f ( x )=¿¿ x,x ∈{ 1,2,3 } 1 ¿¿ x ,x ∈[ 0,3 ){ 1,2 ¿¿¿ Wykład X

Wykład X

Przypomnienie:

1. Z: f ∈C

,F− pierwotna do f na [a,b]

T: ∫

a b

f ( x)dx=F (b)−F (a )

2. {x :f ( x )≠g( x)} jest zbiorem miary Riemanna 0

to ∫

a b

f ( x)dx= ∫

a b

g( x)dx

a c b

3.

∫

a b

f ( x)dx= ∫

a c

f (x )dx+ ∫

c b

f ( x)dx

Przykład 10.1

∫

0 3

f ( x)dx

¿

¿

¿x², x ∈ [ 0,3 ) { 1,2

¿

¿ 1

x , x ∈ {1,2,3 } f ( x )=¿

¿

Ta funkcja nie jest ciągła, lecz

{x :f ( x )≠x

}

ma miarę Riemana 0 zatem

∫

0 3

f ( x)dx= ∫

0 3

x

dx = 1 3 x

| 3

0 =9−0=9

Przykład 10.2

∫

0 2

f ( x)dx f (x )= { x , x∈[0,1 ]

1−x ² , x∈(1,2 )

rys. y

1

Punkt uciąglenia

x

1 2

Funkcja ma 1 punkt nieciągłości i nie da się zmienić wartości tak aby uciąglić.

(3)Rozpiszemy na 2 całki

∫

0 2

f ( x )dx= ∫

0 1

xdx+ ∫

1 2

(1−x

) dx= x

2 | 1

0 +( x− x

3 )| 2

1 = 1

2 −0+2− 8 3 −1+ 1

3 = 1 2 + 1− 7

3 =…

aby były spełnione założenia tw. N-L

należy domknąć przedział [1,2]

Jeżeli funkcja jest nieograniczona nie da się bezpośrednio skorzystać z tw. N-L wtedy mamy do czynienia z całkami niewłaściwymi

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

Założenia tw. Newtona-Leibniza funkcja ciągła

[a,b]-domknięty i ograniczony

1) f ∈C

, f nieciągła w a (x=a asymptota pionowa prawostronna) y

x

a

b

a

a

b

a

← α wówczas:

∫ a b

f ( x)dx= lim

α → a

∫

α b

f ( x)dx=( ⊗)

są spełnione zał. tw. N-L

Jeżeli granica ( ⊗) istnieje i jest liczbą skończoną to powiemy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, w przeciwnym przypadku powiemy, że całka jest rozbieżna.

(tzn. jeżeli ta granica jest niewłaściwa lub nie istnieje) 2)

1

.

2

2) f ∈C _{[ a ,b )}

nieciągła w b (x=b – asymptota pionowa)

∫

a b

f ( x)dx= lim

β→b⁻

∫

a β

f ( x)dx

reszta analogicznie jak w 1) 3)

[ a , b ] { x

f ( x )∈C

¿ nieciągła w x

∫

f ( x )dx= ∫

a x₀

f (x )dx + ∫

x₀ b

f ( x )dx = lim

α→ x⁻₀

∫

a α

f ( x )dx+ lim

β → x⁺₀

∫

β b

f ( x )dx

Przykład 10.3

I= ∫

0

2

dx

3

√ ^x−1

Punkt nieciągłości jest wewnątrz przedziału(Nie spełnia założeń tw. N-L jak w 3))

I= ∫

0 1

dx

3

√ ^{x−1 +} ∫

1 2

dx

3

√ ^{x−1 =}

^lim

∫

0

α

dx

√

^{x−1 +}

^lim

∫

β

2

dx

√

^x−1

Obliczenie pomocnicze:

∫

^dx

√ ^{x −1 =} { dx =3 t ^√

^{x−1=t x−1=t}

dt

} ^{=3 ∫ t t}

^{dt= 3 2 t}

^{+C= 3 2 √}

^{( x−1)}

^+C

I= lim

α → 1⁻

3 2

√

^{( x−1)}

^{| α} ₀ ⁺ lim

β →1⁺

3 2

3

√ ^{( x−1 )}

^{| 2} _β ⁼ lim

α → 1⁻

3

2 [ _√

^{(α −1)}

⁻ √

¹ ] ⁺ lim

β→1⁺

3

2 [ ¹⁻ _√

^{( β−1)}

] ^{=− 3} ₂ ^{+ 3} ₂ ⁼⁰

Przykład 10.4

I= ∫

−1 1

dx

x

D : R { 0¿

¿ ¿ ¿

α

β

-1 0 1

I= ∫

−1 0

dx

x + ∫

0 1

dx

x = lim

α→0⁻

∫

−1 α

dx

x + lim

β→ 0⁺

∫

β 1

dx

x = lim

α →0⁻

ln|x|| α

¿

−1

+ lim

β→ 0⁺

ln|x|| 1 β

=

¿

=

lim

α →0⁻

(ln|α|−ln|−1|)+

lim

β →0⁺

(ln|1|−ln|β|)=^[−∞+∞^]

- symbol nieoznaczony.

-∞ 0 0 +∞ granica nie istnieje

⇒

Wydawałoby się, że zaznaczone pola są identyczne, ale oba są nieskończone, więc się NIE redukują.

α →0

β →0

]

niezależnie od siebie (nie tak samo)

Jeżeli

α=−ε

β=+ε }

lim

ε →0

[ln|−ε|−ln|ε|]=0

Wartość Główna Całki Niewłaściwej

Jeżeli

f ∈C_[¿_{a ,b ]}{x₀

¿ ¿ ¿

lim

[

^∫

f ( x )dx + ∫

x₀+ε b

f ( x )dx ] - Wartość Główna Całki Niewłaściwej

II typ całek niewłaściwych

(przedział całkowania jest nieograniczony)

Z: f – ciągła

A

1

∫

−∞

b

f (x )dx= lim

A →−∞

∫

A b

f (x )dx

b

A →−∞

2

∫

a +∞

f ( x)dx= lim

B→+∞

∫

a B

f ( x)dx

3

∫

−∞

+∞

f ( x)dx= lim

A →−∞

B →+∞

∫

A B

f ( x)dx

Przykład 10.5

D: x

−4 x+7≠0 Δ=16−28<0

D=R

Obliczenie pomocnicze:

I= ∫

−∞

1

dx

x

− 4 x +7

I= lim

A →−∞

∫

A

1

dx

x

− 4 x+7

Wniosek 10.1 (całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej)

Jeżeli F pierwotna do f na [a,b], to ( F ∘ϕ ) jest pierwotna do ( f ∘ϕ ) ⋅ ϕ

(tzn. ∀

t∈[α , β]

[ ^{F ( ϕ ( t ) )} ]

^{=f ( ϕ ( t ) ) ⋅ ϕ}

^{( t )}

) Dowód:

L= ∫

a b

f ( x )dx =

F (b )−F (a )

P= ∫

α β

f ( ^{φ ( x )} ) ^{⋅ ϕ}

^{( t ) dt=F} ( ⏞ ^{ϕ ( β )} )

b

−F ( ⏞ ^{ϕ ( α )} )

a

L=P

Przykład 10.6

∫

√ ^e

^{−1 dx=}

e

−1≥0 e

≥1

x≥0 { ^{e √ dx= e e}

^e

^{dx=2 tdt}

^{−1=t =t}

^{−1=t t}

^{2 t +1 +1}

} ^=¿

D=[0,+∞)

tworzymy tabelkę zmieniającą gr. całkowania.

x 0 ln2

t 0 1

∫ ^dx

( x−2 )

+3 = { ^x−2= dx= √ ^{3 dt √ 3t} } ^{= ∫} 3 t ^{√ 3 dt}

+3 = √ ³

3 ∫ ^dt

t

+ 1 = √ ³

3 arctgt+C= √ ³

3 arctg x−2

√ ^{3 +C}

= √ ³

3 ⋅ π 3 = √ ³

9 π

I= lim

A →−∞

√ ³

3 arctg x−2

√ ^{3 |}

1

A = lim

A →−∞

√ ³

3 [ ^{arctg ( −1 √ 3 ) −arctg ( A−2 √ 3 )} ] ^{= lim}

[ ^{√ 3 3 ( − π 6 ) − √ 3 3 ( − π 2 )} ] ⁼

Z : f ∈C

, ϕ : [ α , β ] → [ a ,b ] −bijekcja ϕ∈C

, ϕ ( α ) =a∧ϕ ( β ) =b T : ∫

a b

f ( x )dx= ∫

α β

f ( ^{ϕ ( t )} ) ^ϕ

^{( t ) dt}

¿= ∫

0 1

t⋅ 2 t

t

+1 dt=2 ∫

0

1

t

+ 1−1

t

+1 dt=2 ∫

0 1

( ^{1− t}

^{1 +1} ) ^{dt=2 [ t−arctgt ] | 1 0 = 2⋅ [} 1−arctg 1−0+arctg 0 ] =2 ( ^{1− π} 4 )

= ^π ₂

bez powrotu do starej zmiennej

Wniosek 10.2 (całkowanie przez części) Z :u ,v∈C

[ a , b ]

T :

∫

a b

u ( x )⋅v^'(x ) dx=u ( x )⋅v ( x )|b a−

∫

a b

u^'( x)⋅¿v (x ) dx

¿

Zastosowania Geometryczne Całki Oznaczonej

1. Pole obszaru:

D: { ( x , y ) ← R

: x∈ [ a , b ] ∧ϕ ( x ) ≤ y≤ψ ( x ) , ^{ϕ, ψ ∈C}

}

a)

a b

|D|= ∫

a b

[ ψ ( x)−ϕ( x ) ] ^dx

- wynika to bezpośrednio z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej

Współrzędne biegunowe y

( x, y) -współ. kartezjańskie P

y P ( r ,ϕ ) -współ. biegunowe punktu P

r- długość promienia wodzącego, (odległość P r od początku układu) ϕ ^ϕ -kąt skierowany pomiędzy promieniem wodzącym i dodatnimkierunku osi OX w dodatnim

r∈ [ 0,+∞ ]

ϕ∈R

Związek pomiędzy współrzędnymi biegunowymi i kartezjanskimi:

{ ^{x=r cosϕ} y=r sin ϕ

Przykład 10.7

Równanie biegunowe Lemniskaty Bernoulliego

( x

+ y

)

=a

( x

− y

)

Wprowadźmy współ. biegunowe

{ ^{x =r cosϕ} y=r sin ϕ ⇒ x ² + y ² =r ²

;

r=|a| √ ^cos2ϕ←

Uwaga: Obowiązuje nas założenie

r≥0⇔ cos2 ϕ≥0 cos2 ϕ≥0

− π

2 +2 kπ≤2ϕ≤ π

2 +2 kπ /: 2

− π

4 +kπ ≤ϕ≤ π 4 +kπ

φ

−π

4

π

4 π−π 4 π

π +π

4 ϕ=π−π

4 y ϕ=π 4

−|a| |a|

ϕ=π +π

4 ϕ=−π

4

b )Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną równaniem biegunowym i półprostymi φ=α i φ=β.

r

= a

r

( cos

ϕ−sin

ϕ ) /: r

r

=a

cos2 ϕ

D: { ^{( x, y ) = R}

^: { ^{x=r cos ϕ} y=rsin ϕ ϕ∈ [ α , β ]

0≤r≤r ( _ϕ )

|D|= 1 2 ∫

α β

r

(ϕ )dϕ

Tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału

[ α , β ]

Pole zawarte pomiędzy φk , φk+1 i krzywa r=r( φ) przybliżamy jako Pk - wycinek koła o promieniu r(ξk). Pola sumujemy.

k=0

∑

n−1

P

∑

k =0 n−11

2 r²

( ⏟

)

(

)

Δϕ_k

=σn

lim

n→∞

σ_n→0 k =0

∑

n−1

1

2 r ( ^ξ

) ^Δϕ

= 1 2 ∫

α β

r

( ϕ ) dϕ

Przykład 10.7 cd.

Obliczyć pole obszaru ograniczonego Lemniskatą Bernoulliego.

|D|=4|D

|= 4⋅ 1 2 ∫

0 π 4

a

cos2 d ϕ ϕ=2a

1

2 sin2ϕ|

π 4 0

= a

( sin π

2 −sin 0)=a

c) Pole obszaru ograniczonego krzywą zadaną parametrycznie.

D – ograniczony krzywą L:

{ ^{x=x (t) y= y (t)}

^t∈ [ ^t

t

]

osią OX i prostymi

x=x ( ^t

) ^{, x=x} ( ^t

)

y ( ^t

)

L

y ( ^t

)

x ( ^t

) ^x ( ^t

)

Z : ∀

t∈

[

]

y ( t ) ≥0∧x

( t ) >0

T :|D|= ∫

t₁ t₂

y ( t ) x

( t ) dt