1. Wykaż, że funkcja ρ : R

Seria nr 1. Termin oddania — 02-10-2007.

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Osoby o parzystych numerach indeksu rozwiązują i oddają na kartkach zadanie 2, te o nieparzystych

— 1. Kolejne zadania są dodatkowe. Plusik przy numerze zadania oznacza, że zadanie jest trudniejsze; gwiazdka, że dość trudne.

1. Wykaż, że funkcja ρ : R

× R

→ R

∪ {0} jest metryką, oblicz odległość w tej metryce punktów (1, 1) i (−2, −1), a następnie narysuj w tej metryce kule B((0, 1); 1), B((1, 0); 1) oraz B((1, 0); 2).

(Jest to metryka „rzeczna”):

ρ(x, y) = ρ ((x

, x

); (y

, y

)) =  |x

− y

| dla x

= y

|x

| + |x

− y

| + |y

| w przeciwnym przypadku

2. Wykaż, że funkcja τ : R

× R

→ R

∪ {0} jest metryką, oblicz odległość w tej metryce punktów (−1, 1) i (3, −1), a następnie narysuj w tej metryce kule B((0, 0); 1), B((1, 1); 1) oraz B((1, 1); 2).

(Jest to metryka „węzła kolejowego”):

τ (x, y) = τ ((x

, x

); (y

, y

)) =  p(x

− y

)

+ (x

− y

)

dla y

· x

= x

· y

px

+ x

+ py

+ y

w przeciwnym przypadku

3. Oblicz odległość w metryce supremum między funkcjami f, g : [−2, 2] → R dla funkcji danych wzorami f (x) = 2x

− 2x + 1, a g(x) = −x

+ 3x − 1.

4. Wykaż, że część wspólna pięciu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

5. Wykaż, że suma siedmiu zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym.

6. Udowodnij stwierdzenie 1.8 z folii.

7.

Udowodnij twierdzenie 1.9 z folii.

8.

Udowodnij twierdzenie 1.15 z folii.