1. Sprawdź, czy prawdziwa jest nierówność (√
x1+√
x2+ . . . +√
xn)2(√y1+ . . . +√yn)2¬ (√x1y1+ . . . +√xnyn)2
dla dowolnych xi, yj 0. Sformułuj nierówność Schwarza wraz z podaniem kiedy zachodzi równość.
2. Niech k · k będzie dowolną normą na Rn. Wykazać, że kula B(a, r) = {x ∈ Rn: kx − ak < r} jest zbiorem otwartym w Rn.
3. Przyjmij (zgodnie z Definicją 1.14), że F ⊂ Rn jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie Rn\ F jest zbiorem otwartym. Wykaż, że jeśli F jest domknięty, to dla każdego ciągu (xj) ⊂ F , który jest zbieżny, zachodzi warunek lim xj∈ F .
4. Przyjmij (zgodnie z Definicją 1.20), że K ⊂ Rn jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego podciągu ciągu (xj) ⊂ K można wybrać podciąg (xjk) zbieżny do pewnego punktu x ∈ K. Wykazać, że jeśli K⊂ Rn jest zwarty, to jest ograniczony.
5. Przyjmij (zgodnie z Definicją 1.23), że funkcja f : Rn ⊃ A → Rm jest ciągła w punkcie a ∈ A wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że jeśli x ∈ A i kx − ak < δ, to kf(x) − f(a)k < ε.
Wykazać, że wówczas dla każdego ciągu A ∋ xj → a jest f(xj) → f(a).
6. Wykazać, że zbiór macierzy odwracalnych n × n jest otwartym podzbiorem Mn×n≃ Rn2.
7. Sformułuj definicję, że normy k · k i k · k′ określone na tej samej przestrzeni liniowej V są równoważne.
Udowodnij, że norma euklidesowa i norma k(x1, . . . , xn)k∞:= maxi|xi| są równoważne.
8. Podać definicję zbioru spójnego A ⊂ Rn. Czy jeśli zbiór A jest domknięty i spójny, to jego dopełnienie jest też zbiorem spójnym?
9. Sformułować twierdzenie Weiestrassa o przyjmowaniu kresów, a następnie udowodnić nierówność
√n
a1a2· · · an¬a1+ a2+ . . . + an
n .
Wskazówka: Rozważyć funkcję f (x) = x1· · · xn na zbiorze {x : x1+ . . . + xn = n, xi 0}.
10. Podaj przykład funkcji ciągłej f : R → R2, która ma funkcję odwrotną, ale nie jest to funkcja ciągła.
1
