LISTA 53
Zadanie 1.
Dany jest ciąg 𝑎𝑛, gdzie 𝑎𝑛=4𝑛+5
2𝑛+1 . Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
Zadanie 2.
Wiadomo, że wielomian określony wzorem 𝑊(𝑥) = 𝑥4+ 1 nie ma pierwiastków rzeczywistych, bo dla dowolnego 𝑥 ∈ 𝑅 wyrażenie 𝑥4+ 1 przyjmuje wartości dodatnie. Można do jednak rozłożyć na iloczyn czynników nierozkładalnych stopnia drugiego w następujący sposób:
najpierw zapisujemy wyrażenie 𝑥4+ 1 w postaci sumy kwadratów: (𝑥2)2+ 12;
następnie uzupełniamy tę sumę do pełnego kwadratu (jak poniżej):
(𝑥2)2+ 12= (𝑥2)2+ 2𝑥2+ 12− 2𝑥2= (𝑥2+ 1)2− 2𝑥2;
otrzymaną różnicę (𝑥2+ 1)2− 2𝑥2 zapisujemy w postaci różnicy kwadratów:
(𝑥2+ 1)2− 2𝑥2= (𝑥2+ 1)2− (√2𝑥)2;
stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
(𝑥2+ 1)2− (√2𝑥)2 = (𝑥2+ 1 − √2𝑥)(𝑥2+ 1 + √2𝑥);
i otrzymujemy rozkład wielomianu 𝑊(𝑥) na iloczyn czynników nierozkładalnych:
𝑊(𝑥) = (𝑥2− √2𝑥 + 1)(𝑥2+ √2𝑥 + 1).
Postępując analogicznie, rozłóż na czynniki nierozkładalne wielomian 𝑄(𝑥) = 𝑥4+ 9.
Zadanie 3.
Dane są punkty 𝐴 = (1, 2), 𝐵 = (1, 3), 𝐶 = (−2, 3) oraz 𝐴′ = (1, 1) i 𝐵′= (−2, 1). Znajdź 𝐶′
taki, aby trójkąt 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴’𝐵’𝐶’ były podobne, jeśli obrazem punktu 𝐴 jest 𝐴′, punktu 𝐵 − 𝐵′, punktu 𝐶 − 𝐶′.
Zadanie 4.
W niszy ściennej, której górna krawędź ma kształt półokręgu o promieniu 0,8 𝑚, Aneta chce postawić półkę z desek, której kształt przedstawiony jest na rysunku. Ile będzie kosztowała Anetę ta półka, jeśli 1 metr bieżący desek potrzebny na ten cel kosztuje 12 𝑧ł, a kolega Anety zrobi półkę za darmo.
Zadanie 5.
Mając dany wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) wykonaj wykres funkcji 𝑦 = −𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(−𝑥), 𝑦 = −𝑓(−𝑥), 𝑦 = |𝑓(𝑥)|, 𝑦 = 2 ∙ 𝑓(𝑥). Omów jakie przekształcenia wykonałeś w każdym z przypadków.
𝑎 0,5𝑎
0,5𝑎
6 Zadanie 6.
Wypełnij puste kratki tak, aby liczby w wierszu tworzyły ciąg arytmetyczny, a liczby w kolumnie ciąg geometryczny.
Zadanie 7.
Oblicz 𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑐𝑜𝑠𝛼 wiedząc, że 𝑠𝑖𝑛𝛼 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0,25.
Zadanie 8.
Ze zbioru cyfr {1, 2, 3, 4, 5} losujemy kolejno bez zwracania dwie cyfry i zapisujemy je w kolejności losowań. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana tak liczba dwucyfrowa dzieli się przez 3.
Zadanie 9.
Kopiec piasku ma kształt ostrosłupa ściętego o podstawach będących prostokątami, a ściany boczne są trapezami równoramiennymi jak na rysunku. Jaka jest objętość tej bryły?
Zadanie 10.
Dla jakich wartości parametru 𝑚 prosta 𝑦 = (2𝑚 − 3)𝑥 + 6 wraz z osiami układu współrzędnych ogranicza trójkąt o polu 9?
8
8 23
3
9
5
10
