Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys).

Share "Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys)."

(1)

O drugim zadaniu testowym . Zadanie 140 - testy

Obj¸etość bryły ograniczonej płaszczyznami,x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4 wynosi:

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys).

(4-x-y)

-10 -5

0 5

10-10 -5

0 5

10 -20

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Rysunek 1: Wykres funkcji f (x, y) = 4 − x − y

Mamy obliczyć

Z Z

(4 − x − y)l

(dxdy) .

gdzie zbiór

T = (x, y) ∈ R

: 0 < x < 4, 0 < y < 4 − x

jest trójk¸ atem.

Stosuj¸ ac twierdzenie Tonellego( bo funkcja podcałkowa w rozpatrywanym zbiorze T przyj- muje wartości dodatnie), otrzymujemy

1

(2)

Z Z

(4−x−y)l

(dxdy) = Z

Z

4−x 0

(4−x−y)l(dy)l(dx) = Z

(4y −xy −y

)/2) |

^4−x₀

l(dx)

= Z

4(4−x)−x(4−x)−(4−x)

/2l(dx) = Z

((4−x)(4−x)/2)l(dx) = 1 2

Z

4 0

(4−x)

l(dx)

= − (4 − x)

6 |

⁴₀

Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys).

O drugim zadaniu testowym . Zadanie 140 - testy

Obj¸etość bryły ograniczonej płaszczyznami,x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4 wynosi:

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys).

Rysunek 1: Wykres funkcji f (x, y) = 4 − x − y

Mamy obliczyć

Z Z

(4 − x − y)l

(dxdy) .

gdzie zbiór

T = (x, y) ∈ R

: 0 < x < 4, 0 < y < 4 − x

jest trójk¸ atem.

Stosuj¸ ac twierdzenie Tonellego( bo funkcja podcałkowa w rozpatrywanym zbiorze T przyj- muje wartości dodatnie), otrzymujemy

1

Z Z

(4−x−y)l

(dxdy) = Z

Z

(4−x−y)l(dy)l(dx) = Z

(4y −xy −y

)/2) |

l(dx)

= Z

4(4−x)−x(4−x)−(4−x)

/2l(dx) = Z

((4−x)(4−x)/2)l(dx) = 1 2

Z

(4−x)

l(dx)

= − (4 − x)

6 |

= 0 + 64 6 = 32

3

2

Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys).

O drugim zadaniu testowym . Zadanie 140 - testy

Obj¸etość bryły ograniczonej płaszczyznami,x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 4 wynosi:

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że obszarem całkowania jest trójk¸ at prostok¸ atny o bokach długości 4 po- łożony w płaszczyźnie 0xy (rys).

Rysunek 1: Wykres funkcji f (x, y) = 4 − x − y

Mamy obliczyć

Z Z

(4 − x − y)l

(dxdy) .

gdzie zbiór

T = (x, y) ∈ R

: 0 < x < 4, 0 < y < 4 − x

jest trójk¸ atem.

Stosuj¸ ac twierdzenie Tonellego( bo funkcja podcałkowa w rozpatrywanym zbiorze T przyj- muje wartości dodatnie), otrzymujemy

1

Z Z

(4−x−y)l

(dxdy) = Z

Z

(4−x−y)l(dy)l(dx) = Z

(4y −xy −y

)/2) |

l(dx)

= Z

4(4−x)−x(4−x)−(4−x)

/2l(dx) = Z

((4−x)(4−x)/2)l(dx) = 1 2

Z

(4−x)

l(dx)

= − (4 − x)

6 |

= 0 + 64 6 = 32

3

2

T = (x, y) ∈ R