Metody Probabilistyczne - wektory losowe
Zadanie 1. Niech X, Y będzie wektorem losowym o rozkładzie z gęstością f (x, y) := 3
2(x2+ y2)χ0<x<1,0<y<1
Proszę wyznaczyć dystrybuantę tego wektora losowego.
Zadanie 2. Niech X ma rozkład jednostajny na odcinku [−π, π] oraz Y = cos(X). Proszę obliczyć Cov(X, Y ). Czy zmienne X, Y są niezależne (proszę uzasadnić odpowiedź na mocy definicji).
Zadanie 3. Zmienne X, Y mają łączny rozkład dany poniższą tabelą.
X|Y 0 1 2
1 0.2 a b
2 c 0.1 d
3 f g 0.3
Czy istnieją takie stałe a, b, c, d, f, g aby
P (X = 1) = 0.51, P (X = 2) = 0.22, P (Y = 0) = 0.33, P (Y = 2) = 0.62.
Zadanie 4. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie wykład- niczym z parametrem a. Proszę wyznaczyć rozkład zmiennej Z = X+Y1 .
Zadanie 5. Zmienne X, Y mają łączny rozkład postaci f (x, y) = xcχ0≤y≤x,0≤x≤1. Proszę wyznaczyć stałą c oraz macierz korelacji wektora (X, Y ). Czy X, Y są niezależne?
Zadanie 6. Zmienne X, Y mają łączny rozkład dany poniższą tabelą. Proszę wyznaczyć rozkład łączny zmiennych Z = X + Y, W = X − Y oraz dystrybuantę tego łącznego rozkładu.
X|Y -1 0 1
0 1/16 1/4 0
1 3/16 1/8 3/16 2 1/16 1/16 1/16
Zadanie 7. Zmienne X, Y są niezależne i mają łączny rozkład dany poniższą tabelą. Ponadto wiemy, że P (X = 1) = P (X = 2) = 1/5. Proszę wyznaczyć stałe a, b, d, e, f, k, h.
X|Y -1 0 1
0 1/6 d 1/6
1 a e k
2 b f h
1
Zadanie 8. Zmienne X, Y mają łączny rozkład dany poniższą tabelą. Proszę wyznaczyć rozkład łączny zmiennych Z = X + Y, W = X − Y oraz dystrybuantę tego łącznego rozkładu.
X|Y -1 0 1
1 1/18 3/18 1/9
2 1/9 0 1/6
3 0 2/9 1/6
Zadanie 9. Rzucamy symetryczną kością dwukrotnie. Określmy zmienne losowe
• X - maksimum liczby wyrzuconych oczek
• Y - suma liczby wyrzuconych oczek
Znaleźć rozkład łaczny i rozkłady brzegowe podanych zmiennych.
Zadanie 10. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości: f (x, y) = 24xy3210<x<1,y>2 obliczyć:
• P (X < 1/2|Y > 6)
• gęstości brzegowe zmiennych X i Y .
Zadanie 11. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości: f (x, y) = k10<x<1,0<y<1,3y≤x
obliczyć:
• wartośc stałej k
• dystrybuantę łączną wektora losowego
• gęstości brzegowe zmiennych X i Y
• P(2Y<X<5Y)
Zadanie 12. W urnie jest sześć kul niebieskich i trzy czerwone. Losujemy dwie kule, niech X oznacza indykator zdarzenia, że pierwsza wylosowana kula jest czerwona, a Y , że druga wylosowana kula jest czerwona. Czy zmienne X i Y są niezależne gdy:
• losujemy ze zwracaniem
• losujemy bez zwracania
Zadanie 13. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parame- trami a i b. Jaki jest rozkład zmiennej X + Y ?
2
Zadanie 14. Niech X, Y , Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami a, b i c. Czy zmienne X + Z, Y + Z są niezależne?
Zadanie 15. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości f (x, y) = 2 ∗ 10<y<1,0<x<y. Czy zmienne losowe X, Y są niezależne? Wyznaczyć macierz kowarincji tego wektora.
Zadanie 16. Zmienne X, Y mają łączny rozkład postaci f (x, y) = kχ0≤x≤y,0≤y≤1. Proszę wyznaczyć stałą k oraz macierz korelacji wektora (X, Y ). Czy X, Y są niezależne?
Zadanie 17. Zmienne X, Y mają łączny rozkład postaci f (x, y) = c sin(x + y) χ0≤x≤π/2,0≤y≤π/2. Proszę wyznaczyć stałą c oraz rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y .
Zadanie 18. Niech X ma rozkład jednostajny na zbiorze {−1, 1} a Y rozkład normalny z parame- trami µ = 0, σ = 1 oraz X, Y będą niezależne. Proszę wyznaczyć gęstość oraz dystrybuantę zmiennej Z = 2X + Y (proszę oznaczyć przez Φ dystrybuantę rozkładu N (0, 1)).
3
