25.2.2019, kl 1b Funkcja kwadratowa Funkcje postaci f(x) = ax + b, gdzie a 6= 0, b są pewnymi stałymi, są nazywane funkcjami liniowymi, natomiast te postaci f(x) = ax

25.2.2019, kl 1b Funkcja kwadratowa

Funkcje postaci f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0, b są pewnymi stałymi, są nazywane funkcjami liniowymi, natomiast te postaci f (x) = ax²+bx+c (a 6= 0) — funkcjami kwadratowymi (inaczej, funkcjami (wielomianami) stopnia 2 lub trójmianami kwadratowymi ).

Postać kanoniczna Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci ax²+ bx + c = a(x + b

2a)²− ∆

4a, (1)

gdzie ∆ = b²− 4ac (wyróżnik funkcji kwadratowej). Równanie ax²+ bx + c = 0 może nie mieć rozwiązań (taka sytuacja ma miejsce, gdy ∆ < 0), może mieć jedno (gdy ∆ = 0) lub dwa (gdy

∆ > 0) rozwiązania. Są one dane wzorami

x₁ = −b −√

∆

2a , x₂ = −b +√

∆ 2a . Możemy wówczas napisać (postać iloczynowa)

ax²+ bx + c = a(x − x₁)(x − x₂), (2) skąd otrzymujemy wzory nazywane wzorami Viete’a:

x₁+ x₂ = −b

a , x₁x₂ = c a.

Zadanie 1. Sprowadź do postaci kanonicznej:

(a) x²− 5x + 6, (b) 36x²− 84x + 49,

(c) x²− x − 7 Zadanie 2. Rozwiąż równania

(a) x²− x − 90 = 0, (b) 2x²− 3x − 2 = 0,

(c) (2x − 1)²(x + 5) = (x + 1)²(4x + 5), (d) 4x²− 3|x| + x = 0,

(e) x²− 2|x| − 15 = 0,

(f) 3|2x²+ 4x + 1| = |x² + 5x + 1|, (g) x³/|x| − 7x + 12 = 0,

(h) 9x⁴+ 23x²− 12 = 0,

(i) (x + 2)⁴+ 2x²+ 8x − 16 = 0, (j) x + 17 = 10√

x − 4.

Zadanie 3. Uzasadnij, że jeśli trójmian ax²+ bx + c ma dwa pierwiastki x1, x2, to można go zapisać w postaci (2). Uzasadnij wzory Viete’a.

Zadanie 4. Wyznacz te wartości parametru a ∈ R, dla których najmniejsza wartość funkcji 4x² − 4ax + a²− 2a + 2 na przedziale [0, 2] jest równa 3.

Zadanie 5. Znajdź te wartości parametru a ∈ R, dla których wszystkie pierwiastki równania x² − 2x − a² + 1 = 0 leżą pomiędzy pierwiastkami równania x² − 2(a + 1)x + a(a − 1) = 0 (równości mogą zachodzić).

Zadanie 6. Nie obliczając pierwiastków x₁, x₂ trójmianu ¹₃x²+ 2x − 45 oblicz warości wyrażeń (a) x²₁+ x²₂,

(b) |x₁ − x₂|, (c) ^x_x¹

2 + ^x_x²

1, (d) _x^x21

2−1 +_x^x22

1−1, (e) _x¹4

1 + _x¹4 2.

Zadanie 7. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x²+(m+1)x−m²+1 = 0 ma dwa rozwiązania rzeczywiste x₁ i x₂ (x₁ 6= x₂), spełniające warunek:

x³₁+ x³₂ > −7x₁x₂.

Zadanie 8. Znajdź liczbę trójmianów kwadratowych x²− px − q o współczynnikach p, q ∈ N, których pierwiastki są mniejsze od 10.

2