów ruchu postępowego w sporcie lub innych operacjach ruchowych człowieka, na przykład łyżwiarkę ślizgają- cą się po lodzie w pozycji statycznej. Czy jej ruch jest prostoliniowy czy też krzywoliniowy? A ruch żeglarza na desce, śmigającego po jeziorze przy stałym wietrze?

Czy jest możliwe, aby był on prostoliniowy? Albo ko- larza jadącego po płaskim odcinku ulicy? We wszyst- kich tych przypadkach możliwy jest ruch prostoliniowy sportowca. Czy możesz sobie wyobrazić jakieś przykłady ruchu krzywoliniowego? Czy gimnastyk

(12)

57

Ruch postępowy. Kinematyka

na trampolinie może wykonać taki ruch? W jaki spo- sób? A skoczek do wody? Albo skoczek na nartach?

Lub też deskorolkarz na płaskim odcinku betonu czy też łyżworolkarz? Ruchem krzywoliniowym może się poruszać gimnastyk, skoczek do wody i skoczek na nartach. Gimnastyk, skoczek do wody, deskorolkarz i łyżworolkarz mogą się poruszać ruchem zarówno prosto-, jak i krzywoliniowym. Skoczek na nartach może poruszać się ruchem prostoliniowym na rozbie- gu, a krzywoliniowym – w fazie lotu.

Aby określić, czy ruch jest postępowy, wyobraźmy sobie dwa punkty analizowanego ciała, a następnie odcinek łączący te dwa punkty. Kiedy ciało się porusza, czy odcinek zachowuje ten sam kierunek? Czy- li czy w trakcie ruchu nieodmiennie zwraca się w tę samą stronę? Czy zachowuje tę samą długość w trakcie ruchu? Jeśli zostaną spełnione oba te warunki, jest to ruch postępowy. Jeśli w trakcie ruchu oba punkty na tym hipotetycznym odcinku poruszają się po rów- noległych torach prostoliniowych, ruch jest prostoliniowy. Jeżeli jednak oba końce odcinka poruszają się po torach równoległych, ale nie prostych, ruch jest krzywoliniowy. Spróbujmy sobie wyobrazić więcej przykładów ruchu postępowego w sporcie. Czy mo- żesz je określić jako prostoliniowe lub krzywoliniowe?

Ruch obrotowy

Ruch obrotowy bywa niekiedy określany mianem

„obrót” (rotacja). Następuje w sytuacji, gdy wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach (lub łukach) wokół tej samej, stałej linii, czyli osi. Ruch obrotowy może odbywać się względem osi przebiegającej wewnątrz ciała albo poza ciałem. Dziecko na huśtawce wykonuje ruch obrotowy względem osi leżącej poza jego ciałem, natomiast oś obrotu łyżwiarki wykonują- cej piruet znajduje się wewnątrz jej ciała. Aby określić, czy dany ruch jest czy też nie jest ruchem obrotowym, wyobraźmy sobie dwa punkty analizowanego ciała.

Czy w trakcie ruchu ciała tory każdego z nich tworzą łuki okręgów? Czy oba te łuki mają wspólny środek lub oś? Jeśli wyobrazisz sobie odcinek łączący oba te hipotetyczne punkty, czy w trakcie ruchu ciała zmienia on nieustannie swój kierunek? Czy odcinek ten w każdej chwili jest skierowany w inną stronę? Jeśli warunki zostaną spełnione, ciało porusza się ruchem obrotowym.

Przykładów ruchu obrotowego w sporcie i innych operacjach ruchowych człowieka jest więcej niż ru- chów prostoliniowych. Na przykład obrót na drąż- ku na wyprostowanych rękach (kołowrót olbrzymi).

Czy fragmenty tej operacji są ruchami obrotowymi?

A co z poszczególnymi ruchami kończyn? Niemal wszystkie ruchy naszych kończyn (jeśli analizujemy je

w oderwaniu od reszty ciała) są ruchami obrotowymi.

Opuść swoje ramię wzdłuż boku. Utrzymując ramię pionowo, ugnij i wyprostuj przedramię w stawie łok- ciowym. Jest to właśnie przykład ruchu obrotowego.

Twoje przedramię obracało się wokół określonej osi (twojego stawu łokciowego). W trakcie zginania i pro- stowania twój nadgarstek zataczał krąg wokół stawu łokciowego. Każdy punkt twego przedramienia zata- czał krąg wokół stawu łokciowego. Zastanów się nad ruchami każdej kończyny w sytuacji, gdy analizujemy ruch z udziałem jednego tylko stawu. Czy wszystkie takie ruchy są obrotami, czyli – czy wszystkie punkty kończyny poruszają się po torach kołowych wokół stawu?

Przeanalizujmy ruch wokół kilku stawów. Czy ruch kończyny nadal pozostaje obrotowy? Wyprostuj kolano i biodro w tej samej chwili. Czy przemieszczenie twojej stopy jest ruchem obrotowym? Czy porusza się po okręgu? Czy ruch twojej stopy jest postępowy?

Ruch złożony

Łącząc ruchy obrotowe kończyn, możemy utworzyć ruchy postępowe jednej lub wielu części naszego ciała.

Kiedy prostujesz równocześnie kolano i biodro, mo- żesz spowodować prostoliniowy ruch stopy. Podobnie wyprostowanie łokcia i poziome przywiedzenie ramienia może spowodować prostoliniowy ruch dłoni.

Ruch złożony jest połączeniem ruchu postępowego i obrotowego. By to zilustrować, spróbuj wykonać samodzielnie następujące doświadczenie.

Doświadczenie 2.1

Chwyć ołówek spoczywający płasko na biurku lub stole. Utrzymując ołówek płasko, spróbuj przesunąć go po linii prostej po blacie. Czy potrafisz tego doko- nać? Wykonałeś ruch będący połączeniem ruchów obrotowych twojej dłoni, przedramienia oraz ramienia.

Łączny ruch twoich kończyn można określić jako ruch złożony.

Ruch złożony (postępowo-obrotowy) jest najpow- szechniejszym typem ruchu wykonywanego w sporcie i ćwiczeniach ruchowych. Dobrymi jego przykłada- mi są bieg i chód. W czynnościach tych tułów często porusza się ruchem postępowym, który jest skutkiem obrotowych ruchów nóg i ramion. Jazda na rowerze jest innym przykładem ruchu złożonego. Wyobraź sobie rozmaite ruchy człowieka w sporcie i zastanów się, jak należałoby je podzielić.

Zaliczenie ruchów człowieka do poszczególnych kategorii – postepowych, obrotowych lub złożonych

(13)

58

– ułatwia ich analizę mechaniczną. Jeśli ruch można rozłożyć na składowe liniowe i kątowe, te pierwsze można analizować, stosując prawa mechaniki, które rządzą ruchem prostoliniowym. Podobnie składowe kątowe można analizować, stosując prawa mechaniki rządzące ruchami obrotowymi. Analizę liniową i kąto- wą można następnie połączyć, by zrozumieć złożony ruch ciała.



Zaliczenie ruchów człowieka do poszcze- gólnych kategorii – postepowych, obrotowych lub złożonych – ułatwia ich ana- lizę mechaniczną.

Kinematyka w ruchu postępowym

Przyjrzyjmy się dokładniej ruchowi prostoliniowemu.

Jednym z przedmiotów kinematyki liniowej jest opis ruchu prostoliniowego, czyli zagadnienia szybkości, odległości i kierunku ruchu danego ciała. Spróbuj wykonać samodzielnie doświadczenie 2.2, by określić niektóre cechy ruchu prostoliniowego.

Doświadczenie 2.2

Jak można opisać coś, co się porusza? Potocz piłkę po podłodze. Opisz jej ruch. Jakich słów używasz? Możesz powiedzieć, jak szybko lub jak wolno piłka się porusza, czy przyspiesza lub zwalnia, wreszcie podkreślić, że się toczy, a nie ślizga. Możesz też powiedzieć coś na temat tego, gdzie ruch się rozpoczął i gdzie może się zakończyć. Możesz także opisać jego kierunek: „Piłka toczy się po przekątnej pokoju” czy też „Piłka toczy się w kierunku ściany” lub „w kierunku drzwi”. Po jej zatrzymaniu się możesz określić, jak daleko się po- toczyła lub ile czasu trwał jej ruch. Wszystkie słowa, których użyłeś do opisu ruchu, dotyczyły kinematyki ruchu prostoliniowego.

Położenie

Pierwszą zmienną kinematyczną, która charakteryzuje dane ciało, jest jego położenie. Nasza definicja ruchu – działania lub procesu zmiany miejsca – odnosi się właśnie do położenia. Z perspektywy mechaniki po- łożenie jest to umiejscowienie w przestrzeni. Gdzie w przestrzeni znajduje się ciało na początku lub na końcu jego ruchu albo też w dowolnej jego chwili?

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że położenie nie jest szczególnie istotną zmienną, ale rozważmy jej

wagę w przypadku graczy na boisku lub korcie w spor- tach takich jak futbol amerykański, tenis, racquetball, squash, piłka nożna, hokej na trawie, hokej na lodzie czy rugby. Zastosowane strategie często zależą od tego, gdzie znajdują się gracze każdej z drużyn.

Zacznijmy od prostego przykładu. Przeanalizujmy ruch biegaczki w sprincie na 100 metrów (ryc. 2.1).

W jaki sposób chciałbyś opisać położenie sprinterki w trakcie biegu? Mógłbyś opisać położenie zawodniczki względem linii startu: „Znajduje się w odległo- ści 40 metrów od startu”. Mógłbyś też opisać położenie biegaczki względem linii mety: „Znajduje się w odle- głości 60 metrów od mety”. W obu przypadkach użyłeś miar długości do określenia położenia biegaczki w odniesieniu do stałej, nieruchomej pozycji odniesienia¹. Miejscami odniesienia były linie startu i mety. Z twojego opisu ruchu wynika również pewne wyobrażenie o kierunku. Kiedy mówisz, że biegaczka znajduje się w odległości 40 metrów od startu, oznacza to – nie wprost – że jest to odległość mierzona w kierunku linii mety. Patrząc z perspektywy mechaniki, jeśli za miejsce odniesienia przyjmiemy linię startu, będziemy mogli powiedzieć, że biegaczka znajduje się na pozycji +40 metrów. Gdyby znajdowała się w tej samej odle- głości, ale po drugiej stronie linii startu, to określiliby- śmy jej położenie jako –40 metrów. Użyjemy znaków plus i minus do wskazania, po której stronie linii startu znajduje się sprinterka.

Przykład biegu na 100 metrów przedstawia anali- zę jednowymiarową. Skupiamy się tylko na jednym wymiarze – linii łączącej start z metą. Aby określić położenie sprinterki na trasie biegu, wystarczy podać jedną tylko liczbę. Spróbujmy teraz dokonać analizy dwuwymiarowej. Wyobraźmy sobie, że ogląda- my mecz futbolu amerykańskiego. Biegacz (running back) wybiega poza linię wznowienia akcji (back- field) i biegnie w kierunku linii punktowej (goal line).

Znajduje się na linii 20 jardów na polu drużyny przeciwnej. Aby opisać jego położenie, możesz powie- dzieć, że znajduje się w odległości 20 jardów od linii punktowej. Ale chcąc w pełni opisać jego położenie, powinieneś podać również informację, gdzie zawod- nik znajduje się względem linii bocznych (sidelines).

Określając tę pozycję względem lewej linii bocznej,

1 Czy istnieją jakieś naprawdę ustalone, nieruchome punkty odniesienia? W odniesieniu do powierzchni Ziemi istnieją, ale nasza planeta krąży przecież wokół Słońca w Układzie Słonecznym, który z kolei porusza się w galaktyce. A galak- tyka – we wszechświecie. Trudno jest zatem określić poło- żenie względem jakiegokolwiek absolutnie nieruchomego punktu odniesienia. Jednakże dla naszych celów przyjmijmy, że wszystko, co nie porusza się względem powierzchni Zie- mi, stanowi stały punkt odniesienia.

(14)

59

możesz określić pozycję biegacza jako 20 jardów od linii punktowej i 15 jardów od lewej linii bocznej. Zo- stało to przedstawione na ryc. 2.2a.

W takiej sytuacji celowe może być określenie pozycji z użyciem kartezjańskiego układu współ

rzędnych. Jego nazwa pochodzi od nazwiska René Descartesa (1596–1650), francuskiego filozofa i mate- matyka (zwanego Kartezjuszem – przyp. tłum.), któ- rego uważa się za twórcę geometrii analitycznej. Być może pamiętasz ten układ współrzędnych z lekcji matematyki. Po pierwsze, musimy ustalić punkt odniesienia. Określa się go mianem początku układu, gdyż wszelkie pomiary położenia będą się odnosiły do tego właśnie punktu. Umieśćmy nasz początek układu na przecięciu lewej linii bocznej i linii punktowej biegacza. Moglibyśmy wprawdzie umieścić początek ukła- du w dowolnym punkcie, ale użyjemy przecięcia linii punktowej i linii bocznej, gdyż jest ono wygodne. Wy- obraźmy sobie, że oś x leży na linii punktowej z zerem w początku układu i dodatnimi wartościami rosnący- mi w prawo, a oś y pokrywa się z lewą linią boczną, ma zero w początku układu i dodatnie wartości ro- snące w kierunku linii punktowej drużyny przeciwnej.

Przy użyciu tego systemu możemy określić położenie

biegacza, podając dwie liczby, odpowiadające współ- rzędnej x i współrzędnej y, wyrażonych w jardach: 15, 80. Sytuacja taka została przedstawiona na ryc. 2.2b.

Współrzędna x równa 15 oznacza, że biegacz znajduje się w odległości 15 jardów od lewej linii bocznej boiska, a współrzędna y równa 80 oznacza, że znajduje się on w odległości 80 jardów od jego własnej linii punktowej lub 20 jardów od linii punktowej przeciw- ników; wiemy bowiem, że obie linie punktowe są od siebie oddalone o 100 jardów.

W analizie trójwymiarowej potrzebujemy trzech liczb do opisu położenia ciała w przestrzeni. Na przy- kład jak opisałbyś położenie piłeczki w trakcie gry w racquetball? Możemy ustalić trójwymiarowy układ kartezjański z jedną osią pionową i dwiema osiami w płaszczyźnie poziomej. Jeśli umieścimy punkt odniesienia, czyli początek układu, w lewym dolnym rogu kortu (gdzie przecina się przednia ściana, lewa ściana i podłoga), wówczas oś x będzie linią pokry- wającą się z krawędzią przecięcia ściany czołowej i podłogi, oś y – z krawędzią przecięcia ścian czoło- wej i lewej, a oś z – z krawędzią przecięcia ściany lewej i podłogi (ryc. 2.3). Jeśli piłeczka znajduje się w odle- głości 3 metrów w prawo od lewej ściany, 2 metrów Ryc. 2.1 Jak opisałbyś położenie biegaczki w sprincie na 100 metrów?

(15)

60

Ryc. 2.2 Położenie biegacza na boisku futbolu amerykańskiego z wykorzystaniem linii bocznej i linii punktowej drużyny przeciwnej jako miejsc odniesienia (a) lub z zastosowaniem kartezjańskiego układu współrzędnych (b).

10 20 30 40 50 40 30 20 10

linia punktowa linia punktowa

15 jardów

20 jardów

10 20 30 40 50 40 30 20 10

linia punktowa linia punktowa 15 jardów

(15,80)80 jardów x

y

a

b

(16)

61

ponad podłogą i 4 metrów od ściany przedniej, wów- czas jej współrzędne x, y i z, wyrażone w metrach, będą następujące: 3, 2, 4.



Do określenia pozycji ciała w przestrzeni trójwymiarowej potrzebujemy trzech liczb.

Aby określić położenie czegokolwiek w przestrzeni, musimy ustalić punkt odniesienia będący początkiem naszego układu współrzędnych. Dla naszych celów może to być dowolny punkt ustalony względem ziemi.

Następnie budujemy kartezjański układ współrzęd- nych. Jeśli opiszemy położenie ciała w jednym tylko wymiarze, potrzebna jest tylko jedna oś, dla dwóch wymiarów niezbędne są dwie osie, dla trzech – trzy.

Osie mogą być zwrócone w dowolnym kierunku, wy- godnym w danej analizie. Muszą być jedynie prosto- padłe do siebie, jeśli określamy położenie w dwóch lub trzech wymiarach. Zazwyczaj jedna oś jest ukie- runkowana pionowo (oś y), a druga oś (oś x) lub osie (osie x i z) leżą w płaszczyźnie poziomej. Każda z osi ma zwrot dodatni i ujemny. Współrzędna x ciała jest jego odległością od płaszczyzny utworzonej przez osie

y i z, współrzędna y – odległością od płaszczyzny wy- znaczonej przez osie x i z, wreszcie współrzędna z – odległością od płaszczyzny, w której leżą osie x i y. Do opisu położenia używa się miar odległości.

Przebyta odległość i przemieszczenie

Dysponujemy już metodą opisywania i określania po- łożenia w przestrzeni. Jest to nasze pierwsze zadanie w opisie ruchu. Jeśli pamiętamy, jak opisaliśmy ruch – jako działanie lub proces zmiany położenia – to na- szym następnym zadaniem będzie odkrycie sposobu opisu lub pomiaru zmiany położenia. Jak to się robi?

Droga

Przyjrzyjmy się ponownie przykładowi z futbolu amerykańskiego. Załóżmy, że zawodnik otrzymał piłkę wykopem przy swojej linii 5 jardów, 15 jardów od lewej linii bocznej. W chwili odebrania piłki jego położenie na boisku (w układzie kartezjańskim, któ- ry zbudowaliśmy w poprzednim podrozdziale) okre- ślają współrzędne (15, 5). Gdybyśmy zmierzyli dłu- gość toru jego biegu z piłką, okazałoby się, że wynosi Ryc. 2.3 Położenie piłeczki na korcie racquetball określona w kartezjańskim układzie współrzędnych.

4 2

3 X

Y

Z

3 m

4 m (3,2,4)

(17)

62

ona 48 jardów. Możemy więc stwierdzić, że przebiegł 48 jardów po to, aby zyskać 30 jardów.

Innym sposobem opisania tej operacji ruchowej jest stwierdzenie, że jego przemieszczenie wyniosło +30 jardów w kierunku y oraz –10 jardów w kierunku x albo że sumaryczne przemieszczenie wyniosło 31,6 jardów w kierunku lewej linii bocznej i linii punktowej. Droga, którą przebiegł zawodnik, wyniosła 48 jardów. Użyliśmy tu dwóch różnych określeń, by opisać zmianę położenia zawodnika: droga i prze

mieszczenie. Pojęcie „droga” możemy łatwo zdefi- niować. Jest to po prostu długość toru przebytego przez ciało, którego ruch analizujemy, od punktu po- czątkowego do końcowego. Jednakże przebyta droga nie opisuje w pełni tego, co dzieje się z piłką w me- czu futbolu, gdyż nie uwzględnia kierunku, w którym zmieniła ona swoją pozycję. Uwzględnia go natomiast zmienna, którą określamy mianem „przemieszczenie”.

Przemieszczenie

Przemieszczenie jest odległością w linii prostej w okre- ślonym kierunku między położeniem początkowym a końcowym. Przemieszczenie wypadkowe to od- ległość mierzona po linii prostej między położeniem początkowym a końcowym. Jest to wielkość wekto- rowa. Przypomnijmy sobie, że w rozdziale 1 mianem takim określiliśmy także siłę. Wektor ma moduł (czyli długość odpowiadającą wartości odwzorowywanej wielkości – przyp. tłum.) oraz kierunek (a także zwrot – przyp. tłum.). Może zostać przedstawiony graficznie jako strzałka, której moduł odwzorowuje wartość wiel- kości wektorowej, a kierunek i grot odpowiadają kie- runkowi i zwrotowi wektora. Odwzorowanie wektora za pomocą strzałki jest trafne i ujmuje wszystkie para- metry przemieszczenia. Ryc. 2.4b przedstawia drogę gracza, który odebrał piłkę. Strzałka łącząca jego po- czątkowe położenie z tym, w którym został powalony na ziemię, odwzorowuje przemieszczenie zawodnika.



Przemieszczenie jest odległością w linii prostej w określonym kierunku od poło- żenia początkowego do końcowego.

Przypomnijmy sobie z treści rozdziału 1, że wektory można rozłożyć na składowe. W przykładzie z futbolu amerykańskiego z wypadkowego przemieszczenia biegacza nie wynika bezpośrednio, ile jardów zdołał on zyskać. Ale jeżeli rozłożymy to przemieszczenie na składowe, w kierunku x (w poprzek boiska) i w kierunku y (wzdłuż boiska, w kierunku linii punktowej), to otrzymujemy miarę skuteczności biegu. W tym przypadku istotną miarą jest przemieszczenie biegacza w kierunku y. Jego początkowe położenie znajdo-

wało się na linii 5 jardów, a końcowe – na linii 35 jar- dów. Możemy obliczyć przemieszczenie w kierunku y, odejmując współrzędną początkową od współrzędnej końcowej:

dy=Δy= yk – yp

(2.1)

gdzie:

dy – przemieszczenie w kierunku y,

Δ – przyrost, a zatem Δy – przyrost współrzędnej y, yk – końcowa wartość współrzędnej y,

yp – początkowa wartość współrzędnej y.

Jeżeli wstawimy wartości współrzędnych y pozycji początkowej (5 jardów) i końcowej (35 jardów), otrzymamy przemieszczenie biegacza:

dy = Δy = yk – yp = 35 jardów – 5 jardów dy = +30 jardów

Przemieszczenie biegacza wzdłuż boiska wynosiło +30 jardów. Znak plus oznacza, że przemieszczenie zostało dokonane w kierunku dodatnim, czyli w kierunku linii punktowej drużyny przeciwnej; w tym przypadku był to zysk. Wielkość ta jest bodaj najważ- niejszą miarą dla trenerów, graczy i kibiców, ponieważ określa skuteczność biegacza.

Może nas również zaciekawić, jakie jest przemieszczenie gracza w poprzek boiska (w kierunku x). Mo- żemy użyć tych samych równań do obliczenia przemieszczenia w kierunku x:

dx=Δx= xk – xp

(2.2)

gdzie:

dx – przemieszczenie w kierunku x, Δx – przyrost współrzędnej x,

xk – końcowa wartość współrzędnej x, xp – początkowa wartość współrzędnej x.

Jeśli podstawimy wartości x początkową (15 jar- dów) i końcową (5 jardów), otrzymamy przemieszczenie biegacza:

dx = Δx = xk – xp = 5 jardów – 15 jardów dx = –10 jardów

Przemieszczenie biegacza w kierunku x, czyli przemieszczenie w poprzek boiska, wynosi –10 jardów.

Znak ujemy wskazuje na to, że przemieszczenie nastą- piło w kierunku ujemnym, czyli w kierunku lewej linii bocznej.

(18)

63

Ryc. 2.4 Odległość przebyta przez biegacza z piłką, opisana współrzędnymi położenia początkowego i końcowego oraz przebytą drogą (a), przemieszcze- niem wypadkowym (b) oraz przemiesz- czeniem wypadkowym i przemieszcze- niami składowymi (c).

5040302010

linia punktowa 15 jardów

jardów35

(5,35)

5 jardów jardów5

(15,5)

droga przebyta

= 48 jardów y

x

5040302010

linia punktowa droga przebyta y

x przemieszczenie wypadkowe

5040302010

linia punktowa y

x R

∆ x

∆ y a

b

c