D I E
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N A T U R W IS S E N S C H A F T E N
BEGRÜ N D ET TO N A . B E R L IN E R UND C. THESING
HERAUSGEGEBEN VON A R N O L D B E R L I N E R
U N T E R B E SO N D E R E R M IT W IR K U N G V O N HANS SPEMANN IN F R E IB U R G I. BR.
ORGAN D ER GESELLSCH AFT D EUTSCH ER NATURFORSCH ER UND Ä R ZT E
U N D
ORGAN D ER K A ISE R W ILH ELM -G ESELLSCH AFT Z U R FÖRDERUNG D ER WISSENSCHAFTEN V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N W g
HEFT 44 (S E IT E 813— 828) 2. N O V E M B E R 1928 16. JAHRGANG
Moritz Pasch. Zum fünfundachtzigsten Geburtstag am 8. 11. 1928. Von M. De h n, Frankfurt a. M.
Statistik seltener Ereignisse. Von H . Po l l a c z e k- Ge i r:n g e r, Berlin. (Schluß) . . . . Zu s c h r i f t e n :
Über die Lebensgeschichte von Amphilina m foliacea, dem Parasiten des W olga-Sterlets, r nach Beobachtungen und Experim enten. Von
" C . Ja n i c k i, Saratow, BiologischeW olga-Station D ie experimentelle Bestim m ung des Zwischen
wirtes von Cystoopsis acipenseri des Wolga- Sterlets. Von C. Ja n i c k i und K . Ra s i n, Saratow, Biologische W olga-Station . . . . Be s p r e c h u n g e n :
H andbuch der normalen und pathologischen Physiologie. Bd. I. (Ref.: Leon Asher, Bern) Ba t e s o n, Be a t r i c e, W illiam Bateson, F . R. S.
N aturalist. (Ref.: R . Goldschmidt, Berlin- Dahlem) ...
Ha r v e y, H . W ., Biological Chem istry and Physics of sea water. (Ref.: C. Schlieper, Kiel) ...
N H A L T :
Jo r d a n, He r m a n n J ., und G . Ch r. Hi r s c h, 813 Übungen aus der vergleichenden Physiologie.
(Ref.: Em il Abderhalden, Halle a. S.) . . . 823 815 Fr i s c h, K . v ., Aus dem Leben der Bienen.
(Ref.: M. Schlick, W ien) ...824 Go l d s c h m i d t, Ri c h a r d, Die Lehre von der
Vererbung. (Ref.: M. Schlick, Wien) . . . 824 Go l d s c h m i d t, Ri c h a r d, Einführung in die 820 Wissenschaft vom Leben oder Ascaris. (R ef.:
M. Schlick, W i e n ) ... 824 Gr a y, J., Ciliary movement. (Ref. : P. Metzner,
Berlin-Dahlem) ...824 821 Mi t t e i l u n g e n a u sv e r s c h i e d e n e nb i o l o g i s c h e n
Ge b i e t e n: Über die W irkung der Röntgen
strahlen auf die Schwangerschaft und die Ent- 821 wicklung des Fetus. Beiträge zur Kenntnis der Hochgebirgsflora Javas und zur Theorie der Pflanzenausbreitung. Der Einfluß des Rauchens 822 auf den Blutdruck. Ameisen und Blattläuse.
Zur Psychologie des H a u s h u h n s ...825 As t r o n o m is c h e Mi t t e i l u n g e n. Neuere Unter- 823 suchungen über das Ö-Cephei-Problem . . . 827
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Köln, Apostelnkloster 27 W ien IX/3, Ferstelgasse 1
II D I E N A T U R W I S S E N S C H A F T E N . 1928. H eft 44. 2. Novem ber 1928.
D I E N A T U R W I S S E N S C H A F T E N erscheinen wöchentlich und können im In- und
Auslande durch jede Sortimentsbuchhandlung, jede Postanstalt oder den Unterzeichneten Verlag be
zogen werden. Preis vierteljährlich für das In- und Ausland RM 9.60. Hierzu tritt bei direkter Zustellung durch den Verlag das Porto bzw. beim Bezüge durch die Post die postalische Bestellgebühr. Einzelheft RM 1.— zuzüglich Porto.
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Die Naturwissenschaften, Berlin W g, Linkstr. 23/24, erbeten.
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Auslands-Anzeigenpreise werden auf direkte Anfrage mitgeteilt.
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Vorlesungen über neuere G eom etrie
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DIE NATURWISSENSCHAFTEN
16. J a h rg a n g 2. N ovem ber 1928 H eft 44
Moritz Pasch.
Zum fü n fu n d ach tzigsten G eburtstag am 8. 1 1 . 1928.
V o n M . De h n, F r a n k fu r t a. M.
F ü r die G rundlegung der G eom etrie h aben h eu te w eite K reise Interesse, beson d ers desh alb, w eil sie au ch bei dem A u fb a u d er P h y s ik eine große R o lle spielt. A b er v ie le v o n denen, die sich m it diesen D ingen v e rtr a u t m ach en , w issen w en ig oder n ich ts von dem großen A n te il, den Mo r i t z Pa s c h an d er gan zen E n tw ic k lu n g h a t. D esw egen is t es beson d ers erfreulich, d aß an dieser S telle dem F ü n fu n d a c h tz ig jä h rig e n in d a n k b arer V ereh ru n g h e rz lic h e G lü ckw ü n sch e d a rg eb ra ch t w erden so llen .
M . Pa s c h h a t v o r e tw a einem h a lb en J ah r
h u n d e r t die G ru n d legu n g der G eom etrie en tsch ei
d e n d w eiterg e fü h rt, er h a t die schon v o n den A lte n a n g e w a n d te a xio m a tisc h e M eth ode zu neuem L eb en e rw e c k t, a u ß e ro rd en tlich e n tw ic k e lt und zu einem gew issen A b sc h lu ß g e b ra ch t. D ie gan ze G ru n d lagen fo rsch u n g s te h t seitd em u n ter dem E in flu ß dessen, w a s Pa s c h gesch affen h a t.
A l s d i e L e h r e r v o n Pa s c h s in d Sc h r ö t e r, Li p s c h i t z, We i e r s t r a s s u n d Kr o n e c k e r a n z u s e h e n . U n t e r Sc h r ö t e r l e r n t e e r i n d e r e r s t e n H ä l f t e d e r s e c h z i g e r J a h r e , z u s a m m e n m i t d e m i h m l e b e n s l a n g e n g b e f r e u n d e t e n Ro s a n e s, in B r e s l a u d i e a l g e b r a i s c h e G e o m e t r i e k e n n e n , d i e d a m a l s f ü r d i e m a t h e m a t i s c h e P r o d u k t i o n ü b e r a l l c h a r a k t e r i s t i s c h w a r . D e r a l g e b r a i s c h e n G e o m e t r i e g a l t e n s e i n e e r s t e n , z u m T e i l m i t Ro s a n e s z u s a m m e n v e r ö f f e n t l i c h t e n A r b e i t e n ; u n d d i e N e i g u n g f ü r d i e s e n T e i l d e r A l g e b r a i s t Pa s c h b i s i n s e in h o h e s A l t e r g e b l i e b e n . D i e s i s t d a s G e b i e t , w o e r i m m e r w i e d e r v o n e i n z e l n e n P r o b l e m e n a n g e z o g e n w i r d u n d s ie z u b e w ä l t i g e n v e r s t e h t , g e n a u s o , w i e e s v i e l e n a n d e r e n p r o d u k t i v e n M a t h e m a t i k e r n i n i h r e m L i e b l i n g s g e b i e t g e h t . A b e r n e b e n u n d n a c h d ie s e r A u s b i l d u n g i n d e r S c h u l e v o n S c h r ö t e r i s t e r a u f d a s n a c h h a l t i g s t e v o n Li p s c h i t z u n d b e s o n d e r s v o n Kr o n e c k e r u n d We i e r s t r a s s b e e i n f l u ß t w o r d e n . D u r c h s ie w u r d e n d i e i h n a ls M a t h e m a t i k e r a u s z e i c h n e n d e n E i g e n s c h a f t e n e n t w i c k e l t : das V e r a n t w o r t u n g s g e f ü h l , d a s k e i n e a n d e r e n S c h lü s s e a ls d i e s e l b s t d u r c h g e d a c h t e n z u b e n u t z e n e r l a u b t , d e r S in n f ü r s y s t e m a t i s c h e n , l o g i s c h e n A u f b a u , d e r h i n t e r d e m a n s c h a u l i c h E v i d e n t e n d i e lo g i s c h e V e r k n ü p f u n g e r k e n n t , d i e A u ffa ssu n g , d a ß d i e A n sch au u n g z w a r z u r A u f f i n d u n g d e r m a t h e m a t i s c h e n W a h rh eiten v o n g r ö ß t e m W e rt, a b e r i m B e w e i s durch r e i n l o g i s c h e D e d u k t i o n z u e r s e t z e n i s t .
N ach d ieser A u sb ild u n g h a t sich Pa s c h 1870 in G ießen h a b ilitie rt. B a ld b egann er in seinen V orlesungen ü b er n euere G eom etrie das S y stem au szu b ild en , d as er dann 1882 in einem klassisch
N w . 1928
gew ord en en B u c h 1 fü r alle Z eiten fe st b egrü n d et h a t.
D a s w ic h tig ste Z iel, d as m an b e i der G ru n d leg u n g d er G eo m etrie erreichen m uß, is t die A lge- braisieru n g. W ill m an e tw a die p ro je k tiv e G e o m etrie begrü nd en , so m u ß m an so w e it kom m en d a ß die p ro je k tiv e n E lem en te, P u n k t, G erad e und E b en e, und ihre ve re in ig te L a g e , sich d u rch a lgeb raisch e D in ge d arstellen lassen. W ill m an die m etrisch e G eo m etrie begrü nd en , so g en ü g t es, P u n k t u n d B e w e g u n g algeb raisch en G eb ild en zuzu ordnen. B e i der B e g rü n d u n g d er allg em ein sten G eom etrien m u ß m an die gew öh nlich e A lg e b ra d u rch in fin itesim ale O perationen erw eitern. B e i der gew öh nlich en (m etrischen) euklidischen G e o m etrie is t vo n den A lte n dies Z iel erreich t w orden d urch die — bei Eu k l i d im fü n fte n B u c h seiner E lem en te b ew u n d ern sw ert schön b egrü n d ete — P ro po rtion en leh re. D iese B e g rü n d u n g b e ru h t ein erseits a u f dem ein fach en S a tz, d aß der M itte l
p u n k t einer S tre ck e b ei P a ra lle lp ro je k tio n in den M itte lp u n k t der P ro je k tio n ü b ergeh t, a n d erer
seits a u f dem sog. arch im ed isch en P o s tu la t, das die M e ß b a rk e it jed e r S tre ck e d u rch jed e andere S treck e v e rla n g t, also u n en d lich k lein e und u n endlich große S treck en a u ssch ließ t. F ü r den S a tz über die S tre c k e n m itte lp u n k te m u ß n atü rlich das P a ra llele n p o stu la t v o ra u sg e s e tz t w erden . N a ch jah rh u n d ertla n g em B em ü h en v ie ler G eom eter ge
lang es B o l y a i u n d L o b a t s c h e w s k y um 1830, ohne d as P a ra lle le n p o stu la t die m etrisch e G eom etrie zu b egrü nd en . E rsta u n lic h erw eise b e n u tzten sie beide den U m sta n d , d a ß in ,,je d e r“ räu m lich en G eom etrie zw eid im en sionale G eb ild e existieren , au f denen alle eu klid isch en F o rd eru n g en e rfü llt sind, a u f denen also n a ch B u c h V v o n Eu k l i d eine a n a ly tisch e G eo m etrie a u f g e b a u t w erd en kan n . M it ihrer H ilfe g e lin g t es dann w eiter, die B e w e g u n gen des gan zen R au m es, sp eziell die ebenen B e w egu ngen zu algeb raisieren .
B e i Bo l y a i und Lo b a t s c h e w s k y is t n och k ein E in flu ß vo n d er E n tw ic k lu n g d er p ro je k tiv e n G eo m etrie zu bem erken , d ie a m A n fa n g des n eu n zeh n ten J a h rh u n d e rts e in g esetzt h a tte u n d die G eo m etrie dieses J ah rh u nd erts in im m er stärk erem M aße beh errsch te. 40 Jah re n a ch Bo l y a i u n d Lo b a t s c h e w s k y zeigte Kl e i n: D ie v o n Jenen ab gele iteten E igen sch aften eines R a u m es, in d em das P a rallele n p o stu lat n i c h t g ilt, ka n n m an in Ü b erein stim m u n g bringen m it den E ig e n sc h a fte n des Inneren einer K u g e l im
1 Vorlesungen über neuere Geometrie, 2. Aufl.
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60
De h n: Mo r i t z Pa s c h. r D ie N a tu r
w isse n s c h a fte n
eu klid isch en R a u m . D a b e i m üssen den B e w e gu ngen jen es R a u m e s d iejen igen K o llin e a tio - nen (G erade in G erad e ü b erfü h ren d e T ra n sfo rm a tionen) zu g eo rd n et w erden , die die K u g elflä c h e in sich üb erfü h ren . D iese K o llin e a tio n en w aren schon v o rh e r vo n Ca y l e y b e tra c h te t, eben falls solche, die eine K u g e l m it im agin ärem R a d iu s (deren G leich u n g in C artesisch en K o o rd in a te n e tw a x 2 + y2 + z2 + 1 = ° ist) in sich überführen.
D iesen K o llin e a tio n en e n tsp rich t n ach Kl e i n
diejen ig e G eo m etrie ohne P a ra llele n p o stu la t, in der d ie G eraden , e n tg e g e n g ese tzt der Bo l y a i- LoBATSCHEWSKYschen A n n ah m e, eine endliche L ä n g e h aben .
Pa s c h h a t nun zu n ä ch st die p ro je k tiv e G eo
m etrie b egrü n d et, dann gezeigt, d a ß a u f G ru n d der B e w e g u n gsp o stu late „ je d e " G eo m etrie t a t sächlich eine solche K L E iN - C A Y L E Y s c h e G eo m e
trie ist, im S p ezialfa ll, w en n d as P a ra lle le n p o stu la t g ü ltig ist, n a tü rlic h die gew ö h n lich e eu klid isch e G eom etrie. D ie A b le itu n g v o n Bo l y a i u n d L o -
b a t s c h e w s k y e m p fin d et jed er, der sich in sie ve rse n k t, als gen ial. A b e r die A b le itu n g vo n Pa s c h
is t n atü rlich e r. F ü r sie is t ab er h isto risch n o t
w en d ig die vo n d er m etrisch en G eo m etrie u n a b h än g ig e E n tw ic k lu n g d er p ro je k tiv e n G eom etrie d u rch v . St a u d t. G erad e bei seiner neuen B e g rü n d u n g der p ro je k tiv e n G eom etrie h a t nun Pa s c h
seine große L e is tu n g v o llb ra c h t. E r k o n n te z u n äch st gar n ic h t vo n den v . S T A U D T s c h e n V o ra u s s e t z u n g e n a u s g e h e n , v . St a u d t s e t z t z. B . vo rau s, daß je zw ei G erad e ein er E b e n e sich in einem P u n k te schneiden. D a s d a rf m an n u r tu n , w enn m an das P a ra lle le n p o stu la t gleich sam im H in terg ru n d h a t u n d jed e r G erad en einen „ id e a le n “ , den u n en d lich fernen P u n k t zu ord n en , alle diese id ealen P u n k te fü r die G erad en ein er E b e n e als a u f einer idealen G eraden , d er u n en d lich fernen G erad en liegend, alle idealen G erad en en d lich als a u f einer id ealen E b en e, der u n en d lich fernen lieg en d anneh m en kan n . Pa s c h m a c h t d agegen n u r V o ra u ssetzu n g en ü ber ein b e sch rä n k tes R a u m s tü c k u n d fü h rt die idealen E lem en te d u rch K o n stru k tio n e n in diesem R a u m te il ein, e tw a id eale G erad en d u rch ein P a a r vo n E b en en , die d u rch diesen R a u m te il hin d u rch geh en . E r m u ß n u n üb erlegen , ob diese id ealen E lem en te w irk lic h alle V o ra u ssetzu n g en befried igen , die m an fü r die A b le itu n g der p ro je k tiv e n G eom etrie b ra u ch t. D a kan n er sich nun n ic h t m ehr a u f die A n sch a u u n g verlassen . E r ist gezw u n gen , alle V o ra u ssetzu n g en , au ch die b ish er u n b ew u ß ten , in u n b ew u ß te r B e n u tz u n g d er A n sch a u u n g g e b ra u ch te n V o ra u ssetzu n g en d u rch so rg fä ltig ste Z erg lie d e ru n g d er B ew eise h erau s
zu fin d en . So k o m m t er d azu , als erster die Postu - late der A nordnung d er P u n k te a u f ein er S trecke, der P u n k te und G erad en a u f ein em b egren zten S tü c k d er E b e n e au szu sp rech en . E r z e ig t dann, d aß diese P o s tu la te in geeig n eter F a ssu n g au ch fü r die um die id ealen E le m e n te e rw eiterte G e
sa m th eit v o n P u n k te n , G erad en u n d E b en en gelten . H ie rn ach fü h rt Pa s c h die S tre ck e n v erg le ich u n g ein,
d a m it er das a rch im ed isch e P o stu la t der M e ß b a r k e it jed e r S tre c k e d u rch jed e andere a u ssp rech en kan n . D ies P o s tu la t is t seit dem A ltertu m a u s d rü ck lich erst w ied er d u rch Pa s c h fo rm u lie rt w orden. M it w esen tlich e r B e n u tz u n g desselben w ird d an n der F u n d a m e n ta ls a tz d er p ro jek tiven G eo m etrie a b g ele itet, au s dem , w ie schon v . St a u d t
g e ze ig t h a tte , die A lg e b ra sie rb a rk e it der p ro jek tiv e n G eom etrie fo lg t. N u n w erd en als v ie rte r S c h ritt die P o s tu la te d er B e w e g u n g vo n ebenen F ig u ren ein g e fü h rt, a u f d ie in den sech ziger J a h ren He l m h o l t z b eson d ers au fm erk sam g e m a c h t h a tte . D a n n fo lg t, d a ß die B ew eg u n g en sich in einem geeig n eten K o o rd in a te n sy s te m als d ie G e sa m th eit der lin ea ren T ra n sfo rm a tio n e n d a rstellen , die eine q u a d ra tisch e F o rm u n v e rä n d e rt lassen.
D a m it is t die m e trisch e G eo m e trie a lg eb raisie rt.
D a s Z iel des PASCHschen W e rk e s is t h ie rm it erreich t. W ic h tig e r ab er a ls die E rreich u n g d es Zieles is t das, w as Pa s c h a u f dem W e g zu diesem Z iel gesch affen h a t und w as fü r alle Z eiten b esteh en bleiben w ird , n äm lich ein vollständiges und natür
liches System von Postulaten. N a tü rlich nenne ich d as S y stem desw egen , w eil es n u r solche P o s tu la te en th ä lt, die u n m itte lb a r aus der A n sc h a u u n g entsprin g en [m it A u sn a h m e v ie lle ic h t des a rc h i
m edischen P o s tu la ts ; d er A u fb a u der G eom etrie ohne eu k lid isch es (P arallelen -) und ohne a rc h i
m edisches P o s tu la t g e la n g e rst 1898 F r . Sc h u r] . F ü r v o lls tä n d ig fre ilich h a t Pa s c h sein S y s te m niem als geh alten , w eil die B e tr a c h tu n g k ru m m e r F ig u ren sow ie die In h a ltsle h re in seinem B u c h e fehlen.
Ü b e ra ll in seinem B u c h e u n d au ch in seinen sp äteren S ch riften b e to n t Pa s c f den ,, axiom atischen S ta n d p u nk t“ die V e r p flic h tu n g des M a th em a tik e rs, alle ,,S ta m m s ä tz e “ an zu geb en , a u s denen rein lo gisch d as g an ze L eh rg e b ä u d e erw äch st. D ie m a th em a tisch e B e w e ism eth o d e selb st h a t e r eb en falls w ied er a x io m a tisc h zu zerglied ern v e r s u c h t1, ebenso w ie die A rith m e tik und A n a ly s is 2.
A u f der anderen S e ite w ird bei Pa s c h s te ts d ie Verbindung m it der A n scha u u n g h e rg estellt, die e r in sp äteren S c h rifte n 3 d u rch m ü h ev o lle B e tr a c h tu n gen w eiter v e rtie ft. A u s dieser T en d en z e n t
sprin gen a u c h d ie U n te rs c h ie d e seines A x io m s y s te m s vo n denen Hi l b e r t s oder Sc h u r s. So is t fü r Pa s c h w ie fü r d ie A lte n die gerad lin ige S tre c k e der E lem en ta rb eg riff, fü r Hi l b e r t d ie ga n ze G e
rad e, so g eh t Pa s c h v o n der B e w e g lic h k e it e in zeln er F ig u ren aus, Sc h u r v o n d en d u rch die B e w egu n g en h erv o rgeru fen en T ra n sfo rm a tio n e n d es R au m es. Im w esen tlich en a b er ü b ern eh m en sow ohl Hi l b e r t w ie Sc h u r d as A x io m s y s te m vo n Pa s c h. A ls d as W e r k v o n Pa s c h 1 8 8 2 erschien, w a r 1 Siehe besonders ,,Die axiom atische Methode in der neueren M athem atik“ . Annalen der Philos. V, 1926.
2 „G rundlagen der A nalysis.“ Leipzig 1909. „ V e r änderliche und Fu n ktion.“ Leipzig 1914.
3 „D er starre Körper in der Geom etrie“ , „D ie B e
griffswelt des M athem atikers in der Vorhalle der Geo
m etrie“ in „Gesam m elte Abhandlungen“ . Leipzig 1914.
sein e W ir k u n g n ich t sehr groß. D ie m eisten M a th e m a tik e r, sto lz au f die B egrü n d u n g der A n a ly sis, d ie sie als eben abgeschlossen b e tra ch teten , g la u b ten w oh l, daß in der G eom etrie eine w irk lich e S tre n g e gar nicht zu erreichen sei, u n d h a tte n v ie lle ic h t deswegen w en ig In teresse fü r P a s c h . E r s t e tw a zehn Jahre sp äter b eg an n ein e stille u n d starke W irkung, als deren sch ö n ster E rfo lg d ie 1899 erschienenen, w eltb erü h m te n „G ru n d la g en d er Geom etrie” von H i l b e r t anzuseh en sind. H ie r w ird die Schöpfung vo n PascH w esen tlich w e ite r
geführt durch die tiefe n u n d fü r das S y ste m w ic h tigen U ntersuchungen ü b er d ie Unabhängigkeit der Axiom e voneinander.
E s gib t ganz versch ied en e A rte n vo n p ro d u k tiven M ath em atikern . D ie einen re izt das G e
heim nisvolle, e tw a d as O perieren m it sym bolisch en Methoden, d eren B e g rü n d u n g un sicher, deren B enu tzu n g fa s t m it G efah ren verb u n d en ist.
H eft 44. "I 2. i x . 1928J
A n d ere setzen ihre gan ze K r a f t d arein , einzelne P ro b lem e zu b ew ä ltig en , besonders solche, d ie schon v o n v ie le n v e rg eb lich a n g eg riffen sind . W en ig en , g ro ß en F o rsch ern g e lin g t es, w ich tig e G eb ie te zu ersch ließ en , bish er gan z u n b ek an n te, b e d eu tu n g s
v o lle Z u sam m en h än ge zw isch en den ein zeln en G eb ieten zu en td eck en . Ih nen gesellen sich die M a th em a tik e r, d ie diese neuen G eb iete s o rg fä ltig b earb eiten u n d die E rk en n tn isse fa s t ins U n m e ß b a re verm eh ren . D u rc h alles dies is t die m a th e m a tisch e E ig e n a r t v o n Pa s c h n ic h t c h a ra k te ri
sierb ar: In gelassener, ged u ld ig er, zäh er A rb e it h a t er K la r h e it in d as ä lte ste m a th em a tisch e G e
b iet, die G eo m etrie, g e b ra ch t, h a t allen M a th em a tik e rn die A u g e n geö ffn et, d a ß sie u n en d lich v ie l b esser als v o rh e r ih re A rb e itsw eise v ersteh en ; er h a t der G eo m etrie eine neue W ü rd e gegeb en d u rch E n td e c k u n g eines festg e fü g te n und w o h l
geglied erten F u n d am en ts.
815 P o l l a c z e k - G e i r i n g e r : Statistik seltener Ereignisse.
Statistik seltener Ereignisse.
V o n H . Po l l a c z e k- Ge i r i n g e r, B e rlin .
(Aus dem In stitu t für angewandte M athem atik der Universität.)
(Schluß.)
I V . Allgemeine Sum m enbildung bei endlichem E r wartungswert. Anw endungsbeispiele.
In der Theorie der seltenen Ereignisse (des G renzüberganges bei festem E rw a rtu n gsw ert), der erst in neuerer Z eit, beson ders au ch in folge der A rb e ite n von v . Bo r t k i e w i c z1 m eh r A u f m erksam keit an ge w en d et w u rd e2, ergeben sich n ic h t so um fassende und a b geru n d ete E rg eb n isse.
In teressan t ist h ier zu n ä ch st der G re n zü b e rg an g fü r die oben ein geführte m -dim ensionale W a h r sch ein lich keit lt)n(a;1, . . . x m). [W ah rsch ein lich k eit b ei n Zügen aus n U rn en , die jed e (m + 1) v e r schiedene Sorten vo n K u g e ln in versch ied en em M ischu ngsverhältn is en th a lten , x t K u g e ln der i-te n S o rte zu ziehen (i = o, 1, . . . m).] G ew isserm aßen der „rein e “ F a ll seltener E reignisse lieg t — w ie w ir noch näher sehen w erden — vor, w enn vo n den (m + 1) A u sgan gsm ö glich k eiten m ver
schwindend kleine W ahrscheinlichkeiten besitzen u n d n u r einer M öglich keit eine W a h rsc h ein lich k eit n ah e an E in s zu ko m m t. E s g ilt d an n e in fa c h :
(11) Um ■ x m) = t p ( a 1 ; x j . . . y)(am-, x m).
n > 00
D a b e i ist (analog zu der frü heren F e stse tz u n g a = nq) je tz t
n
o<t = ^ ( ( * = 1 , . . . m).
V = I
D ie m Z a h len a,t w erden beim G ren zü b ergan g 1 Vgl. besonders v. Bo r t k i e w i c z, Das Gesetz der kleinen Zahlen. Leipzig 1898; sowie: Die radioaktive Strahlung als Gegenstand wahrscheinlichkeitstheoreti
scher Untersuchungen. Berlin 1913.
2 Vgl. zu diesem Gebiet H . P o l l a c z e k - G e i r i n g e r , Über die PoissoNsche Verteilung und die Entwicklung willkürlicher Verteilungen. Zeitschr. f. angew. Math, u. Mechanik 8, 292 — 309 (1928).
festgehalten, w as j a n ich ts anderes b ed eu tet, als d aß d u rch sch n ittlich je d e d er n W a h rsc h ein lich k eiten tiMi) w ie — b ei w ach sen d em n a b n im m t
v ' n
(w ährend fü r die „ g r o ß e n " W a h rsc h ein lich k eiten by(o) die en tsp rech en d e Z a h l a0 m it n u n b eg re n zt w äch st). D a s in teressa n te E rg eb n is (11) g e s ta tte t eine sehr ein fach e D e u tu n g , die die P la u s ib ilitä t des R e s u lta ts erkenn en lä ß t : M an k a n n m it seltenen E reign issen so rech n en , als ob m u n a b h än gige A lte rn a tiv e n zw isch en je einem v o n ihnen und dem n ic h t seltenen A u s g a n g vo rläg en .
A u s d ieser F o rm e l fo lg t a u ch u n m itte lb a r die lim es-F o rm el fü r ‘mn{x) b ei d em g esch ild erten G re n zü b e rg an g : E s is t ein fach
(12) lim h)„(a?) = £ x i) ■ ■ • v ( amm, x m) ■ n -> 00
D ie Sum m e e rs tre c k t ü b er die K o m b in a tio n en d er gan zen p o sitiven Z ah len x v . . . x m, fü r die
m
= X n = 1
ist. Im m erhin is t diese S u m m ieru n g v e rh ä ltn is m ä ß ig leich t d u rch zu fü h ren , d a die x kleine Z ah len sind . M an sieh t ab er, d a ß h ier b ereits (in 12) die einfache F orm der PoissoN schen F u n k tio n v e rlo ren g e h t, d aß die m P a ra m e te r ax . . . am e x p lizite im R e s u lta t a u ftrete n , o b gleich sie in die F ra g e s tellu n g n ic h t ein geh en, d a ß also der G ren zü b er
g a n g fü r die S u m m en b ild u n g im reinen F a ll seltener E reig n isse eig en tlich zu keinem befriedigenden R e s u lta t fü h r t 1. D a s eig en tlich e E rg eb n is lieg t 1 F aß t man die gewöhnliche Alternative^ also m = 1, aber bei wechselnder Wahrscheinlichkeit qv, (v = 1, . . . n), ins Auge, so resultiert, wie v. Mi s e s ge
zeigt hat, für tt>„ (x) noch die ursprüngliche Form 60*
8 i6 P o l l a c z e k - G e i r i n g e r : Statistik seltener Ereignisse. r Die N a tu r
w issen sch afte n
h ier in der in ( n ) au sgesp roch en en statistisch en U n a b h ä n g ig k e it selten er E reign isse. H ä lt m an (12) m it der F u n d a m en ta lfo rm e l (9) zusam m en, so er
k e n n t m an, d a ß der P o isso N sch e n F u n k tio n n ie
m als eine so u m fassen d e u n d in teressan te R o lle zu gesch rieb en w erd en k an n , w ie der b erü h m ten G Atrssschen. B e i S u m m en b ild u n g rep ro d u ziert sich diese, jen e n ic h t!
W a s in d er P r a x is a n g ew a n d t w ird , is t n atü rlich w ied er n ic h t u n m itte lb a r die lim es-F o rm el (11) oder (12), w ie ja ü b e rh a u p t der PoissoN sche G ren z
ü b erg an g, b ei dem , w ie w ir frü h er ü b erleg t haben, jedesmal, w en n m an zu einem größeren n übergeh t, die V erteilu n g e n a ller U rn en sich ändern, n u r eine m a th em a tisch e H ilfsv o rste llu n g ist. D as, w as g e s u ch t w ird , is t ein N äh eru n gsw ert fü r lmn{x) bei g roßem n. U n d es z e ig t die m a th em a tisch e Ü b e r
legung, d aß m an m it R e c h t als N äherungsform el den A u sd ru ck
(13) »„(äs) ~ 2 v K ; *1) • • • Xn)
b e n u tzen k a n n , w en n m an es b ei größerem n m it v e rh ä ltn ism ä ß ig klein en E rw a rtu n g sza h le n a u, {fi — I , . . . m) zu tu n h a t.
E in e u n m ittelb a re Illu stra tio n sm ö g lic h k e it b ie t e t im B e re ic h d er B e vö lk e ru n g sle h re die S tatistik der M ehrlingsgeburten. W ir h ab en oben gesehen, w ie m an eine S ta tis tik der Z w illin g sg eb u rten n ach d er eindim ensionalen P o isso N sch e n F o rm el in te r
pretieren kan n , in d em m an diese S ta tis tik d u rch N M on ate v e rfo lg t, d as a rith m e tisch e M itte l ax der b e o b a ch te te n m o n atlich e n A n za h len der Z w illin g s
g eb u rten re ch n e t u n d n ach sieh t, ob die re la tiv e n H ä u fig k e ite n v o n x = o, 1, 2, . . . Z w illin g sg eb u r
te n d em P o isso N sch e n x) fü r x = o, 1, 2, . . . e n tsp rech en . E b e n so kan n m an d an n ein a 2 = 0,027 fü r D rillin g sg eb u rten b estim m en , ein a3 — 0,00038 fü r so n stige M eh rlin gsgeb u rten u n d in gleich er W eise vo rgeh en , usw . D ie A n w en d u n g b zw . P r ü fu n g u n serer neuen S u m m en form el (12) w ird n u n darin b esteh en , ein erseits a u s den ^(a^, x ), V> (aa; x) . . ., deren P a ra m e te r die E in z e lsta tis tik e n g e liefe rt h ab en , th e o retisch n a ch (12) die W a h r
sch e in lich k eit d a fü r zu rech n en, d a ß (in dem b e o b ac h teten Z eit- u n d B e vö lk e ru n g sk re is) eine b e stim m te G esa m tza h l x vo n K in d e rn geb oren w ird, die irgendwelchen M eh rlin gsgeb u rten e n tstam m en . A n d e re rse its lie fe rt die S ta tis tik aller M eh rlin gs
g e b u rte n die re la tiv e n H ä u fig k e ite n fü r d as E n t steh en vo n x K in d ern au s M eh rlin gsgeb u rten , und d iese re la tiv e n H ä u fig k e ite n sind m it d en re c h n erisch gefu n d en en W a h rsc h ein lich k eiten zu v e r gleichen.
M an sieh t, d a ß diese Ü b erleg u n g , w en n m an d ie A n w e n d b a rk e it d er ein fach en P o isso N sch en F o rm e l als ge sich e rt an sieh t, eben d a ra u f
e ~", w o b e i für a s t a t t n q w ie im B E R N O U LLischen x\
Falle qx + • • • + ? » zu setzen ist. Dieses R esultat bildet ein Zwischenergebnis zwischen dem einfachen Ergebnis (6) unseres II. Teils und der hier m itgeteilten Formel
h in au sk o m m t, die statistisch e U n a b h ä n g ig k e it d er M eh rlin gsgeb u rten zu prüfen, die ja v o n vo rn h erein p lau sib e l ersch ein t. M an e r w a r te t n ich t, d a ß die W a h rsc h ein lic h k eit für die G e b u rt vo n a Z w illin g en u n d b D rillin g en in einem M o n at eine and ere sei, als d as Prod u kt der beiden E in ze lw a h rsch ein lich k e iten . D a s gleich e gilt fü r and ere seltene E reign isse. Z . B . sch ein t es selbst
ve rstä n d lich , d a ß zw isch en ein er S ta tis tik der durch H u fsc h la g G e tö te te n u n d einer der d u rch A b stu rz vo m F lu g z e u g U m gek o m m en en kein erlei A b h ä n g ig k eiten b e ste h en . A n d ererseits w ird m an g ew iß ann eh m en , d a ß die S ta tistik e n der d u rch T u b e rk u lo se u n d e tw a d er am H e rzsch la g G esto r
benen solche A b h ä n g ig k e ite n a u f w eisen. D e r m a th em a tisch e G ru n d fü r d iesen U n tersch ied lieg t d arin , d a ß d o rt, w o es sich u m seh r seltene T o d es
a rten h a n d elt, fü r den ein zeln en eine versch w in d en d k lein e W a h rsc h ein lic h k eit b e ste h t, b eid en R isik en a u sg e se tzt zu sein. D iese W a h rsc h e in lic h k e it ist eben vo n der G rö ß en o rd n u n g des P r o d u k te s zw eier klein er G rö ß en .
Sin d a b er die W ah rsc h ein lich k eiten der b e trach tete n E reign isse m it E in s ve rg leich b ar, so v e r s ch w in d et die sch ein b are U n a b h ä n g ig k e it. D iese V erh ä ltn isse w erd en a u ch d u rch d as m ehrdim en
sionale G a u s s s c h e Gesetz w ied erg egeb en , w elches aus to„ (xv . . . x m) bei W a h rsc h ein lich k eiten gleicher, end lich er G rößenordnung fü r je d e L o sso rte resu l
tie rt, u n d in d as ta ts ä c h lic h Koppelungsglieder ein- gehen. D ieses G esetz, d as w ir h ier n ic h t fo rm el
m ä ß ig an g eb en w ollen , fin d e t z. B . in der G a s
th eorie A n w en d u n g , w en n die W a h rsc h ein lich k eit einer b estim m ten „ in d iv id u e lle n A u fte ilu n g “ der G esch w in d igk eiten b e rec h n et an d sp eziell die sog.
M A X W E L L s c h e G e sc h w in d ig k e itsv e rte ilu n g b e tra c h t e t w ird .
M an w ird sch lie ß lich einen „g e m is c h te n “ F a ll u n tersu ch en , d. h. einen lim {xlt . . . x m) be-
n^yoo
stimmen, falls nicht, em eW ahrscheinlichkeit „g ro ß “ , alle anderen „k le in “ sind, wie im reinen P oissoN schen F all; und auch nicht alle groß wie im reinen GAUSSSchen, sondern zw ei oder mehrere große, sonst kleine W ahrscheinlichkeiten vorhan
den sind. M athem atisch h eißt das wieder, daß gewisse E rw artungsw erte bei n -> °° endlich bleiben, andere unbegrenzt wachsen. E s ergibt sich das plausible R esultat, daß im limes ein P ro
d u kt von GAUSSSchen und PoissoN schen F u n k tionen auftritt, derart, daß die GAUSSSchen F u n k tionen m iteinander gekoppelt sind, während die PoissoNschen voneinander, wie auch von den GAUSSSchen unabhängig erscheinen. W enn also z. B . drei große, zwei kleine W ahrscheinlich
keiten vorhanden sind, die säm tlich von Zug zu Z ug sich ändern dürfen, so sieht die W ahrschein
lichkeit to»(a^, x 2, x 3, x 4), dafür in n Zügen x 0, x v x 2 K u geln d er häufigen, x 3, x A K ugeln der seltenen A rten zu erhalten, so aus:
(14) » „ (xlt x 2, x 3, x j ~ p (x v x 2) yj(a3; x 3) n>{a^\aj4) , dabei ist <p(xi, x 2) eine zweidimensionale GAUSSsche
H eft 44. 1
2. 1 1 . 1928J P o l l a c z e k - G e i r i n g e r : S tatistik seltener Ereignisse. 817
F u n k tio n , die so gerechnet w ird , als ob die kleinen W ah rsch ein lich k eiten gar n ich t vo rh a n d en w ären . D iese gem ischte Form el (14) e n th ä lt gew isser
m a ß en den reinen P o i s s o N s c h e n w ie a u c h den e r w ä h n t e n reinen G A U S S s c h e n F a ll als S p e z ia l
fälle.
D e r limes der allgem ein en ein dim ension alen S um m enw ahrscheinlichkeit it)„(a;), d er im reinen P oissoN schen F a ll d u rch (12) gegeb en w ar, fü h rt hingegen im gem ischten F a ll a u f n ich ts N eu es;
denn sobald m ehr als eine gro ß e W a h rsc h ein lich k eit vorliegt, sobald also n icht der reine P o isso N sch e F all in B e tra c h t k o m m t, sind, w ie die m a th e m atische Ü b e rle g u n g leh rt, die V o ra u ssetzu n g en des F u n d am en talsatzes e rfü llt u n d 1vn(x) g e h t auch bei dem gem isch ten G ren zü b ergan g gegen die E x p o n en tialk u rv e m it n u r zw ei P aram etern .
E in A n w en d u n g sb eisp iel der w ich tig e n ge
m ischten F o rm e l (14) b ie te t e tw a eine S ta tis tik der Selbstmorde, w en n m an E rw a ch sen e (M änner und Frauen) u n d K in d e r (K n a b en u n d M ädchen) g esond ert b e tra c h te t, u n d d a b e i T a te n der beid en ersten Gruppen als — in n erh a lb des b e tra ch teten K o lle k tiv s — h äu fige, der b eid en le tzten G ruppen als seltene E reign isse b e tr a c h te t. A u ch in d er Ver
erbung sstatistik ist die F o rm el heranzu zieh en . J ed esfalls kön nen w ir sagen, daß den P o is s o N schen F o rm eln eine zw ar m inder b edeutsam e, a b er doch in m anch er H in sich t analoge S tellu n g zukom m t, w ie dem berüh m ten GAU ssschen G esetz.
D enn au ßer der im F a lle der ein fach en A lte rn a tiv e bestehenden F o rm el (6), gelten b e i allgem einen, d er P roblem stellu ng des F u n d a m en ta lsa tzes n a c h gebild eten Fragen, im F a lle des G ren zü b erg an ges b ei festem E rw a rtu n g sw ert die E rg eb n isse (11), (12) und (14), die uns in die L a g e versetzen , a u ch in kom plizierten F ällen die S ta tis tik selten er E r e ig nisse in rationeller W eise zu verfo lgen .
S ch ließlich finden w ir die ein fach e P o isso N sch e F o rm el au ch in F ä lle n w ieder, die sich keinem der gen an nten Schem en der S u m m en b ild u n g im w eitesten Sinn un terord n en , w o ab er d och d u rch R e ch n u n g als G renzform el fü r seltene E reignisse in teressan terw eise das a- - G e s e t z re su ltie rt. E in
x\
B eisp iel b ie te t die T h eorie der Iterationen1. H ier f a ß t m an „ la n g e " Ite ra tio n e n als seltene E r eignisse a u f; lan g h eiß t d a b ei eine Ite ra tio n , w enn sie in nerh alb des B e o b a ch tu n g sm a teria ls einen k lein en E rw a rtu n g sw ert b e sitzt, also z. B . eine Ite ra tio n vo n 18 -m al ,,noir“ in 50000 Sp ielen. E s z e ig t sich, d aß die relativ e H ä u fig k e it einer Ite ra tio n vo n der L än ge x ann äh ernd d u rch ty (a ; x) (w ob ei a gleich dem E rw a rtu n g sw ert) gegeben ist.
In te re ssa n t is t au ch die von G. Pö l y a u n te r
1 Vgl. dazu R . v. Mi s e s, Das Problem der Itera
tionen. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech. 1, 298 — 307.
1 9 2 1; sowie: Ma r b e s,, Gleichförmigkeit in der W elt“ und die W ahrscheinlichkeitsrechnung. Naturwissenschaften
7, i68ff. 1919.
su ch te „ W a h rs c h e in lic h k e its a n s te c k u n g “ 1, die m an sich d u rch ein U rn en sch em a ve ra n sc h a u lich t, d er
a rt, d a ß n a ch jed em Z u g einer, sagen w ir, sch w arzen K u g e l, eine b estim m te Z a h l vo n sch w arzen K u g eln in die U rn e h in ein geleg t w ird , so d a ß m an es m it ein er „C h an cen V erm eh ru n g d u rch E r fo lg “ zu tu n h a t, w o b e i die W a h rsc h ein lich k eit jed es neuen Z u ges v o m vorh ergeh en d en a b h ä n g t; also e tw as gan z an d eres als b is h e r ! A n g ew en d e t w u rd e diese Ü b e rle g u n g a u f U n tersu ch u n g realer A n steck u n g (B la tte rn ep id e m ie in der S ch w eiz). W en n m an hier d as ein zeln e E re ig n is — den ein zeln en K ra n k h e its fa ll — als „ s e lte n “ an sieh t, so re su ltie rt au ch hier ein A n a lo g o n zu m y -G e s e tz .
V . Beschreibende Statistik.
K ollektivm a ß lehre.
A b e r in vie len F älle n , ja w o h l in der ü b er
w iegen den M eh rh eit derselben, w ird die L ö su n g eines statistisch en P ro b lem s im ob igen Sinne, die V erg leich u n g der re la tiv e n H ä u fig k e ite n m it W a h rsch ein lich k eiten in nerh alb eines geeigneten w oh ld efin ierten K o lle k tiv s b e i den vorh an d en en M itteln ü b e rh a u p t n ic h t gelingen, d a o ffen b ar die id ealisierten U m stä n d e, w elche die versch ie denen S ä tze d er W a h rsc h ein lich k eitsre ch n u n g p ostu lieren , in d er W ir k lic h k e it m eist nur u n vo llk o m m en vo rlieg en . In solch em F a lle b e d e u te t es fü r die m a th em a tisch e S ta tis tik ein H em m n is, n ic h t eine F ö rd eru n g , w en n m an sich b em ü h t, ein b elieb iges M a te ria l au s v o rg e fa ß te n Id een in einen R a h m en zu pressen, in den es s ic h t
lich n ic h t p a ß t.
In solch en F ä lle n , deren G esetz w ir eben noch n ich t kenn en, w ird m an sich d a m it begn ü gen , zu n äch st die Abw eichungen v o n d em Id e a lfa ll s y ste m a tisch zu u n tersu ch en , die Unterschiede der em p iri
schen V e r te ilu n g u n d d er d u rch die N orm kurven gegebenen, zu ve rste h en u n d d a rzu stellen . G en au er gesprochen, m an w ird sich zu n ä ch st bem ühen, ge
eignete Z a h len anzugeben, die in sy ste m atisch e r W eise, die s ta tistisc h e R e ih e als G an zes genom m en, m ö glich st a n sch a u lich u n d v o lls tä n d ig c h a ra k te ri
sieren. E in ig e solche Z ah len — die w ic h tig ste n — h a b en w ir schon kennen gelern t. E s w aren die A n z a h l N der B e o b a c h tu n g e n : N = S f ( x ) , der M itte l
w e r t oder E rw a rtu n g s w e rt
d ie S treu u n g
o2 = S ( x
M it der B estim m ung und dem S tu d iu m solcher Zahlen b e sc h ä ftig t sich die sog. K ollektivm aßlehre, die als ein e A r t von b esch reib en d er S ta tis tik einen T eil oder e ig e n tlic h eine V o rs tu fe einer rationellen , th e o re ti
sch en S ta tis tik b ild e t. E s lie g t der G ed an ke nah e, sow ie m an in d er m ath em atisch en P h y sik W illkü r- 1 G. Pö l y a u. Eg g e n b e r g e r, Über die Statistik verk etteter Vorgänge, Zeitschr. f. angew. Math. u.
Mech. 3, 279 — 289.
8i P o l l a c z e k - G e i r i n g e r : Statistik seltener Ereignisse. f D ie N a tu r
wissenschaften
lieh e F u n k tio n e n e tw a in Fou R iE R sch e R eih en e n t
w ic k e lt, u m in den K o e ffiz ie n te n d er R eih e ein Z a h le n sy ste m zu b esitzen , d as d ie em pirisch e K u r v e v o lls tä n d ig ch a ra k te risie rt, a n a lo g eine em pirisch irgen d w ie (graph isch od er tab ellarisch ) gegeben e H ä u fig k e its k u rv e , fü r die zu n ä c h st ein e x a k te s V e r g le ic h s k o lle k tiv — ein e w a h rsch e in lich k eits
th e o retisch e E rk lä r u n g — feh lt, in eine geeignete Reihe zu en tw ic k eln . N a tü rlich wird durch eine derartige Entw icklu ng noch kein statistisches Problem gelöst, so w en ig w ie d u rch die b lo ß e A u fsu ch u n g der F o u R iE R -K o effizie n te n d er eingehend en F u n k tio n en ein e F ra g e s te llu n g d er m ath em atisch en P h y s ik erled ig t w ird , a b er h ier w ie d o rt lie g t eine V o rstu fe, u n te r U m stä n d en ein A n s a tz zu einer L ö su n g v o r.
Z u r E n tw ic k lu n g w illk ü rlich er V e rteilu n g e n f sind zw ei R eih en a n g egeb en w ord en, die schon seit läng erer Z e it b e k a n n te <p-Reihe, a u ch n a ch ih rem B egrü n d er als BRUNSsche R e ih e b ezeich n et, und die
^j-Reihe, die m an a u s d em selb en G ru n d e die Ch a r- L iE R S c h e nen nen k a n n 1. D a s sind R eih en , die n ach gew issen S y stem e n cpi b zw . xpit (i — o, x, 2, . . .) fo rts c h r e ite n :
co Vo + ci V i + • • • >
°0 Vo + fll V l + ---
D a b e i sind die A n fa n g sg lied e r <p0 b zw . tp0 gleich den vo n uns b e tra c h te te n Ga u s ssehen b zw . P o isso N sch e n F u n k tio n e n (2) u n d (3) ge
w äh lt, so d a ß sich, w en n gew isse id ealisierte U m stän d e z u tre ffe n , die w ir in A b s c h n itt I I b is I V dieses A u fs a tze s besp roch en h ab en , die b etreffen d e R eih e a u f d as erste G lied red u ziert. So kan n m an z. B . unsere A u sga n g sfo rm el, die arith m e tisch e V e r te ilu n g 'mn{x) = — q)n~x in eine i/;-Reilie en tw ic k eln u n d ve rfo lg e n , w ie bei w ach sen d em n alle G lieder, m it A u sn a h m e des ersten , in d e rW e ise abnehm en, d a ß fü r lim v o n der gan zen R eih e
n->oo
sch ließ lich n u r das erste G lied ü b rig b le ib t. D ie 95-Reihe d ie n t in erster L in ie zu r D a rs te llu n g geo
m etrisch er V e rte ilu n g e n od er V e rte ilu n g sd ic h te n (das M erkm al x, die u n ab h än g ig e V a ria b le , d u rch lä u ft die W e rte eines K o n tin u u m s), d ie ip -ü eih e zu r D a rs te llu n g a rith m e tisc h e r V e rte ilu n g e n (dis
krete s M erkm al, x = o, 1, 2, . . .). B e i em pirisch en V erteilu n g e n b ild e t d as a llerd in gs keinen stren gen U n tersch ie d ; diese sind , gen au gen om m en, ste ts d is
k rete a b er o ft w ird m an es vo rzieh en , sie als k o n tin u ierlic h e in te rp o lie rt zu d en ken .
W e n n m an an d ie F u n k tio n e n sy ste m e cpi und tyi, (i = 1 , 2 , . . ,) m a th e m a tisc h u n d sach lich p la u sible F o rd eru n g en ste llt, b le ib t in der W a h l der höheren <pt u n d 1pt k ein e gro ß e W illk ü r. D ie Br u n s- sche R e ih e sc h re ite t n a ch den sukzessiven A b leitungen d er G A U sssch en F u n k tio n <p0, die Ch a r-
V1 =
L iE R s c h e n a c h d e n s u k z e s s i v e n D ifferenzen d e s P o i s s o N s c h e n tpQ f o r t .
d ( p0 _ dcpx d x ’ d x ip1(x) = — y 0(x) + ip0(x - 1), yj2(x) = - V l (a>) + v»i(* - 1), . . .
M an k a n n sich diese F e s ts e tz u n g d u rch folgende Ü b e rle g u n g p lau sib e l m a ch e n : D en k en w ir uns, um ein erseits a u f jed en F a ll zu einer, w enigstens stü ck w eise stetig e n F u n k tio n zu gelan gen , a n d erer
seits die W illk ü rlic h k e ite n d er em pirisch en V e r te ilu n g m ö g lic h st a u szu gleich en , (es ergeben sich n äm lich — g ra p h isc h — fü r d ie em pirisch e V e r te ilu n g ~ f { x ) , ] e n a ch d em , a u f w ie v ie l D ezim alen gen au m an b e o b a c h te t, e n tw e d e r v ie le d ic h t a n ein an d er liegen d e k ü rzere, o d er w en ige längere S trich e, also re c h t versch ied en e B ild e r), zu einem B ild e d er oben b e tra c h te te n A r t die Integralkurve gezeich n et. D a s is t eine m o n oto n vo n N u ll b is E in s an steig en d e K u r v e S(x), b e i einer a rith m etisch en A u s g a n g s v e rte ilu n g eine T rep p en lin ie, die zu jed em x die re la tiv e Z a h l der B e o b a ch tu n g en a n g ib t, d ie k lein er od er gleich x sind.
M an kan n S(x) m it ein er p assen d gew äh lten Norm kurve N( x ) ve rg leich en , in d em m an eine K o n sta n te c so b e stim m t, d a ß S[x) — c N( x ) — S x(x) m ö g lich st klein w ird in ein em g e n au e r zu p rä zisie ren d en Sin n . D ie R e s tflä c h e S ^ x ) w ird m an in gleich er W eise „a u fsu m m ie re n “ , in d em m a n das
[ S ^ x ) d x
1 Vgl. Ch. C h a r l i e r , Über das Fehlergesetz, Ark.
f. Mat. 2, 1905/06 Nr. 8 und ebenda: Nr. 20 Über die Darstellung willkürlicher Funktionen.
b ild e t und c0 so b e stim m t, d aß x
J S x(x) d x = c0 N( x ) + S 2[x)
m it m ö g lich st kle in e m R e s t S 2(x) ; m it S 2 v e rfä h r t m an eben so:
x
f S 2(x) d x = Cj N( x) + S 3(x)
usw . D a s V erfah re n k o m m t, w ie m an sieh t, d a ra u f hinau s, S(x) in eine n a c h d en su k zessiven A b leitu n gen einer N o rm fu rik tio n N (x)\ fo rtsch reiten d e R eih e zu e n tw ic k e ln :
S{x) = cN{ x) + c0N '{x ) + cxN " (x ) + . . . In den K o e ffiz ie n te n d ieser R e ih e w ird m an die gew ü n sch ten C h a ra k te ristik e n des B e o b a c h tu n g s m a te ria ls erb licken.
V o n dem allgem ein en , h ie rd u rch angeregten G ed an ken , der d a rin b e ste h t, R eihen zu studieren, die nach den sukzessiven A bleitungen einer geeig
neten F u n k tio n fortschreiten, sind fü r die W a h r sch e in lich k eitsre ch n u n g die b eid en g en an n ten S p e zia lfä lle vo n B e d e u tu n g g e w o r d e n : D ie ä ltere, schon a u f Be s s e l zu rü ck g e h e n d e Id ee, fü r N '(x ) die klassisch e N o rm fu n k tio n der W a h rsc h ein lich ke itsrech n u n g
1 (x-ot)*
<p0{x) = ----. e 2(7a y 2 n o
