Wrocªaw, Walentynki 2013
FAKULTET MATEMATYCZNY - LISTA 7
MARCIN PREISNER (PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL)
Ukªady równa«
Wst¦p. Cz¦sto na zawodach i olimpiadzie spotykamy ukªady równa« bardzo trudne do rozwi¡zania wprost. Nie da si¦ wyznaczy¢ »adnej zmiennej i wstawi¢ do pozostaªych równa« lub przez tak¡ opera- cj¦ wszystko si¦ jeszcze bardziej komplikuje. Zdarza si¦ natomiast, »e mamy do czynienia z ukªadem równa«, w którym wszystkie równania s¡ podobne, tylko zmienne zamieniaj¡ si¦ miejscami. Na przy- kªad w pierwszym równaniu s¡ pierwsze dwie zmienne, w nast¦pnym druga i trzecia, itd. W ostatnim natomiast cykl si¦ zamyka i mamy ostatni¡ i pierwsz¡ zmienn¡. Alternatywnie, mamy wyra»enia sy- metryczne naszych zmiennych w ka»dym równaniu. W poni»szych zadaniach poznamy metody, które pomog¡ nam znale¹¢ rozwi¡zania ukªadów równa« bez rozwi¡zywania ich wprost.
Dodawanie i odejmowanie stronami.
1. Rowi¡» w liczbach rzeczywistych x, y, z ukªad równa«:
x2= y + z + 2 y2= z + x + 2 z2= x + y + 2 2. Rozwi¡za¢ w liczbach nieujemnych ukªad równa«:
y3= x2+ x − 1 z3= y2+ y − 1 x3= z2+ z − 1
3. Rozwi¡» w liczbach rzeczywistych (dodatnich) ukªad równa«:
x3− 9y2+ 27y − 27 = 0 y3− 9z2+ 27z − 27 = 0 z3− 9x2+ 27x − 27 = 0
Wsk: doda¢ stronami i zwin¡¢. Rozwa»y¢, czy która± ze zmiennych mo»e by¢ mniejsza ni» 3 Podstawienia.
1. Rozwi¡» w liczbach rzeczywistych ukªad równa«:
abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 dab + da + ab + bd + d + a + b = 9
2. Wyznacz liczb¦ rozwi¡za« ukªadu w zale»no±ci od warto±ci parametru a ∈ <
x + y2+ z2= a x2+ y + z2= a x2+ y2+ z = a Wsk: Podstawiamy x = u +12, y = v +12, z = w +12.
3. Niech n ≥ 3. Rozwi¡» w liczbach rzeczywistych nieujemnych ukªad równa«:
x1+ x2= x23 x2+ x3= x24
...
xn+ x1= x22
1
Najwi¦ksza/najmniejsza.
1. Liczby dodatnie a, b, c, d s¡ rozwi¡zaniem ukªadu:
a3+ b3+ c3= 3d3 b4+ c4+ d4= 3a4 c5+ d5+ a5= 3b5 Udowodni¢, »e: a = b = c = d.
2. Dla n ≥ 3 rozi¡» w liczbach rzeczywistych ukªad równa«:
x31= x2+ x3+ 1 x32= x3+ x4+ 1
...
x3n= x1+ x2+ 1 Wzory Viete'a.
1. Rozwi¡» ukªad równa«:
x + xy + y = 2 + 3√ 2 x2+ y2= 6 2. Rozwi¡» ukªad równa«:
a + b + c = 2 a2+ b2+ c2= 14 a3+ b3+ c3= 20 Cykliczne.
1. Dany jest ukªad równa« z niewiadomymi x1, x2, ..., xn (n ≥ 2):
ax21+ bx1+ c = x2
ax22+ bx2+ c = x3
...
ax2n+ bxn+ c = x1
gdzie a, b, c ∈ R, a 6= 0. Niech γ = (b − 1)2− 4ac. Udowodni¢, »e:
(a) Je¹eli γ < 0, to ukªad nie ma rozwi¡za« rzeczywistych;
(b) Je¹eli γ = 0, to ukªad ma jedno rozwi¡zanie rzeczywiste;
(c) Je¹eli γ > 0, to ukªad ma wi¦cej ni» jedno rozwi¡zanie rzeczywiste.
2. Rozstrzygn¡¢ dla jakich naturalnych n > 2 ukªad równa«:
x21+ x22+ 50 = 16x1+ 12x2
x22+ x23+ 50 = 16x2+ 12x3
...
x2n+ x21+ 50 = 16xn+ 12x1 ma rozwi¡zania w liczbach caªkowitych x1, x2, ..., xn.
Wsk: Znale¹¢ wszystkie punkty o wspóªrz¦dnych caªkowitych okr¦gu zadanego przez jedno rów- nanie i wywnioskowa¢, »e: 3|n.
3. Wyznaczy¢ liczb¦ rozwi¡za« ukªadu w liczbach rzeczywistych dodatnich (n > 2)
x2+ x21= 4x1
x3+ x22= 4x2
...
x1+ x2n= 4xn
2
