LISTA 30 Zadanie 1.
Krawędź podstawy i wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość 2𝑎. Oblicz cosinus kąta dwuściennego między sąsiednimi ścianami bocznymi. Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymieniony w zadaniu kąt dwuścienny.
Zadanie 2.
Korzystając z własności wartości bezwzględnej, uzasadnij, że wyrażenie przedstawia liczbę naturalną i podaj konieczne założenia: ||𝑥 − 2| − 4| ∙ ||𝑥 − 2| + 4| ∙ |𝑥2−4𝑥−142 |
Zadanie 3.
Wyznacz wszystkie wartości parametru 𝑚, dla których rozwiązania 𝑥1 i 𝑥2 równania 𝑥2+ 13𝑥 − 24 = (10 − 𝑚)𝑥 − 15 spełniają warunek 𝑥12+ 𝑥22+ 3𝑥1𝑥2= 0 . Zadanie 4.
Wykaż, że liczby 𝑎 = (𝑠𝑖𝑛60° + 𝑐𝑜𝑠60°)2 i 𝑏 = 𝑡𝑔45° − 𝑐𝑜𝑠30° są pierwiastkami wielomianu 𝑊(𝑥) = 4𝑥3− 8𝑥2+ 𝑥 .
Zadanie 5.
Wyznacz 𝑥, tak aby liczby 𝑥 + 3, 𝑥2+ 3𝑥, 11𝑥 − 2 były w podanej kolejności wyrazami rosną- cego ciągu geometrycznego o wyrazach całkowitych.
Zadanie 6.
Prosta 𝑙 przechodzi przez początek układu współrzędnych. Napisz równanie tej prostej, wiedząc, że jej odległość od punktu 𝐴 = (−3, −4) jest równa 3.
Zadanie 7.
Trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 podzielono na trzy figury o równych polach. Sposób podziału ilustruje rysunek.
Wiedząc, że bok kwadratu 𝐶𝐷𝐸𝐹 jest równy 6, oblicz obwód trapezu 𝐴𝐵𝐶𝐷 oraz cosinus kąta 𝐶𝐵𝐹.
Zadanie 8.
Wyznacz rozwiązanie równania 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 należące do przedziału (0,𝜋
2).
Zadanie 9.
Ciąg (𝑎𝑛) jest arytmetyczny. Wiedząc, że 𝑎𝑎1
2=𝑎𝑎3
5 , wyznacz różnicę tego ciągu.
Zadanie 10.
Dany jest ostrosłup trójkątny, którego podstawą jest trójkąt równoramienny o bokach długości 5𝑐𝑚, 5𝑐𝑚 i 6𝑐𝑚. Wysokość ostrosłupa jest równa 2𝑐𝑚. Spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
