RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 5

Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci

0 )

"

, ' ,

( x y y 

F

( y nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie

) ( ' u x y 

do równania

0 )

' , ,

( x u u 

F

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Przykład

Rozwiązać równanie

'

"

) 1

(  x y  y

Funkcja jest jednym z rozwiązań równania.

Dla y  C stosując podstawienie otrzymujemy ( 1  x ) u '  u

Rozdzielając zmienne x dx u

du

 

1 i całkując obustronnie dostajemy

C x

u ln | 1 | ln

ln    _{, czyli} u  C ( 1  x )

Zatem C Cx

dx

dy  

Stąd

¹

2

2 )

2 (

1 C x x C

y   

) ( ' u x y  R

C C

y  , 

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci

0 )

"

, ' ,

( y y y 

F

( x nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie

) (

' u y

y 

do równania

0 )

, ,

( 

dy u du u

y F

du dy

du dy '

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Przykład

Wyznaczyć całkę ogólną równania

1+(y’)

²

=2yy”

Po podstawieniu y’= u(y) (y”= u’y’= u’u ) ^dostajemy 1+u

²

= 2yuu’

Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych

 

1 '

, 1

0 ,

ln ln

ln ln

ln ) 1

ln(

1 2

1 2 1

1 1

1 2

2





























 

y C y

u

u y

C

C y

C C

y C

y

C y u

y dy u

udu

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Przykład (c. d.)

e

ostateczni i

) (

) 1 4(

, 1

2

2 2

2 ,

zatem

2 1

2 i 1 mamy 2

1

ac Podstawiaj

1

2 1

1 1

1

1 1

1

1 1 1

1 1

1

C x C y

C C

x C y

C

C x C z dx

C dz dx

C dz

C dz y

C dy y

C dy dz C

z y

C y dx

C dy





























 

 





 



1 ,

) 4 (

1

1 2

1

1

x C

C

y  C  

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Definicja

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci

) ( )

( )

(

" p x y q x y f x

y    

Jeśli f ( x )  0 , to równanie nazywamy jednorodnym, Jeśli f ( x )  0 , to równanie nazywamy niejednorodnym

Twierdzenie

Jeżeli p, q, f

są ciągłe na przedziale (

a , b ) oraz x

0(

a , b ), y

0

, y

1

R

,

to zagadnienie Cauchyego

.  

 









 



1 0

0 0

) ( '

) (

) ( )

( )

(

"

y x

y

y x

y

x f y x q y x p y

ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale ( a , b )

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Uwaga

Podobnie jak w przypadku równania pierwszego rzędu, rozwiązywanie równania liniowego

niejednorodnego rzędu drugiego polega

na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu metody uzmiennienia stałych, bądź przewidywań.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego

0 )

( )

(

"  p x y   q x y  y

Uwaga

Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe ( y(x)  0).

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y

₁

(x) ⁱ y

₂

(x) są całkami szczególnymi równania liniowego jednorodnego, to

y(x) ⁼ C

1

y

1

(x) ⁺ C

2

y

2

(x) (

kombinacja liniowa

)

jest też rozwiązaniem tego równania.

Definicja

Funkcje y

₁

(x) ⁱ y

₂

(x) są liniowo niezależne na przedziale ( a , b ) jeżeli

C

1

y

1

(x) ⁺ C

2

y

2

(x)  0  C

₁

= C

1

= 0

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Józef Hoene-Wroński (1776-1853)

Twierdzenie

Funkcje

y

₁

(x)

ⁱ

y

₂

(x) klasy C

¹

(a, b)

są liniowo niezależne, wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)

) , ( ) 0

( )

(

) ( )

) (

(

_'

2 '

1

2

1

dla x a b

x y x

y

x y x

x y

W   

Definicja

Liniowo niezależne rozwiązania równania liniowego jednorodnego nazywamy układem fundamentalnym (podstawowym) rozwiązań tego równania.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Uwaga

Nie istnieje ogólna metoda wyznaczania układu fundamentalnego rozwiązań dla dowolnego równania różniczkowego liniowego

jednorodnego drugiego rzędu.

Układ fundamentalny rozwiązań można zawsze wyznaczyć w przypadku równań o stałych współczynnikach

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych współczynnikach

Definicja

Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

0

"  p y   qy  y

gdzie p, q R.

Poszukujemy rozwiązań tego równania w postaci funkcji

) e

"

, e '

(

e

^rx

y r

^rx

y r

^{2 rx}

y   

Wstawiając do równania i dzieląc obustronnie przez rx

e

dostajemy równanie 2

 pr  q  0

r

_.

Jest to tzw. równanie charakterystyczne.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań

Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

r

₁ ⁱ

r

₂

( > 0)

^,

to układ fundamentalny równania tworzą funkcje

x r x

r

y x

x

y

₁

( )  e

¹

i

₂

( )  e

² _,

a CORJ ma postać

x r x

r

C

C x

y ( ) 

₁

e

¹



₂

e

² _.

Jeżeli równanie charakterystyczne ma podwójny pierwiastek rzeczywisty

r ( = 0)

, to układ fundamentalny równania tworzą funkcje

rx

rx

y x x

x

y

₁

( )  e i

₂

( )  e

_,

a CORJ ma postać

rx

rx

C x

C x

y ( ) 

₁

e 

₂

e

_.

Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki zespolone

r

₁

=  +  i

oraz

r

₁

=  -  i ( < 0)

, to układ fundamentalny równania tworzą funkcje

x x

y x x

y

₁

( )  e

^x

cos  i

₂

( )  e

^x

sin 

_,

a CORJ ma postać

) sin cos

( e )

( x C

₁

x C

₂

x

y 

^x

  

_.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przykład

Rozwiązać równanie

0

"  y  y

Równanie charakterystyczne

0

2

 1  r

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

r

1 = 1 i

r

2 = -1, więc CORJ jest postaci

x

x

C

C x

y ( ) 

₁

e 

₂

e

^

Przykład

Rozwiązać równanie

0 '

2

"  y  y  y

Równanie charakterystyczne

2

  

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przykład

Rozwiązać równanie

0

"  y  y

Równanie charakterystyczne

0

2

 1  r

ma dwa pierwiastki urojone

r

₁

= i

^oraz

r

₂

= -i (  = 0,  = 1),

więc CORJ ma postać

x C

x C

x

y ( ) 

₁

cos 

₂

sin

_.

Przykład

Rozwiązać równanie

0 25

' 8

"  y  y  y

Równanie charakterystyczne

0 25

2

 8 r   r

ma dwa pierwiastki zespolone

r

₁

= -4 - 3i

^oraz

r

₂

= -4 + 3i (  = -4,  = 3),

więc CORJ ma postać

) 3 sin 3

cos (

e )

( x

⁴

C

₁

x C

₂

x

y 

^{ x}



Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Metoda uzmiennienia stałych dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego

Podobnie jak w przypadku równania pierwszego rzędu uzmienniamy stałe w CORJ

) ( ) ( )

( ) ( )

( x C

₁

x y

₁

x C

₂

x y

₂

x

y  

) ) ( ' ) ( )

( ) ( ' )

( ' ) ( )

( ) ( ' )

( '

( y x  C

₁

x y

₁

x  C

₁

x y

₁

x  C

₂

x y

₂

x  C

₂

x y

₂

x

i wstawiamy do równania niejednorodnego.

Po przekształceniach otrzymujemy układ równań

 











) ( )

( ' ) ( ' )

( ' ) ( '

0 ) ( ) ( ' )

( ) ( '

2 2

1 1

2 2

1 1

x f x

y x C x

y x C

x y x C x

y x C

z którego wyznaczamy

C

₁

' ( x ) , C

₂

' ( x )

_.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przykład

Rozwiązać równanie

y x

y

₃

cos

"   1

CORJ ma postać

x C

x C

x

y ( ) 

₁

cos 

₂

sin

_.

Uzmienniając stałe otrzymujemy układ równań



 













x x x

C x x

C

x x

C x x

C

2 3 1

2 1

cos cos 1

) ( ' sin

) ( '

0 sin

) ( ' cos

) ( '

Stąd

2 1 3 1

1

2 cos

) 1 ( cos ,

) sin (

' D

x x x C

x x

C     

2 2 2

2

, ( ) tg

cos ) 1

(

' C x x D

x x

C   

CORN:

 

x x x

D x D

x D

x x

x D x

y 2 cos

2 sin cos

cos sin

tg cos cos

2 ) 1

(

_{2 1}

  

₂



₁



₂





 



  



Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Metoda przewidywań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu drugiego o stałych współczynnikach

Metodę przewidywań możemy stosować w przypadku równań o stałych współczynnikach, gdy wyraz wolny ma jedną z postaci przedstawionych w kolumnie 2 tabeli zamieszczonej w kolejnym slajdzie.

Wyznaczamy CSRN i wykorzystujemy zależność

CORN = CORJ + CSRN

Podobnie jak w przypadku równań rzędu pierwszego możemy też wykorzystać twierdzenie

Twierdzenie

Suma całki szczególnej równania

) ( )

(

' p x y f

₁

x

y  

i całki szczególnej równania

) ( )

(

' p x y f x

y  

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przewidywana postać CSRN dla równania liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach

Lp Prawa strona równania - f(x) Równanie charakterystyczne Przewidywana postać CSRN

a Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego

Wn(x) – ogólna postać wielomianu stopnia n

1 b

Pn(x) – wielomian stopnia n

Liczba 0 jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego x^mWn(x)

a Liczba k nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Wn(x)e^kx

2 b

Pn(x)e^kx, k R

Liczba k jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego x^mWn(x)e^kx

a Liczba i nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Wn(x)cosx + Vn(x)sinx 3

b

Pn(x)cosx + Qn(x)sinx

Liczba i jest m-krotnym pierwiastkiem

równania charakterystycznego x^m (Wn(x)cosx + Vn(x)sinx)

a Liczba i nie jest pierwiastkiem równania

charakterystycznego Wn(x)e^xcosx + Vn(x) e^xsinx 4

b

Pn(x)e^xcosx + Qn(x) e^xsinx

Liczba ijest m-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego

x^m (Wn(x)e^xcosx + Vn(x) e^xsinx)

Pn(x), Qn(x) – wielomiany stopnia n

Równania różniczkowe rzędu drugiego

Przykład

Rozwiązać równanie

x x

y

y ' '  9  cos

_.

CORJ:

y

₁

 C

₁

cos 3 x  C

₂

sin 3 x

. CSRN przewidujemy w postaci

x d

cx x

b ax

y

₂

 (  ) cos  (  ) sin

_.

Obliczamy pochodne

x b

ax c

x d

cx a

y

₂

'  (   ) cos  (   ) sin

_,

x d

cx a

x b

ax c

y

₂

' '  ( 2   ) cos  (  2   ) sin

i wstawiamy do równania

x x

x d

cx

x b

ax x

d cx a

x b

ax c

cos sin

) (

9

cos ) (

9 sin

) 2

( cos

) 2

(

























.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przykład (c. d.)

Porównując obie strony mamy

0 2

8 , 0 8

, 0 2

8 , 1

8 a  b  c  c  d  a 

skąd

32

, 1 0 ,

0 8 ,

1   

 b c d

a

CSRN:

y x x sin x

32 cos 1

8 1

2

 

_.

CORN:

x x

x x

C x

C y

y

y sin

32 cos 1

8 3 1

sin 3

cos

₂

1 2

1

    



.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przykład

Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

 











1 ) 0 ( ' , 0 ) 0 (

"

²

y y

x y y

CORJ ma postać

x C

x C

x

y ( ) 

₁

cos 

₂

sin

.

CSRN wyznaczymy metodą przewidywań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego tzn.

y

1

= Ax

²

+ Bx +C

^{. Stąd}

y

1

'' = 2A

i po wstawieniu do równania dostajemy

2

2 A  Ax

2

 Bx  C  x

Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wtedy i tylko wtedy, gdy

A = 1, B = 0, C = -2

^{. Wówczas}

y

₁

= x

²

- 2,

i CORN ma postać

Równania różniczkowe liniowe rzędu II

Przykład (c. d.)

Stałe C₁ i C2 wyznaczamy z warunków początkowych. Obliczamy pierwszą pochodną

x x

C x

C x

y ' ( )  

₁

sin 

₂

cos  2

i zapisujemy warunki początkowe

 





















0 2 0 cos 0

sin 1

2 0

0 sin 0

cos 0

2 1

2 2

1

C C

C C

Stąd

C

₁

= 2, C

₂

= 1

i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać

2 sin

cos 2 )

( x  x  x  x

²



y _.

Równania różniczkowe liniowe rzędu II